1、 1 备战备战 2022 年年苏科版苏科版中考数学分类精练中考数学分类精练 3：因式分解因式分解 一、选择题一、选择题 1、下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A B C D 2、多项式 8xmyn-112x3myn的公因式是（ ） Axmyn Bxmyn-1 C4xmyn D4xmyn-1 3、下列因式分解中正确的是（ ） A22()()mnmn mn B363(2)xx C2(1)aaa a D21(1)1aaa a 4、若52ab ，则代数式22445aabb的值是（ ） A0 B10 C20 D30 5、若多项式可分解为，且，均为整数，则的值是（ ） A2 B4 C
2、D 6、关于的多项式的最小值为（ ） A B C D 7、若233ab，则代数式2469aabb的值为（ ） A1 B9 C7 D5 8、已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且满足 a22b2c22b(ac)0，则此三角形是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确定 9、在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44xy，因式分解的结果是22xyxyxy，若取9x， 9y 时，则各个因式的值为0 xy， 18xy， 22162xy，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式32xxy，取20 x=， 10y
3、 时，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A201030 B201010 C301020 D203010 10、计算：的结果是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 2(1)(1)1aaa43222186?3x yx yx y 221(2) 1xxx x 2269(3)aaa23xaxxbxcabca24xy、2245815xxyyy10122222211111(1) (1) (1) . (1) (1)567991001012001011251011001100 2 11、将多项式提出公因式后，另一个因式为_ 12、分解因式：_ 13、分解因式：_ 14、分解因式：_ 15、若，则代数式
4、的值为_ 16、甲乙两个同学分解因式 x2+ax+b 时，甲看错了 b，分解结果为（x+2） （x+4） ，乙看错了 a，分解结果为（x+1） （x+9） ，则 2a+b_ 17、若是方程组的解，则代数式的值是_ 18、一个四位整数abcd（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d） ，若满足abcdk ，那么，我们称这个四位整数abcd为“k类等和数” 例如：3122 是一个“4类等和数”，因为：3 12 24 ； 5417不是一个“k类等和数”，因为：549，1 78，98 （1）写出最小的“3 类等和数”是_，最大的“8类等和数”是_ （2）若一个四位整数abcd是“k类等
5、和数”，且满足46,0abcda c，求满足条件的所有“k类等和数”的个数，并把它们写出来 三、解答题三、解答题 19、因式分解： （1）15a310a2 （2）3ax26axy3ay2 （3） （2xy）2（x2y）2 20、将下列各式因式分解： （1）ab29a （2）222221664xyx y 253aabamnabba422aa b3223242a ba bab2,1xyxy22x yxyxayb235237xyxy 2294ba 3 21、分解因式： （1）； （2） 22、阅读理解以下文字： 我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式通过因式分解，我们常常将
6、一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题 例如：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为 所以或者 解方程，得 所以解为， 根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）已知的三边长为，请你判断代数式的值的符号 23、 【阅读材料】【阅读材料】因式分解： （x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令 x+yA，则原式A2+2A+1（A+1）2 再将“A”还原，原式（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想” ，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法 【问题解决】
7、【问题解决】 （1）因式分解：1+5（xy）+4（xy）2； 3244x yx yxy2242xyxy2230 xx230 xx0 x230 x 230 x 32x 10 x 232x 250 xx22(3)40 xxABC4xy22816yyx 4 （2）因式分解： （a+b） （a+b4）+4； （3）证明：若 n 为正整数，则代数式（n+1） （n+2） （n2+3n）+1 的值一定是某个整数的平方 24、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 x22xy+y216，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与
8、第四项结合，再应用平方差公式进行分解过程如下：x22xy+y216（xy）2一 16（xy+4）（xy4） 这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b225m2n2+12ab+10mn； （2）已知 a、b、c 分别是ABC 三边的长且 2a2+b2+c22a（b+c）0，请判断ABC 的形状，并说明理由 25、教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法
