1、江苏省徐州市江苏省徐州市 2021-2022 学年度学年度九年级九年级上上期末抽测数学试题期末抽测数学试题 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）已知 x1 是一元二次方程 x2+mx20 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 2 （3 分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ） 成绩（分） 6 7 8 9 10 频数 1 6 13 14 16 A10 B16 C9 D14 3 （3 分）二次函数 yx2的图象向上平移 3 个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ） Ayx2+
2、3 Byx23 Cyx23 Dyx2+3 4 （3 分）RtABC 中，若C90，BC3，AC4，则 cosA 的值为（ ） A B C D 5 （3 分）如图，在ABC 中，若 EFBC，EF4，则 BC 的长为（ ） A6 B8 C10 D12 6 （3 分）如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在圆上，若BCD，则ABD 等于（ ） A B2 C90 D902 7 （3 分）如图，已知函数 y1kx+b 与 y2ax2+bx+c 的图象交于 A（0，1） 、B（4，3）两点，当 y1y2时，x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx4 D0 x4 8 （3 分）如图，已知矩形 ABCD
3、 中，DA：AB，将其沿 CE 折叠，使 B、F 两点重合，连接 AF，则 tanDAF 等于（ ） A B C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 9 （4 分）方程 x22 的解是 10 （4 分）二次函数 y4（x1）2+1 的图象的顶点坐标是 11 （4 分）若关于 x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则 m 12 （4 分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为 S甲21.5ml2，S乙21.1ml2，则净含量较为稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 13 （4 分）阳光下，某学习小组测得 0.
4、8m 高的竹竿在操场上的影长为 0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为 9m，则旗杆的高度为 m 14 （4 分）如图，在方格纸中，以点 O 为位似中心，菱形 ABCD 的位似图形可能是 15 （4 分）如图、直线 PA、PB 分别与O 相切于点 A、B若P60O 的半径为 6cm，则弧的长为 cm （结果保留 ） 16 （4 分）如图，二次函数 yx21 的图象与 x 轴交于 A、B 两点以点 C（0，4）为圆心，以 1 为半径作C，点 D 为C 上的动点，E 为线段 AD 的中点，连接 OE、BD线段 OE 的最小值是 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 84
5、分）分） 17 （10 分） （1）计算：20220sin60； （2）解方程：x2+2x30 18 （8 分）国庆黄金周期间，电影长津湖的单日票房信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）票房的中位数为 亿元：平均数为 亿元（精确至 0.1） ； （2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？ 19 （8 分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式： A交流谈心； B有氧运动； C欣赏音乐； D安静休息 考生可从中选择一种方式进行减压 （1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ； （2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画
6、树状图或列表的方法加以说明 20 （8 分）如图，有一张长 6cm、宽 5cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为 6cm2的有盖长方体铁盒求剪去的正方形的边长 21 （8 分）图 1 为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图 2） ，蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年 （1）用数学的眼光观察，图 2 A是轴对称图形 B是中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 （2）请你用直尺，在图 2 中作出圆心 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为
7、 3.6cm，允许误差0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品如图 3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点 A 放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点 B、C，测得 AB2cm，AC3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由 22 （10 分）果园现有 100 棵橙子树，平均每棵结 600 个橙子现准备增种橙子树以提高总产量随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少 5 个，设增种 x 棵橙子树，果园橙子的总产量为 y 个 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式（结果化为一般式） ； （2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？ 23
8、 （10 分）如图，已知 ABCD 为矩形纸片，将其沿经过 A、C 两点的直线折叠，展开后得折痕AC再将其沿经过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 OC 上（O 为两条折痕的交点） ，设第二条折痕与 AD交于点 E点 E 是否为 AD 的中点？请说明理由 24（10 分） 如图， 为测量广场雕塑的高度 AB， 小明在广场平地上的点 C 处， 测得雕塑顶部 A 的仰角为 30，在线段 CB 上的点 D 处，测得雕塑顶部 A 的仰角为 75已知 CD12m （1）若 D 到 CA 的距离为 m； （2）求建筑物的高 AB （结果保留根号） 25 （12 分）如图，抛物线与 x 轴交于两点 A（1，
