1、小题压轴题专练14数列（1）1、 单选题1已知等差数列an的前n项和为Sn，满足sin（a41）+2a450，sin（a81）+2a8+10，则下列结论正确的是（）AS1111，a4a8BS1111，a4a8CS1122，a4a8DS1122，a4a8解：sin（a41）+2a450，sin（a81）+2a8+10，sin（a41）+2（a41）30，sin（1a8）+2（1a8）30，令f（x）sinx+2x3，可得f（x）cosx+20，因此函数f（x）在R上单调递增又f（1）sin110，f（2）sin2+10，因此函数f（x）在（1，2）内存在唯一零点a411a8，1a412，11a8
2、2，a4+a82，2a43，1a80，S1111，a4a8，故选：B2非负实数列前项和为若分别记与前项和为与，则的最大值与最小值的差为，则A2BC3D解：由题设和柯西不等式可得：，当且仅当且时取“ “，的最小值为1，又，当且仅当且时取“ “，的最大值为，故选：3已知数列满足，则一定成立的是ABCD解：，将上面的式子相加得到：，即，令，当时，故当时，即，又，即，故选：4已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为ABCD解：由，可得，所以，所以，当时，所以，满足上式，所以，所以，两式相减得，所以，所以，所以，令，故当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以
3、，的最小值为故选：5已知数列满足对任意的，总存在，使得，则可能等于ABCD解：数列满足对任意的，总存在，利用特值法检验，对于选项：当时，则，令时，不存在；对于选项：当时，则，取，即可；对于选项：当时，则，令时，不存在；对于选项时，当时，不存在，使得，所以不存在，故选：6已知数列，满足，设数列的前项和为，则以下结论正确的是ABCD解：，把代入递推可得：，令，则，在单调递增，即当时，恒有成立，故选项错误；又，选项错误；，令，则，函数在，上递减，故选项正确；又由可得，（当且仅当时取“ “，可得，故选项错误，故选：7正整数称为理想的，若存在正整数使得，构成等差数列，其中为组合数，则不超过2020的理想
4、数个数为A40B41C42D前三个答案都不对解：由题意可得 构成等差数列，则，化简可得，以 为主元整理，则，题意转化为存在正整数使得成立，于是 为完全平方数，设，令，因为（1），故，因为，则若，因为， 奇偶性相反，故对于任意 都满足题意综上，满足题意的有 42 个，故选：8在正项数列中，则下列说法正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则解：由，可得，因为，可得，；或，；故，均不正确；若，由数学归纳法假设时，时，即有，综上可得，则，则，上式当或11时，取得等号，故选：9已知数列中，记，给出下列结论：；，则A正确B正确C正确D正确解：，同号，即，不恒成立，故错误；，故正确；，若，则，不可能恒成立，
5、不能恒成立，故错误；，故正确故选：10已知数列满足：，前项和为，则下列选项错误的是（参考数据：，A是单调递增数列，是单调递减数列BCD解：由，得，令，即，则，作图如下：由图可得：是单调递增数列，是单调递减数列，因此正确；，因此正确；，因此不正确；由不动点，得，可得：，因此正确故选：2、 多选题11下面是关于公差的等差数列的几个命题，其中正确的有A数列递增B数列是递增的等差数列C若，为的前项和，且为等差数列，则D若，则方程有唯一的根解：、设等差数列的首项为，公差，则，所以数列是递增数列，故选项符合题意；、，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，该数列是递增的等差数列，故选项符合题意；、由得到：由
6、为等差数列可设：即所以当恒成立时，所以，或当时，当时，综上所述，或故选项不符合题意；、由，得，又因为数列递增，所以当时，递增，当时，递增所以最小值是或，所以由当时，故当且仅当时，故选项符合题意故选：12已知数列满足：，则下列说法正确的是A数列先增后减B数列为单调递增数列CD解：因为，所以，令，则，在上单调递增，在上单调递减，（3）可得：，则，故数列是单调递增数列，故选：13如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是AB数列是等比数列CD解为中点，又、三点共线，又，化简可得，数列是等比数列又，故选：14设
7、为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确的有AB190是数列中的项CD当时，取最小值解：当时，故，即，当时，故，即，当时，1，故，1，4，即，以此类推，当，时，1，2，故可以取的个数为，即，当时也满足上式，故，对，故正确；对，令，即无整数解，故错误；对，则，故正确；对，当且仅当时取等号，当时，当时，故当时，取最小值，故正确故选：3、 填空题15已知数列，均为正项等比数列，分别为数列，的前项积，且，则的值为解：数列，均为正项等比数列，它们的公比分别为、，分别为数列，的前项积，,解得,；由,解得,；,则,故答案为：16已知正项递增数列的前项和为，若，设，则 解：由，化为：，解得或，数列是正项递增数列，取，数列是等差数列，首项为1，公差为2，则当时，；当时，故答案为：17已知数列的前项和为，且，当时，则；若且，则解：当时，有，即，解得：，又当时，由可得：，又，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列；数列是首项为0，公差为1的等差数列，且，易知与奇偶性相同，当为奇数时，有，解得：；当为偶数时，有，解得：，综上，或50，故答案为：；53或5018已知数列，且，则，解：因为，所以；由，可得，即有，由，所以当，上式相乘可得，即为；当，时，可得，所以，当，时，故答案为：，