9、是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值， 最小值等 例如：分解因式 原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)； 例如：求代数式 2x2+4x-6的最小值 原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8可知当 x=-1 时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8 （1）分解因式：223aa=_ 5 （2）试说明：x、y取任何实数时，多项式22426xyxy的值总为正数 （3）当 m，n 为何值时，多项式22224425
10、mmnnmn有最小值，并求出这个最小值 备战备战 2022 年苏科版中考数学分类精练年苏科版中考数学分类精练 3：因式分解：因式分解 一、选择题一、选择题 1、下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，进行判断即可 【解析】【解析】解：A. ，不是因式分解，此项错误； B. 中，不是因式分解，此项错误； C. ，不是因式分解，此项错误； D. ，是因式分解，此项正确故选：D 2、多项式 8xmyn-112x3myn的公因式是（ ） Axmyn Bxm
11、yn-1 C4xmyn D4xmyn-1 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意可得，这个多项式的公因式为 4xmyn-1， 注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选 D 3、下列因式分解中正确的是（ ） A22()()mnmn mn B363(2)xx C2(1)aaa a D21(1)1aaa a 2(1)(1)1aaa43222186?3x yx yx y 221(2) 1xxx x 2269(3)aaa2(1)(1)1aaa432221863x yx yx y 221(2) 1xxx x 2269(3)aaa 6 【答案】C 【分析】 分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得
12、出答案 【详解】 解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误； B、363( +2)xx ，提公因式括号内要变号，故此选项错误； C、a2-a=a（a-1） ，正确； D、a2+a+1不能分解因式，故此选项错误； 故选：C 4、若52ab ，则代数式22445aabb的值是（ ） A0 B10 C20 D30 【答案】C 【分析】由52ab 得到25ab，再将22445aabb分组进行因式分解得到2(2 )5ab，最后代入求值即可 【详解】 解：52ab ， 25ab， 22445aabb =2(2 )5ab 原式=2(2 )5ab=25-5=20， 故选：C 5、若多项式可分解为，且，均为
13、整数，则的值是（ ） A2 B4 C D 【答案】【答案】C 【分析】 把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值 【详解】又 23xaxxbxcabca24xbxc, ,a b cQ23xaxxbxc2()xbxcxbc xbc,3bca bc 7 ，均为整数故选 C 6、关于的多项式的最小值为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可 【解析】【解析】解：原式 ，原式1，原式的最小值为1，故选 A 7、若233ab，则代数式2469aabb的值为（ ） A1 B9 C7 D5 【答案】B 【分析】 将代数式2469aa
14、bb前两项提公因式得到2 (23 )9aabb，将233ab代入上式，得到的式子再提公因式-3，代入计算即可 【详解】 解：2469aabb 2 (23 )9aabb 2( 3)9ab 69ab 3(23 )ab 3 ( 3) 9 故选：B 8、已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且满足 a22b2c22b(ac)0，则此三角形是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确定 【答案】B Qabc11,33bbcc 2a xy、2245815xxyyy10122245815xxyyy222=44+816-1xxyyyy22=2+4-1xyy220 xy2+40y 8 【解析】
15、 【分析】 运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到 a=b=c，即可解决问题 【详解】 a2+2b2+c22b（a+c）=0，（ab）2+（bc）2=0； （ab）20，（bc）20，ab=0，bc=0，a=b=c，ABC为等边三角形 故选 B 9、在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44xy，因式分解的结果是22xyxyxy，若取9x， 9y 时，则各个因式的值为0 xy， 18xy， 22162xy，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式32xxy，取20 x=， 10y 时，用上述方法产生
16、的密码不可能是（ ） A201030 B201010 C301020 D203010 【答案】B 【详解】 解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）， 当 x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10， 组成密码的数字应包括 20，30，10， 所以组成的密码不可能是 201010 故选 B 10、计算：的结果是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案 【详解】 解：原式= 2222211111(1) (1) (1) . (1) (1)5679910010120010112510110
17、01100111111111111111111115566779999100100 L 9 = = =故选：B 二、填空题二、填空题 11、将多项式提出公因式后，另一个因式为_ 【答案】【答案】 【分析】根据提公因式法即可求解 【详解】=故答案为： 12、分解因式：_ 【答案】【答案】 【分析】根据提公因式因式分解求解即可 【详解】解：，故答案为： 13、分解因式：_ 【答案】【答案】 【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案 【详解】解： 14、分解因式：_ 【答案】【答案】 【