9、0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，P 为抛物线上的动点，直线 l 经过 B、C 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 在第一象限，以 P 为圆心的圆与 BC 相切，随着点 P 的运动，P 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留 ） ；若不存在，说明理由 江苏省徐州市江苏省徐州市 2021-2022 学年度九年级学年度九年级上上期末抽测数学试题期末抽测数学试题 （答案与解析版）（答案与解析版） 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）已知 x1 是一元二次方程 x2+mx2
10、0 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】把 x1 代入方程 x2+mx20 得到关于 m 的一元一次方程，解之即可 【解答】解：把 x1 代入方程 x2+mx20 得： 1+m20， 解得：m1， 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键 2 （3 分）某班同学抛携实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（ ） 成绩（分） 6 7 8 9 10 频数 1 6 13 14 16 A10 B16 C9 D14 【分析】根据众数的定义进行判断即可 【解答】解：这组数据中，成绩为 10 分的出现的次数最多，是 16 次，因此成绩的众数是 10
11、 分， 故选：A 【点评】本题考查众数，理解众数的定义是解决问题的关键 3 （3 分）二次函数 yx2的图象向上平移 3 个单位长度，所得图象的函数表达式为（ ） Ayx2+3 Byx23 Cyx23 Dyx2+3 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】解：原抛物线 yx2的顶点为（0，0） ，向上平移 3 个单位，那么新抛物线的顶点为（0，3） ； 可设新抛物线的解析式为 y（xh）2+k，代入得：yx2+3 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标 4
12、（3 分）RtABC 中，若C90，BC3，AC4，则 cosA 的值为（ ） A B C D 【分析】先利用勾股定理计算出 AB，然后利用余弦的定义求解 【解答】解：C90，BC3，AC4， AB5， cosA 故选：D 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是解决此类问题的关键 5 （3 分）如图，在ABC 中，若 EFBC，EF4，则 BC 的长为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】先利用比例的性质得到，再证明AEFABC，然后利用相似比得到 BCEF 【解答】解：， ， EFBC， AEFABC， ， BCEF410 故选：C 【点评】本题考查了相
13、似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、 公共边等隐含条件， 以充分发挥基本图形的作用； 同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算 6 （3 分）如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在圆上，若BCD，则ABD 等于（ ） A B2 C90 D902 【分析】由圆周角定理得出ADB90，BADBCD，由直角三角形的性质求出ABD90 即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， BADBCD， ABD90 故选：C 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 7 （3 分）如图，已知函数 y1kx+b 与 y
14、2ax2+bx+c 的图象交于 A（0，1） 、B（4，3）两点，当 y1y2时，x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx4 D0 x4 【分析】根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解：已知两函数图象交于 A（0，1） 、B（4，3）两点， 当有 y1y2时，有 0 x4 故选：D 【点评】本题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合思想是解题的关键 8 （3 分）如图，已知矩形 ABCD 中，DA：AB，将其沿 CE 折叠，使 B、F 两点重合，连接 AF，则 tanDAF 等于（ ） A B C D 【分析】设 AB2x，则 DA（1）x，根据矩
15、形性质可得 CDAB2x，由折叠可得 CFBCDA（1）x，所以 DFCDCF（3）x，然后利用锐角三角函数即可解决问题 【解答】解：在矩形 ABCD 中， DA：AB， 设 AB2x，则 DA（1）x， CDAB2x， 由折叠可知：CFBCDA（1）x， DFCDCF2x（1）x（3）x， tanDAF 故选：B 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 9 （4 分）方程 x22 的解是 x1，x2 【分析】利用直接开平方法求解即可 【解答】
16、解：x22， x， x1，x2 故答案为：x1，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2a（a0） ；ax2b（a，b 同号且 a0） ； （x+a）2b（b0） ；a（x+b）2c（a，c 同号且 a0） 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解” （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体 （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点 10 （4 分）二次函数 y4（x1）2+1 的图象的顶点坐标是 （1，1） 【分析】根据抛物线顶点式求解 【解答】解：y4（x1）
17、2+1， 抛物线开口向下，顶点坐标为（1，1） ， 故答案为： （1，1） 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系 11 （4 分）若关于 x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则 m 1 【分析】根据判别式的意义得到（2）24m0，然后解关于 m 的方程即可 【解答】解：根据题意得（2）24m0， 解得 m1 故答案为 1 【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（b24ac）判断方程的根的情况 12 （4 分）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为 S甲21.5ml2，S乙21.1ml2，则净含量较为稳定的是 乙 （填“甲”
