1、小题压轴题专练8椭圆（1）一、单选题1如图，椭圆的两焦点为F1，F2，长轴为A1A2，短轴为B1B2若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B2A2B1，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B2A2B1的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值为（）ABCD解：由题意可知菱形A1B2A2B1的面积S12ab，设矩形ABCD中，|BC|2n，|AB|2m，易知A1OB1和DF1O相似，则，又因为|OD|2c2m2+n2，可得m，n，所以矩形ABCD的面积，因为DOA1B1，可得abc且b2a2c2，即a43a2c2+c40，解得或者，ac，故选：D2如图，已知白纸上有一椭圆，它焦点为，长轴，短轴，是椭
2、圆上一点，将白纸沿直线折成角，则下列正确的是当在（或时，最大当在（或时，最小ABCD都不正确解：设翻折前椭圆方程为：，如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设，0，0，则，设，则，故函数单调递减，故当，即当 在 或 时， 最大，故 时，当 在 或 时， 最小故选：3已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为AB4CD解：已知，是椭圆上两个不同点，则，设，为坐标原点，则，且，、两点均在圆的圆上，且，为等边三角形且，根据点到直线的距离公式，知为、两点到直线的距离、之和设的中点为，到直线的距离，则，的最大值为，的最大值为，故选：4如图，是由直线引出的三个不重合的半平面，其中二面角大小为，在
3、二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，记椭圆，的离心率分别为，则的取值范围是ABCD解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设，在平面内的投影为，在面内的投影为，设，则，则，所以，则，因为，所以，则，所以，即，故选：5已知椭圆内有一定点，过点的两条直线，分别与椭圆交于、和、两点，且满足，若变化时，直线的斜率总为，则椭圆的离心率为ABCD解：设，、，、，、，由，即，则，由，同理可得：，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得：，由题意可得：，则，同理可得：，得：，则椭圆的离心率故选：
4、6已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为ABCD解：如图所示，设，不妨设，则，轴，设三角形内切圆的半径为由三角形内切圆的性质可得：解得，设，分别与内切圆相切于点，则在中，由勾股定理可得：，化为：与椭圆比较可得：，可得故选：7设直线，椭圆，将椭圆绕着其中心逆时针旋转（旋转过程中椭圆的大小形状不变，只是位置变化）到与椭圆重合，则旋转过程中椭圆与直线交于，两点，则的最大值为ABCD解：由运动的相对性，可把椭圆视为不动，直线绕原点旋转，原点到直线的距离为，设直线在旋转过程中的方程为，其中，联立直线与椭圆的方程得，由弦长公式得，令，故故
5、选：8已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是A4B6C8D16解：如图所示，设半焦距为点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，设，则，在中，由勾股定理可得：两边同除以，得，可得：令则，可知：时，函数取得极小值即最小值因此的最小值是8故选：9.已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于，两点，直线与椭圆交于点，分别为直线，的斜率则的取值范围是AB，CD，解：椭圆的焦点在轴上，右焦点，由在圆上，则，则，则，设，则设，则，且不等于0故选：10已知为坐标原点，分别是椭圆的左，右顶点，抛物线与椭圆
6、在第一象限交于点，点在轴上的投影为，且有（其中，的连线与轴交于点，与的交点恰为的中点，则椭圆的离心率为ABCD解：由在轴上的投影为，且有，可得的横坐标为，抛物线与椭圆在第一象限交于点，直线的方程为，令，则，直线的方程为，直线的方程为，点，恰为的中点，整理可得，则，故选：2、 多选题11椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是A过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B椭圆上存在点，使得C椭圆的离心率为D为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3解：对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；对于选项：设，则，且，又，所以，因此，解得，故选项正确；对于选项：因为，所
7、以，即，所以离心率，所以选项错误；对于选项：设，则点到圆的圆心的距离为，因为，所以，所以选项正确，故选：12已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上异于、的任一点，则下列结论正确的有A椭圆与椭圆有相同的焦点B直线，的斜率之积为C存在点满足D若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为或解：选项：在椭圆中由半焦距的求法可得：，故正确，选项：由已知，设，则，所以，故正确，选项：由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时取等号，故错误，选项：若为直角顶点，则有，所以离心率，若点或为直角顶点，则离心率，故正确，故选：13我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆，分别为左、右、上、下顶点，
8、分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是ABC轴，且D四边形的内切圆过焦点，解：由椭圆，可得，对于，即为，所以，即，不符题意，错误；对于，若，则，即，所以，即有，解得舍去），符合题意，正确；对于，若轴，且，所以，由，可得，解得，又，所以，不符题意，故错误；对于，若四边形的内切圆过焦点，即四边形的内切圆的半径为，则，结合，所以，即，解得（舍去）或，所以，故正确故选：14我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有A，为等比数列BC轴，且D四边形的内切圆过焦点，解：中若成等比数列则，即或（舍，
9、解得：，所以不正确；若，则由射影定理可得：，即，所以，即，解得；所以正确；若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，所以，所以不正确；，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，解得，所以，所以正确，故选：3、 填空题15已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大
10、值由椭圆上存在一点，使得，可得中，可得中，即，椭圆离心率的最小值为，由，解得，圆的圆心，半径，而的最大值，可求的最大值，当，共线时，取得最大值，故答案为：16已知过椭圆的左焦点的直线交于，两点，则的最小值为解：如图，由椭圆，得，则所以左焦点的坐标为，设直线的方程为，由得，由根与系数的关系得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为故答案为：17已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为解：由，得，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，设的倾斜角为，则，联立，可得，同理可得，令，当且仅当，即时上式取等号的最小值为故答案为：18已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上不与左右
11、顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心当直线的倾斜角不随着点的运动而变化时，椭圆的离心率为或解：当直线的倾斜角不随着点的运动而变化时，取特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在轴上，重心也在轴上，由此可得不论在何处，始终垂直于轴或平行于轴，设内切圆与边的切点分别为，如图所示：设在第一象限，坐标为：，连接，则重心在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于，则轴，作垂直于轴交于，可得重心，所以的横坐标也为，由内切圆的性质可得，所以，而，所以，由角平分线的性质可得，即，所以可得，所以可得，所以，所以，即，即，所以整理为：，若轴时，设，可得重心，的纵坐标也是，由三角形的面积可得：，即，可得：，所以这时离心率故答案为：或