1、备战2022年苏科版中考数学分类精练30：图形的相似一、选择题1、在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（）A2000000cmB2000mC200kmD2000km2、下面四组线段中，成比例的是（ ）Aa = 2, b = 3, c = 4, d = 5Ba = 1, b = 2, c = 2, d = 4Ca = 4, b = 6, c = 5 d = 10Da =, b =, c = 3, d =3、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）ABCD4、如图，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F若，则的长为（
2、）A10BC12D145、根据下列条件，判断ABC与ABC能相似的有（）对CC90，A25，B65；C90，AC6，BC4，C90，AC9，BC6；AB10，BC12，AC15，AB1.5，BC1.8，AC2.25；ABC与ABC为等腰三角形，且有一个角为80A1对B2对C3对D4对6、如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）A B C D7、如图，己知中，为边上一点，为边上一点，当的长度为_时，和相似（ ）A9B6C4或9D6或98、如图，ABO的顶点A在函数y（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若A
3、NQ的面积为1，则k的值为（）A9B12C15D189、如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为位似中心，将缩小为，其位似比为2：1，当反比例函数的图象经过的中点时，的值为（ ） AB2C1D10、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（ABC和AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：BAECAD；BPC45；MPMDMAME；2CB2CPCM，其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个二、填空题11、已知线段，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于_12、若，则的值是_13、如图，、是以为直径的半圆上
4、任意两点，连接、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是_（填正确结论的序号）；14、如图，在正方形网格中有3个斜三角形：；其中能与相似的是_（除外） 15、如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是16、如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是_17、如图，在中，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；
5、如果P、Q两动点同时运动，那么经过_秒时与相似18、如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是_.三、解答题19、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，例如是一个格点三角形（1）在图中，请判断与是否相似，并说明理由；（2）在图中，以点O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为2：120、某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼
6、底部的距离为40米，小亮身高为1.7米,请根据以上数据求出城楼的高度21、如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16（1）若PN=18，求DE的长；（2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积22、如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B（1）求证：；（2）若，求证：23、如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE且BADEC（1）证明：BDACED；（2）若B45，BC6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）且ADE是等腰三角形，求此时BD的长24、已知抛物线yx
7、2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C（1）求点A、B、C的坐标（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由25、（2021利辛县二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG（1）求的值；（2）求证：BGEG；（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CNGE26、【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图，在矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于
8、点G、H，求证：；【结论应用】（2）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB2，BC3求折痕EF的长；【拓展运用】（3）如图，将矩形ABCD沿EF折叠使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB2，BC3，EF，请求BP的长备战2022年苏科版中考数学分类精练30：图形的相似一、选择题1、在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（）A2000000cmB2000mC200kmD2000km【解答】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得A、B两地的实际距离为20100000020000000（cm）
9、，25000000cm200km故A、B两地的实际距离是200km故选：C2、下面四组线段中，成比例的是（ ）Aa = 2, b = 3, c = 4, d = 5Ba = 1, b = 2, c = 2, d = 4Ca = 4, b = 6, c = 5 d = 10Da =, b =, c = 3, d =【解析】A. 从小到大排列，由于2534，所以不成比例，不符合题意；B. 从小到大排列,由于22=14，所以成比例，不符合题意；C. 从小到大排列,由于41056，所以不成比例，符合题意；D. 从小到大排列,由于3，所以成比例，不符合题意故选B.3、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各
10、式中不正确的是（ ）ABCD【答案】A【分析】由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论【详解】解：点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，AC=AB，AB：AC=AC：BC，AB=AC，BC=AB-AC=AB，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；故选：A4、如图，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F若，则的长为（ ）A10BC12D14【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的基本事实，建立比值关系求解即可【详解】解：，且, 故答案选：D5、根据下列条件，判断ABC与ABC能相似的有（）对CC90，A25，B65
11、；C90，AC6，BC4，C90，AC9，BC6；AB10，BC12，AC15，AB1.5，BC1.8，AC2.25；ABC与ABC为等腰三角形，且有一个角为80A1对B2对C3对D4对【答案】C【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案【详解】解：C=C=90，A=25B=65C=C，B=BABCABCC=90，AC=6，BC=4，C=90，AC=9，BC=6AC：BC=AC：BC，C=CABCABCAB=10，BC=12，AC=15，AB=1.5，BC=1.8，AC=2.25AC：AC=BC：BC=AB：ABABCABC没有指明80的角是顶角还是底角无法判定两三角形
