1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.2.2 4.2.2 指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质 课程目标课程目标 1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质； 3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：指数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小： 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合
2、思想总结指数函数性质. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本116-117页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？ 2. 指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域 和值域问题和值域问题？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 a1 0a1 图图 象象 定义域定义域 _ 值域值域 过定点过定点 过点过点 即即 x 时，时，y_ 性性 质质 单调性单调性 是是 R 上的上的 是是
3、 R 上的上的 1指数函数的图象和性质(0，) (0,1) 0 增函数增函数 减函数减函数 点睛点睛 底数底数 a 与与 1 的大小关系决定了指数函数图象的的大小关系决定了指数函数图象的“升升”与与“降降”当当 a1 时，指数函数的图象是时，指数函数的图象是“上升上升”的；当的；当 0a1 时，时，指数函数的图象是指数函数的图象是“下降下降”的的 R 1 知识清单知识清单 小试身手小试身手 1函数 y( 31)x在 R 上是()A增函数B奇函数C偶函数D减函数答案：D2函数 y2x的图象是()3函数 f(x)2x3 的值域为_答案：B答案：(3，+)题点一：指数型函数过定点问题例 1 函数 y
4、ax33(a0， 且 a1)的图象过定点_解析：因为指数函数 yax(a0，且 a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数 yax33 中，令 x30，得 x3，此时y134，即函数 yax33 的图象过定点(3,4)答案：(3,4)题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 指数函数的图象问题指数函数的图象问题 题点二：指数型函数图象中数据判断例 2函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D. 0a1，b0解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0a1；从曲线位置看，是由函数 yax(0
5、a1)的图象向左平移|b|个单位长度得到，所以b0，即 b0.答案：D题点三：作指数型函数的图象例 3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数 f(x)2x的图象经过怎样的变换得到的(1)y2x1；(2)y2x.解：如图(1)y2x1 的图象是由 y2x的图象向上平移 1 个单位长度得到的；(2)y2x的图象与 y2x的图象关于 x 轴对称解题方法解题方法（指数函数的图像问题指数函数的图像问题） 1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大. 无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=a
6、x(a0,且a1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小. 2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k0,a0,且a1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b). 3.指数函数y=ax与y= (a0,且a1)的图象关于y轴对称. 4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性. 1 1、如图是指数函数:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( ) A.ab
7、1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc 2、已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是 . 3、函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗? 12 | | 跟踪训练一1、解析:(方法一)中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象 向下越靠近x轴,故有ba,中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y轴,故有dc.故选B. (方法二)作直线x=1,与函数,的图象分别交于A,B,C,D四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知ba1dc.故选B. 答案
8、:B 2、解析:当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点. 答案:(-1,4) 3、解:y=12| | 12 , 0,12- , 0,其图象由 y=12 (x0)和 y=2x(x0)和 y=2x(x0)的图象关于 y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1,单调递增区间是(-,0,单调递减区间是(0,+). 题型二题型二 指数函数的性质及其应用指数函数的性质及其应用 题点一：比较两个函数值的大小例例4.比较下列各题中两个值的大小: （1） (2 ) ( 3 ) 2.531.71.7与230.80.8与0.3
9、3.11.70.9与解：(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数. 又2.53,1.72.51.73. (2)(单调性法)由于 的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R上是减函数. 又 , . （3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.11.70=1,则 . 230.80.8与23 230.80.8(1)y=21x-4;(2)y=23-|x|.题点二：指数函数题点二：指数函数的定义域与值域问题的定义域与值域问题 例例5 求下列函数的定义域与值域求下列函数的定义域与值域 解:(1)由x-40,
10、得x4, 函数的定义域为x|xR,且 x4.1x40,21x41.y=21x4的值域为(0,1)(1,+).（2）函数的定义域为 R.|x|0,y=23-|x|=32|x|320=1.故 y=23-|x|的值域为1,+).解题方法解题方法（指数函数的性质及其应用指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a0,且a1)的定义域、值域: (1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)函数y=af(x)的值域的求法如下. 换元,令t=f(x); 求t=f(x)的定义域xD; 求t=f(x)的值域tM; 利用y=at的单调性求y=at(tM)的值域. 2.比
11、较幂的大小的常用方法: 跟踪训练二 1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a1,且a2). 2、比较下列各题中两个值的大小: 2.53,2.55.7; 1.5-7,8274;2.3-0.28,0.67-3.1. 1、解:因为a1,且a2,所以a-10,且a-11, 若a-11,即a2,则y=(a-1)x是增函数, (a-1)1.3(a-1)2.4. 若0a-11,即1a(a-1)2.4. 故当a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4; 当1a(a-1)2.4. 2.(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数. 又35.7,2.532.55.7. (化同底)1.5-7=32-7 237,8274 2334 2312,构造函数 y=23 .0231,y=23 在 R 上是减函数.又 78274.(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.280.670=1,则2.3-0.280.67-3.1.