18、分析】先提出公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解 【详解】解：故答案为： 15、若，则代数式的值为_ 46576898100991015566779999100100L41015100101125253aaba53ab253aab53aab53abmnabbaabmn()()mnmnabbaabab mnbaabmn422aa b2()()a ab ab422aa b222()a ab2()()a ab ab3223242a ba bab22ab ab2ab2322322242222a ba babab aabbab ab22ab ab2,1xyxy22x yxy 10 【答案】
19、【答案】2 【分析】直接将原式提取公因式xy，进而分解因式求出答案 【解析】【解析】xy2，xy1，代数式x2yxy2xy（xy）212故答案为：2 16、甲乙两个同学分解因式 x2+ax+b 时，甲看错了 b，分解结果为（x+2） （x+4） ，乙看错了 a，分解结果为（x+1） （x+9） ，则 2a+b_ 【答案】【答案】21 【分析】根据题意：分解因式 x2+ax+b 时，甲看错了 b，但是 a 正确，分解结果为（x+2） （x+4） ，a 为 6；乙看错了 a，但是 b 正确，分解结果为（x+1） （x+9） ，b 为 9代入 2a+b 即可 【解析】【解析】分解因式 x2+ax+b
20、 时，甲看错了 b，分解结果为（x+2） （x+4） ，a6， 乙看错了 a，分解结果为（x+1） （x+9） ，b9，2a+b12+921故答案为：21 17、若是方程组的解，则代数式的值是_ 【答案】【答案】35 【分析】根据题意可得，再利用因式分解代入计算即可 【解析】【解析】解： 是方程组的解， ， ，故填：35 18、一个四位整数abcd（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d） ，若满足abcdk ，那么，我们称这个四位整数abcd为“k类等和数” 例如：3122 是一个“4类等和数”，因为：3 12 24 ； 5417不是一个“k类等和数”，因为：549，1 78
21、，98 （1）写出最小的“3 类等和数”是_，最大的“8类等和数”是_ （2）若一个四位整数abcd是“k类等和数”，且满足46,0abcda c，求满足条件的所有“k类等和数”的个数，并把它们写出来 【答案】1203； 8080； （2） 满足条件的所有“k类等和数”的个数是 3，分别是 3214，2323， 1432 xayb235237xyxy 2294ba235237abab xayb235237xyxy 235237abab 2294=-(23 )(2 -3 )=-(-5) 7=35baabab 11 【分析】 (1)根据题意即可得到结论；(2) 根据 ，可得 b+d=6或 16，再
22、分情况写出即可 【详解】 （1）三类等和数为 a+b=c+d=3，当 a= 1、b=2、c=0、d= 3时符合三类等和数，且最小故最小的三类等和数为 1203 当 a=8、b=0、c= 8、d= 0时符合 8类等和数，且最大，故最大的 8 类等和数为 8080 故答案为：1203； 8080 (2) ab+cd=46 (a， c0)，只有当 ab=cd=23时， b+d=6或 16， b=0， d=6 (不合题意) b=1， d=5 (不合题意)； b=2，d=4，a=3，c=1即 3214； b=3， d=3，a=2，c=2即 2323； b=4， d=2 ，a=1，c=3即 1432； b
23、=5，d=1 (不合题意)； b=6，d=0 (不合题意)； b=7，d=9 (不合题意)； b=8，d=8 (不合题意)； b=9，d=7 (不合题意)； 综上所述，满足条件的所有“k类等和数”的个数是 3，分别是 3214，2323， 1432 三、解答题三、解答题 19、因式分解： （1）15a310a2 （2）3ax26axy3ay2 （3） （2xy）2（x2y）2 【答案】 （1）5a2（3a2） ； （2）3a（xy）2； （3）3（xy） （xy） 【分析】 （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）原式利用平方差公式分解即可 【详解
24、】 12 （1）原式5a2（3a2） ； （2）原式3a（x22xyy2） 3a（xy）2； （3）原式（2xyx2y） （2xyx2y） 3（xy） （xy） 20、将下列各式因式分解： （1）ab29a （2）222221664xyx y 【答案】 （1）33a bb； （2） 2244xyxy 【分析】 （1）首先提取公因式 a，再由平方差公式进行因式分解； （2）先整理式子，再利用由平方差公式因式分解，最后利用完全平方公式进行因式分解 【详解】 （1）原式2=9a b =33a bb （2）原式2222168xyxy 2222166818xyxyxyxy 2244xyxy 21、分解因
25、式： （1）； （2） 【答案】【答案】 （1）； （2） 【分析】 （1）先提取公因式 xy,然后再运用公式法分解即可； （2）采用分组法、再运用平方差公式因式分解即可 【详解】解： （1）=）=； （2）= 3244x yx yxy2242xyxy2(2)xy x(2 )(21)xyxy3244x yx yxy244xy xx2(2)xy x2242xyxy222xyxyxy (2 )(21)xyxy 13 22、阅读理解以下文字： 我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目
26、的这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题 例如：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为 所以或者 解方程，得 所以解为， 根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）已知的三边长为，请你判断代数式的值的符号 【答案】【答案】 （1）x1=0 或 x2=5； （2）x1 =-1，x2=3； （3）见解析 【分析】 （1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解； （2）利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解； （3）将代数式变形后得： （y+4-x） （y+4+x） ，根据三角形的三边关系得：x+y-40，x-y