12、相似共有3对故选：C6、如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）A B C D【答案】A【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可【详解】AC=，AB=2，BC=，A选项中的三边长分别为：，1，且：=2：=：1=，三边对应成比例，这两个三角形相似，A符合题意；B选项中的三边长分别为：，3，三边不成比例，这两个三角形不相似，B不符合题意；C选项中的三边长分别为：，1，2，三边不成比例，这两个三角形不相似，C不符合题意；D选项中的三边长分别为：，2，三边不成比例，这两个三角形不相似，D不符合题意；故选A7、如图，己知中，为边上一点，为边上一点，当的长
13、度为_时，和相似（ ）A9B6C4或9D6或9【答案】C【分析】分别根据当ADPACB时，当ADPABC时，求出AP的长即可【详解】解：当ADPACB时，解得：AP=9，当ADPABC时，解得：AP=4，当AP的长度为4或9时，ADP和ABC相似故选C8、如图，ABO的顶点A在函数y（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若ANQ的面积为1，则k的值为（）A9B12C15D18【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出SANQ=1是解题的关键易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比
14、的平方可求出ANQ的面积，进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出【详解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分点，四边形MNQP的面积为3，SANQ=1，SAOB=9，k=2SAOB=18，故选：D9、如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为位似中心，将缩小为，其位似比为2：1，当反比例函数的图象经过的中点时，的值为（ ） AB2C1D【答案】A【分析】本题考查了位似变换，反比例函数的性质，位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k根据位似变换是以A点为位似中心，相似比为2：1，可求出的坐标，进而
15、得出中点坐标，即可得出k【详解】解：以A为位似中心，相似比为：2：1，将缩小为，且 中点为的图象经过的中点=故选：A10、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（ABC和AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：BAECAD；BPC45；MPMDMAME；2CB2CPCM，其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】由等腰RtABC和等腰RtADE三边份数关系可证；根据相似三角形的性质即可得到结论；通过等积式倒推可知，证明PMEAMD即可；2CB2转化为AC2，证明ACPMCA问题可证【解答过程】解：由已知
16、得：AC=AB，AD=AE，BACEAD，BAECAD，BAECAD，正确；如图：设BE与AC相交于点O，则AOBPOC，BAECAD，ABEACD，BPCBAC45，正确；BAECAD，BEACDA，PMEAMD，MPMDMAME，正确；由MPMDMAME，PMADME，PMAEMD，APDAED90，CAE180BACEAD90，ACPMCA，CAPCMA，AC2CPCM，ACBC，2CB2CPCM，正确，故选：D二、填空题11、已知线段，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于_【答案】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【详解】解：根据比例中项
17、的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积即c2=ab，则c2=48，解得c=，（线段是正数，负值舍去）故答案为：12、若，则的值是_【答案】【分析】根据，则x2k，y7k，z5k，代入进行计算即可【详解】解：（k0），则x2k，y7k，z5k，13、如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是_（填正确结论的序号）；【答案】【分析】由两角法可得正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知正确；由两边夹一角法可以判断正确，错误【详解】解：如图，ADC=ADB，、ACD=DAB，ADCBDA，故选项正确；、AD=DE，DAE=B
18、，ADCBDA，故选项正确；、=BDCD，AD：BD=CD：AD，ADCBDA，故选项正确；、CDAB=ACBD，CD：BD=AC：AB，但ADC=ADB不是对应夹角，故选项错误故答案为14、如图，在正方形网格中有3个斜三角形：；其中能与相似的是_（除外） 【答案】（）【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答【详解】解：根据网格可知：AB=1，AC=，BC=，ABC的三边之比是AB：AC：BC1：，同理可求：CDB的三边之比是CD：BC：BD1：2；DEB中DE：BD：BE2：2：1：（DEB）与ABC相似，故答案为：DEB15、如图，为了测量操场上的树高，小明拿来
19、一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是【解答】解：ABCDBE，ACBDEB90，ABCDBE，BC：BEAC：DE，即4：101.6：DE，DE4m，故答案为：4m16、如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是_【答案】（-2，0）【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数解析式的确定，掌握如果两个图形是相似图形，它们的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键利用待定系数
20、法求出直线CF的解析式，根据位似变换的性质解答即可【详解】解：正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F与点C是一对对应点，点B与点E是对应点，它们的位似中心在x轴上，且与直线CF相交，交点为H，如图：设直线CF的解析式为，则，解得：，直线CF的解析式为，当y=0时，x=-2，它们的位似中心的坐标是（-2，0），故答案为：（-2，0）17、如图，在中，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过_秒时与相似【答案】或2【分析】设经过t秒时，与相似，则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，即；
21、当时，即，然后解方程即可求出答案【详解】解：设经过t秒时，与相似，则,，当时，即，解得：；当时，即，解得：；综上所述：经过或秒时，与相似，18、如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是_.【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质求得是解题的关键过点作，根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质可得，进而求得的面积，根据可得，进而平行四边形的面积，根据平行四边形的面积减去即可求得五边形的面积【详解】如图，过点作，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，同理四边形是平行四边形， 为