18、或“乙” ） 【分析】根据方差的意义求解即可 【解答】解：S甲21.5ml2，S乙21.1ml2， S乙2S甲2， 净含量较为稳定的是乙， 故答案为：乙 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 13 （4 分）阳光下，某学习小组测得 0.8m 高的竹竿在操场上的影长为 0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为 9m，则旗杆的高度为 12 m 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答 【解答】解：设旗杆的高度为 hm， 同一时刻物高与影长成正比例 0.8：
19、0.6h：9 h12 故答案是：12 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想 14 （4 分）如图，在方格纸中，以点 O 为位似中心，菱形 ABCD 的位似图形可能是 菱形 NPMQ 【分析】根据位似图形的概念解答即可 【解答】解：如图，以点 O 为位似中心，菱形 ABCD 的位似图形是菱形 NPMQ， 故答案为：菱形 NPMQ 【点评】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形 15 （4 分）如图、直线 PA、PB
20、分别与O 相切于点 A、B若P60O 的半径为 6cm，则弧的长为 4 cm （结果保留 ） 【分析】连接 OA，OB，根据切线的性质得到PAOPBO90，根据四边形的性质得到AOB360PPAOPBO120，根据弧长公式即可得到结论 【解答】解：连接 OA，OB， 直线 PA、PB 分别与O 相切于点 A、B， PAOPBO90， P60， AOB360PPAOPBO120， O 的半径为 6cm， 弧的长4（cm） ， 故答案为：4 【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键 16 （4 分）如图，二次函数 yx21 的图象与 x 轴交于 A、B 两点以点 C（
21、0，4）为圆心，以 1 为半径作C，点 D 为C 上的动点，E 为线段 AD 的中点，连接 OE、BD线段 OE 的最小值是 2 【分析】当 B、D、C 三点共线，且点 D 在 BC 之间时，BD 最小，而 OE 是ABD 的中位线，即可求解 【解答】解：令 yx210，则 x3， 故点 B（3，0） ， 设圆的半径为 r，则 r1， 当 B、D、C 三点共线，且点 D 在 BC 之间时，BD 最小， 而点 E、O 分别为 AD、AB 的中点，故 OE 是ABD 的中位线， 则 OEBD（BCr）（1）2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质
22、，确定 BD 的最小值，进而求解 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 84 分）分） 17 （10 分） （1）计算：20220sin60； （2）解方程：x2+2x30 【分析】 （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简即可求解； （2）方程利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1）原式12 1； （2）x2+2x30， （x+3） （x1）0， 则 x+30 或 x10， 解得 x13，x21 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，零指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键 18 （8 分）
23、国庆黄金周期间，电影长津湖的单日票房信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）票房的中位数为 4.7 亿元：平均数为 4.6 亿元（精确至 0.1） ； （2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？ 【分析】 （1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数据此求解即可； （2）将国庆黄金周期间每天的票房与平均数比较，即可求解 【解答】解： （1）将 7 个数据按从小到大的顺序排列为：3.9，4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1， 第四个数是 4.7，所以中位数
24、为 4.7 亿元， 平均数为（3.9+4.1+4.4+4.7+4.8+4.9+5.1）4.6（亿元） 故答案为：4.7，4.6； （2）这 7 天票房的平均数为 4.6 亿元， 而这 7 天的票房分别是 4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，3.9， 单日票房高于平均数的日期为 10 月 3 日，4 日，5 日，6 日 即最佳票房期为 10 月 3 日，4 日，5 日，6 日 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而做错，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数， 如果数据有奇数个
25、， 则正中间的数字即为所求， 如果是偶数个则找中间两位数的平均数 19 （8 分）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式： A交流谈心； B有氧运动； C欣赏音乐； D安静休息 考生可从中选择一种方式进行减压 （1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 ； （2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 16 种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有 7 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是， 故答案为：；
26、 （2）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有 7 种， 则至少有一人选择“有氧运动”的概率是 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20 （8 分）如图，有一张长 6cm、宽 5cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为 6cm2的有盖长方体铁盒求剪去的正方形的边长 【分析】设剪去的正方形的边长为 xcm，则底面的长为（52x）cm，宽为（3x
27、）cm，根据长方形铁盒的底面积是 6cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 【解答】解：设剪去的正方形的边长为 xcm，则底面的长为（52x）cm，宽为x（3x）cm， 依题意得： （52x） （3x）6， 整理得：2x211x+90， 解得：x11，x2， 当 x1 时，52x3，3x2，符合题意； 当 x时，52x40，不合题意，舍去 答：剪去的正方形的边长为 1 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 21 （8 分）图 1 为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图 2） ，蕴含着“天圆地方”