27、+40，y+4+x0，则y2-8y+16-x20 【解析】【解析】解： （1），x=0 或 x-5=0，x1=0 或 x2=5； （2） （x+3）2-4x2=0，（x+3+2x） （x+3-2x）=0，（3x+3） （-x+3）=0，3x+3=0 或-x+3=0， 解方程得：x1 =-1，x2=3； （3）ABC 的三边长为 4，x，y，x+y4，x+4y，x+y-40，x-y+40，y+4+x0， y2-8y+16-x2=（y-4-x） （y-4+x）0，即代数式 y2-8y+16-x2的值的符号为负号 23、 【阅读材料】【阅读材料】因式分解： （x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x
28、+y”看成整体，令 x+yA，则原式A2+2A+1（A+1）2 再将“A”还原，原式（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想” ，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法 2230 xx230 xx0 x230 x 230 x 32x 10 x 232x 250 xx22(3)40 xxABC4xy22816yyx250 xx50 x x 14 【问题解决】【问题解决】 （1）因式分解：1+5（xy）+4（xy）2； （2）因式分解： （a+b） （a+b4）+4； （3）证明：若 n 为正整数，则代数式（n+1） （n+2） （n2+3n）+1 的值一定是某个整数的平方 【分析】 （1）将
29、 xy 看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得； （2）将 a+b 看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3） 先计算 （n+1） （n+2） 得 n2+3n+2， 再将 n2+3n 看做整体因式分解得原式 （n2+3n+1）2， 继而由 n2+3n+1为正整数可得答案 【答案】解： （1）原式（xy+1）4（xy）+1（1+xy） （1+4x4y） （2）原式（a+b）24（a+b）+4（a+b）22（a+b2）2 （3）原式（n2+3n+2） （n2+3n）+1（n2+3n）2+2（n2+3n）+1（n2+3n+1）2 n 为正整数，n2+3n+1 为正整数 代
30、数（n+1） （n+2） （n2+3n）+1 的值一定是某个整数的平方 24、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 x22xy+y216，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解过程如下：x22xy+y216（xy）2一 16（xy+4）（xy4） 这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b225m2n2+12ab+10mn； （2）已知 a、b、c 分别是ABC 三边的长且 2a2+b2+c22a（b+c）0，请判断ABC 的形状
31、，并说明理由 【答案】【答案】 （1） （3a+2b+5mn） （3a+2b5m+n） ； （2）ABC 的形状是等边三角形 【分析】 （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解 （2） 等式左边的多项式拆开分组， 构造成两个完全平方式的和等于 0 的形式，利用非负数的性质求出 a、b、c 的关系即可 【详解】 （1）9a2+4b225m2n2+12ab+10mn =（9a2+12ab+4b2）（25m210mn+n2） =（3a+2b）2（5mn）2 =（3a+2b+5mn） （3a+2b5m+n） （2）由 2a2+b2+
32、c22a（b+c）=0 可得：2a2+b2+c22ab2ac=0 （a22ab+b2）+（a22ac+c2）=0，（ab）2+（ac）2=0 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于 0 才成立，于是：ab=0，ac=0，所以可以得到 a=b=c 15 即：ABC 的形状是等边三角形 25、教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式
33、分解因式， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值， 最小值等 例如：分解因式 原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)； 例如：求代数式 2x2+4x-6的最小值 原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8可知当 x=-1 时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8 （1）分解因式：223aa=_ （2）试说明：x、y取任何实数时，多项式22426xyxy的值总为正数 （3）当 m，n 为何值时，多项式22224425mmnnmn有最小值，并求出这个最小值 【答案】 （1）31aa； （
34、2）证明见解析； （3）当6m，4n时，多项式有最小值，最小值为 5 【分析】 （1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式； （2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答； （3）利用配方法将多项式22224425mmnnmn转化为22245mnn，然后利用非负数的性质进一步得最小值 【详解】 （1）223aa221 1 3aa 214a31aa； （2）22426xyxy224421 1xxyy 22211xy， 222010 xy， 224261xyxy， 原式的值总为正数； （3）22224425mmnnmn 2222816449mmnnnnmn 224445mnmnn 22245mnn， 当20m n ，40n即6m，4n时，原式取最小值 5 16 当6m，4n时，多项式22224425mmnnmn有最小值 5