22、中点，设,则，的面积是1，的面积是1，四边形的面积为：，平行四边的面积为，分别为的中点，平行四边的面积为平行四边的面积的2倍，即，五边形的面积为=，故答案为：三、解答题19、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，例如是一个格点三角形（1）在图中，请判断与是否相似，并说明理由；（2）在图中，以点O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为2：1【答案】（1）相似，理由见详解；（2）见详解【分析】（1）先算出两个三角形各边的长，然后利用对应边成比例即可判断ABCDEF；（2）延长AO到A1，使OA1=2OA，延长BO到B1，使OB1=2
23、OB，延长CO到C1，使OC1=2OC，顺次连接A1、B1、C1即可求解【详解】（1）相似理由如下：AB1，,，即, ABCDEF；（2）如图所示：延长AO到A1，使OA1=2OA，延长BO到B1，使OB1=2OB，延长CO到C1，使OC1=2OC，顺次连接A1、B1、C1即可，A1B1C1即为所求：20、某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高为1.7米,请根据以上数据求出城楼的高度【答案】城楼
24、的高度为7.3m【解析】解：过点A作AMEF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN2m，CN21.650.35（m），MN40m，CNEM，ACNAEM，解得：EM7.35，ABMF1.65m，故城楼的高度为：7.35+1.651.77.3（米），答：城楼的高度为7.3m21、如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16（1）若PN=18，求DE的长；（2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积【答案】（1）10；（2）144【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定
25、与性质是解题的关键（1）矩形PQMN中,由PNBC可得出APNABC,从而得到，设DE=，则AE=16-，代入比例式即可求解；（2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，利用求得=4,即可算出矩形PQMN的面积【详解】解：依题意得：PNBC，则APNABC，又AD是高，则，（1）设DE=，则AE=16-，由得，解之得，=10 （2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ.设DE=PQ=，则PN=，同理得，解之得，=4则矩形PQMN的面积=22、如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B（1）求证：；（2）若
26、，求证：【分析】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键（1）由圆周角定理的推论，可知ABC=90，由切线的性质可知OBP=90，进而即可得到结论；（2）先推出，从而得AOB=40，继而得OAB=70，再推出CDE=70，进而即可得到结论【详解】证明：（1）是的直径，ABC=90，切于点B，OBP=90，；（2），OB=OC，AOB=20+20=40，OB=OA，OAB=OBA=(180-40)2=70，ADB=AOB=20，是的直径，ADC=90，CDE=90-20=70，CDE=OAB，23、如图，在ABC中，点
27、D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE且BADEC（1）证明：BDACED；（2）若B45，BC6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）且ADE是等腰三角形，求此时BD的长【答案】（）见解析；（2）或【分析】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题（1）根据题目已知条件可知，所以得到，即可得证（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：AD=AE，AD=DE，AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等
28、腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可【详解】（1）在中， 又 ；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3当AD=AE时，则，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上 此情况不符合题意当AD=DE时，如图， 由（1）可知又： AB=DC=当AE=DE时，如图，平分,综上所述：或24、已知抛物线yx2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C（1）求点A、B、C的坐标（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由【答案】（1），；（2）相似，理由见解析【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定，根据题意求得的坐标是解题的关键（1）根据抛
29、物线与坐标轴有交点，分别令解方程即可求得的坐标；（2）根据（1）的结论，求得的长，根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可【详解】（1）抛物线yx2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C，令，解得，令，即，解得，；（2），理由如下，如图，；，又，25、（2021利辛县二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG（1）求的值；（2）求证：BGEG；（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CNGE【解题思路】（1）根据已知条件，利用ASA证明GDFECF，可得DGCE，再由BC3
30、CE，得CEBCDG，AG=BC，即可得出答案；（2）过点G作GHBC于H，利用SAS证明ABGHGE，即可证得结论；（3）过点M作MTAD交BG于T，利用AAS证明MNTDNG，进而得出，可证CBNEBG，得出BCNBEG，可得CNEG【解答过程】解：（1）F为CD的中点，DFCF，四边形ABCD为正方形，ADBC，GDFECF90又DFGCFEGDFECF（ASA），DGCEBC3CE，CE=BCDG，（2）过点G作GHBC于H，CHDGCE=BC，EHCH+CE=BC，在ABG和HGE中， ABGHGE（SAS），BGEG；（3）过点M作MTAD交BG于T，M为AB的中点，MT=AGDG
31、，ADMT，NMTNDG，在MNT和DNG中，MNTDNG（AAS），NTNG，BG4NG，BC3CE，CBNEBG，CBNEBG，BCNBEG，CNEG26、【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图，在矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；【结论应用】（2）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB2，BC3求折痕EF的长；【拓展运用】（3）如图，将矩形ABCD沿EF折叠使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EF
32、PG，若AB2，BC3，EF，请求BP的长【解答】解：（1）：如图，过点A作APEF，交BC于P，过点B作BQGH，交CD于Q，BQ交AP于T四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，APEF，GHBQ又GHEF，APBQ，BAT+ABT90四边形ABCD是矩形，ABPC90，ADBC，ABT+CBQ90，BAPCBQ，ABPBCQ，（2）如图中，连接BD四边形ABCD是矩形，C90，ABCD2，BD，D，B关于EF对称，BDEF，EF（3）如图中，过点F作FHEG于H，过点P作PJBF于J四边形ABCD是矩形，ABCD2，ADBC3，A90，DG，AG1，由翻折可知：EDEG，设EDEGx，在RtAEG中，EG2AE2+AG2，x2AG2+AE2，x2（3x）2+1，x，DEEG，FHEG，FHGHGPGPF90，四边形HGPF是矩形，FHPGCD2，EH，GHFPCFEGEH1，PFEG，EAFB，AEGIPF，AFJP90，AEGJFP，FJ，PJ，BJBCFJCF31，在RtBJP中，BP