28、的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年 （1）用数学的眼光观察，图 2 C A是轴对称图形 B是中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 （2）请你用直尺，在图 2 中作出圆心 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为 3.6cm，允许误差0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品如图 3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点 A 放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点 B、C，测得 AB2cm，AC3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由 【分析】 （1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可； （2）正方形的对角
29、线的交点即为所求； （3）利用勾股定理求出 BC，即可判断 【解答】解： （1）图 2 既是轴对称图形又是中心对称图形， 故答案为：C； （2）如图 2 中，点 O 即为所求； （3）如图 3 中，连接 BC BAC90， BC 是直径， BC3.6（cm） ， 这枚古钱币是真品 【点评】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是作为中心对称图形，轴对称图形的定义，灵活运用所学知识解决问题 22 （10 分）果园现有 100 棵橙子树，平均每棵结 600 个橙子现准备增种橙子树以提高总产量随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少
30、5 个，设增种 x 棵橙子树，果园橙子的总产量为 y 个 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式（结果化为一般式） ； （2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？ 【分析】 （1）根据总产量树的数量每棵树产量求解 （2）将二次函数解析式化为顶点式求解 【解答】解： （1）由题意得 y（100+x） （6005x）5x2+100 x+6 （2）y5x2+100 x+65（x10）2+60500， 当 x10 时，y 取最大值为 60500 【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等量关系，掌握二次函数求最值的方法 23 （10 分）如图，已知 ABCD 为矩形
31、纸片，将其沿经过 A、C 两点的直线折叠，展开后得折痕AC再将其沿经过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 OC 上（O 为两条折痕的交点） ，设第二条折痕与 AD交于点 E点 E 是否为 AD 的中点？请说明理由 【分析】根据题目的已知易证 BEAC，然后证明BAEADC，然后进行解答即可 【解答】解：点 E 是 AD 的中点，理由是： 由题意得：BEAC， BOA90， ABE+BAO90， 四边形 ABCD 为矩形， BADADC90，ABCD， BAO+CAD90， ABECAD， BAEADC， ， ， 设 ABa，则 ADa， ， AEa， AEAD， 点 E 是 AD 的中点 【点
32、评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件证明BAEADC 是解题的关键 24（10 分） 如图， 为测量广场雕塑的高度 AB， 小明在广场平地上的点 C 处， 测得雕塑顶部 A 的仰角为 30，在线段 CB 上的点 D 处，测得雕塑顶部 A 的仰角为 75已知 CD12m （1）若 D 到 CA 的距离为 6 m； （2）求建筑物的高 AB （结果保留根号） 【分析】 （1）过点 D 作 DHAC 于点 H，根据含 30 度角的直角三角形即可解决问题； （2）根据题意可得ADH 是等腰直角三角形，进而可以解决问题 【解答】解： （1）根据题意可知：ABBC
33、，ACB30，CD12m 如图，过点 D 作 DHAC 于点 H， DHAD6m， 故答案为：6； （2）根据题意可知：ACB30，ADB75， DAH45，CH6m， AHDH6m， ACAH+CH6（+1）m， ABAC3（+1）m 答：建筑物的高 AB 为 3（+1）m 【点评】 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题， 掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键 25 （12 分）如图，抛物线与 x 轴交于两点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，P 为抛物线上的动点，直线 l 经过 B、C 两点 （1）求抛物线
34、的表达式； （2）点 P 在第一象限，以 P 为圆心的圆与 BC 相切，随着点 P 的运动，P 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留 ） ；若不存在，说明理由 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x1） （x4） ，然后将（0，3）代入解析式即可求出 a 的值； （2）过点 P 作 PNBC 于点 N，作 y 轴的平行线交 BC 于点 M，用待定系数法求出直线 BC 的解析式为yx3，设 P（m，m3） ，则 M（m，m3） ，根据三角形 PBC 的面积求出 PN 的表达式，由二次函数的性质可得出答案 【解答】解： （1）抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）
35、， 设抛物线的解析式为：ya（x1） （x4） ， 把（0，3）代入 ya（x1） （x4） ， a， 抛物线的解析式为 yx2+x3； （2）存在 过点 P 作 PNBC 于点 N，作 y 轴的平行线交 BC 于点 M， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， B（4，0） ，C（0，3） ， ， ， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设 P（m，m3） ，则 M（m，m3） ， PM（m3）（m3）+3m， OB4，OC3， BC5， SPBCPMOBBCPN， PNm， m2 时，PN 有最大值为， P 的面积的最大值为 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、切线的性质，解题的关键是学会用代数式表示线段的长度