1、小题压轴题专练5三角（1）1、 单选题1已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为ABCD，解：在中，由正弦定理得：则由已知得：，即：设点，由焦点半径公式，得：，则解得：由椭圆的几何性质知：则，整理得，解得：或，又，故椭圆的离心率：，故选：2在中，分别是，的中点，且，若恒成立，则的最小值为ABC1D解：根据题意画出图形，如图所示：，又、分别为、的中点，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，当取最小值时，比值最大，当时，此时达到最大值，最大值为，则恒成立，的最小值为故选：3已知为锐角三角形，分别为，的中点，且，则的取值范围是A，BC，D，解：设的内角，所对的
2、边分别为，设，交于，连接，延长交于，则为的中点，由，可得，在中，在中，上面两式相加，结合，可得，又为锐角三角形，可得，可得，则，即，又，当且仅当，取得最小值；设，则在，递减，在递增，可得，则，故选：4中，所在平面内存在点使得，则面积最大值为ABCD解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，设，由，可得，可得，即有点既在为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，1为半径的圆上，可得，由两边平方化简可得，则的面积为，由，可得，取得最大值，且为故选：5在中，分别是边，的中点，若，则的最小值为ABCD解：依题意，如图，设，则因为为中点，又因为为中点，则，令，则，当，即时，有最小值故选：6在
3、边长为的正三角形的边、上分别取、两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为ABCD解：显然，两点关于折线对称，连接，图（2）中，可得，则有，设，再设，则有，在中，又，在中，由正弦定理知，即，当，即时，此时取得最小值，且则的最小值为故选：7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且点D满足，若cosABC，则2c+a的最大值为（）ABCD3解：由题意可得：+，+，则，2+可得32，因为2，可得32+，两边平方，可得：9|24|2+|BC|2+4，所以：184c2+a2+4|cosABC，可得184c2+a2+ac，可得18（2c+a）23ac，即18（2c+a）22
4、ca，因为2ac（）2，（由2c+a2得出），当且仅当a2c时等号成立，所以（2c+a）218（）2，令2c+at，则t218t2，且t0，解得0t，当且仅当a2c时等号成立，即2c+a的最大值为故选：A8在中，若，则的取值范围为ABCD解：因为，所以，因为、，所以，则，因为，所以，故，设，则，所以，设，则，令，可得，所以在，单调递减，在，单调递增，由于，（1），可得，所以的取值范围为，故选：9已知锐角的内角，的对边分别为，且若的外接圆直径为，则的取值范围为A，BCD解：由正弦定理及，得，即，即，可得又是锐角三角形，解得，可得，可得故选：10已知的三个内角，的对边分别为，且满足，则的取值范围是
5、ABCD解：的三个内角，的对边分别为，满足，由正弦定理得，；，；，令，则，令，；，令，解得，舍去）；当时，单调递增；当，时，单调递减；时，有极大值，也是最大值，最大值为当或1时，故，；，即的取值范围是，故选：2、 多选题11一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，（即，三点分别在三角形三边或顶点上），则两三角形面积比的值可能为ABCD解析：如图，由两种情况：（1）左图中为中点，设的直角边长，为的直角边长为，则（2）右图中，所以，故选：12的内角，所对的边分别为，已知，有以下结论：其中正确结论有A当时，成等差数列BC当时，为钝角三角形D当，时，的面积为解：根据题意，依次分析4个结论：对于，
6、当时，由正弦定理可得，不妨设，则，因为，故，不是等差数列，故错误；对于，由正弦定理可得，不妨设，有，则，变形可得，故正确；对于，当时，此时，显然，设，则，因为，可得：，所以，故，故为钝角三角形，故正确对于，当，时，则，则有，由余弦定理可得，则，此时的面积为，故不正确；故选：13已知中，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是AB 的面积为CD在的外接圆上，则的最大值为解：在三角形中，由余弦定理，故，故错误；在中，由余弦定理得：，故正确；由余弦定理可知：，平分，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正确；，为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，显然当取得最大值时，在优弧上故，设，则，其中，当时
7、，取得最大值，故正确故选：14已知的内角，满足，面积满足，记，分别为，所对的边，下列说法中不正确的是ABCD解：的内角，满足，化为，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，由，及正弦定理得，即，面积满足，即，由可得，故错误，即，故正确，即，但，不一定正确，故错误故选：3、 填空题15在中，角，的对边分别为，2；的取值范围为解：中，由余弦定理知，即，由正弦定理得，即，；，解可得，则，令，故在，上单调递增，又（1），则的取值范围是，故答案为：2，16如图所示，在ABC中，ACB为钝角，AC10，BC6，则AB的取值范围是（2，16）；过点B向ACB的角平分线引垂线交于点P，若AP6，ABP的面积是4解
8、：（1）ABC中，ACB为钝角，AC10，BC6，所以AB2AC2+BC2102+62136，所以AB2，又ABAC+BC10+616，所以AB的取值范围是（2，16）（2）如图所示，设CPx，ACPBCP，则cos，由余弦定理得，AP2AC2+x22xACcos，解得x2，cos；所以sinACBsin22；所以SABC61020，SACP10210，SBCP626，所以SABPSABCSACPSBCP201064，即ABP的面积为4故答案为：（1）（2，16），（2）417已知锐角的面积为，且，其内角，所对边分别为，则边的最小值为2解：由，得，即，结合正弦定理得，再由余弦定理可得，整理又由余弦定理可得，代入上式得，又锐角的面积，所以，所以，设函数，求导可得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以于是，即，当且仅当时，等号成立故答案为：218在中，角，的对边分别为，若，且，则内切圆半径的最大值为解：因为，且，可得，由正弦定理可得，可得，由于，可得，即，又，可得，可得，即，由余弦定理可得，可得，由，可得，可得，令内切圆半径为，故，可得，代入，可得，故，可得内切圆半径的最大值为故答案为：