1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.5.3 函数模型的应用 第第五五章章 函数的应用（二）函数的应用（二） 学习目标学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题(重点) 4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力(重点) 我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 温故知新温故知新 1常见函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 ykxb
2、(k，b 为常数，k0) (2)二次函数模拟 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0) (3)指数函数模型 ybaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) (4)对数函数模型 ymlogaxn(m，a，n 为常数，m0，a0 且 a1) (5)幂函数模型 yaxnb(a，b 为常数，a0) (6)分段函数 y axbxm，cxdxm 2.建立函数模型解决问题的基本过程 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示 利用函数知识和函数观点解决实际问题时， 一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原 这些步骤用框图表示如图： 例3.人口问题是当今世界各国普
3、遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 ， 可以为制定一系列相关政策提供依据 早在 1978 年 ， 英国经济学家马尔萨斯 （ T.R.Malthas ，1766 1834） 就提出了自然状态下的人口增长模型 = 0 ，其中 t 表示经过的时间 ，0 表示 t 时的人口数 ， r 表示人口的年平均增长率 下表 是 19501959 年我国的人口数据资料 （ ） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001）， 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实 际人口数据是否相符 ； （ ） 如果按上表 的增长趋势 ， 那么大
4、约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？ 典例解析典例解析 分析 ： 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型 ， 就是要确定其中的初始量 0 和年平均增长率 r 解 ：（ 1） 设19511959 年我国各年的人口增长率分别为 1,2，,9 由 55196 1 + 1= 56300 , 可得 1951年的人口增长率 10.0200 同理可得 ， 20.0210, 30.0229 , 40.0250, 50.0197 ， 60.0223，70.0276,80.0222,90.0154 于是 ， 19511959 年期间 ， 我国人口的年平均增长率为: = (1+2+ 9) 90.0221, 令
5、 0=55196， 则我国在 19501959年期间的人口增长模型为 = 551960.0221，t N 根据表 中的数据画出散点图 ， 并画出函数 = 551960.0221 （t N ） 的图象 由图 可以看出 ， 所得模型与 19501959 年的实际人口数据基本吻合 事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 对由 函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 世纪 年代逐步实施了计划生育政策 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长
6、模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果 与实际不符的情况 例4. 2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2 ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析 ： 因为死亡生物机体内碳 的初始量按确定的衰减率衰减 ， 属于指数衰减 ， 所以应选择函数y = k（ kR ， 且 k ； ， 且 ） 建立数学模型 解 ： 设样本中碳 的初始量为k ， 衰减率为 p （ ）， 经过 年后 ， 残余量为 根据问题的实际意义 ， 可选择如下模型 ：y = k(1 ) （k R ， 且 k ；
7、p ； ） 由碳 的半衰期为 5730年 ， 得k(1 )5730=12k 典例解析典例解析 于是 1 =125730 ，所以 = (125730) 由样本中碳14 的残余量约为初始量的 55.2 可知 ，即 0.552k= (125730) 解得 = 1257300.552 由计算工具得 4912 因为 2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ， 所以推断此水坝大概是公元前 2902年建成的 规律方法 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值归纳总结归纳总结 例5.假
8、设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 问题中涉及问题中涉及哪些数量关系？哪些数量关系？ 如何用函数描述这些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额投资天数、回报金额 日日 回回 报报 累计回报累计回报 典例解析典例解析 40 40 40 40 40 10 10+10 =102 10+10+10 =103 10+10+10+10 =104 10+10+10+10+10
9、=105 0.4 0.42 0.422 =0.422 0.4222 =0.423 0.42222 =0.424 方案一方案一 方案二方案二 方案三方案三 1 2 3 4 5 则方案一可以用函数则方案一可以用函数_进行描述；进行描述； 方案二可以用函数方案二可以用函数_描述；描述； 方案三可以用函数方案三可以用函数_描述。描述。 设第设第x天的回报是天的回报是y元，元， y=40 (xN*) y=10 x (xN*) y=0.42x-1 (xN*) 三种方案每天回报表三种方案每天回报表 x/x/天天 方案方案1 1 方案方案2 2 方案方案3 3 y/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元
10、元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元 增加量增加量/ /元元 1 1 4040 1010 0.40.4 2 2 4040 0 0 2020 1010 0.80.8 0.40.4 3 3 4040 0 0 3030 1010 1.61.6 0.80.8 4 4 4040 0 0 4040 1010 3.23.2 1.61.6 5 5 4040 0 0 5050 1010 6.46.4 3.23.2 6 6 4040 0 0 6060 1010 12.812.8 6.46.4 7 7 4040 0 0 7070 1010 25.625.6 12.812.8 8 8 4040 0 0 8080
11、1010 51.251.2 25.625.6 9 9 4040 0 0 9090 1010 102.4102.4 51.251.2 1010 4040 0 0 100100 1010 204.8204.8 102.4102.4 3030 4040 0 0 300300 1010 214748365214748365 107374182.4107374182.4 x y 4040y y20 40 60 80 100 120 140 4 2 6 8 10 12 1 1x x2 20.40.4y y10 x10 xy y 我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模型的指数函数模型比线性函数模型比线性
12、函数模型增长速度要快得增长速度要快得多多.从中你对“指从中你对“指数爆炸”的含义数爆炸”的含义有什么新的理解？有什么新的理解？ 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 3030 方案一方案一 4040 8080 120120 160160 200200 240240 280280 320320 360360 400400 440440 12001200 方案二方案二 1010 3030 6060 100100 150150 210210 280280 360360 450450 550550 660660 46504650 方案三方案三 0
13、0 1 1 2.82.8 6 6 1212 2525 50.850.8 102102 204204 409409 819819 429496729.2429496729.2 例5 累计回报表 投资投资16天，应选择方案一；天，应选择方案一； 投资投资7天，应选择方案一或方案二；天，应选择方案一或方案二； 投资投资810天，应选择方案二；天，应选择方案二； 投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择方案三。天）以上，应选择方案三。 假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交
14、易对你有利吗？ 你你30天内给公司的回报为天内给公司的回报为: 0.01+0.012+0.0122+0.01229 =10737418.23 1074(万元万元) 30万元万元 解答如下：公司解答如下：公司30天内为你的总投资为天内为你的总投资为: 上述上述例子只是一种假想情况例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型不同的函数增长模型 ， 增长变化增长变化存在很大存在很大差异差异 一次函数，一次函数， 对数型函数，对数型函数， 指数函数。指数函数。 例例6 6涉及涉及了哪几类函数模型？了哪几类函数模型？ 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗你能用数学
15、语言描述符合公司奖励方案的条件吗? ? 例6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求？ 典例解析典例解析 分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画 奖金总数与销售利润的关系 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销售 利润一般不会超过
16、公司总的利润 于是 ， 只需在区间 10 ，1000 上 ， 寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ： 第一 ， 奖金总数不超过 万元 ， 即最大值不大于 ； 第二 ， 奖金不超过利润的 ， 即 Y0.25X 不妨先画出函数图象 ， 通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结果 解 ： 借助信息技术画出函数 y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象 观察图象发现 ， 在区间 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y 的下方 ， 这
17、说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 下面通过计算确认上述判断 先计算哪个模型的奖金总数不超过 万元 对于模型 y 0.25x， 它在区间 10，1000 上单调递增 ， 而且当 x 时 ， y ， 因此 ， 当 x 时 ， y ， 所以该模型不符合要求 ； 对于模型, y=1.002x ， 由函数图象 ， 并利用信息技术 ， 可知在区间 （805 ，806 ） 内有一个点0 满足 1.0020 ， 由于它在区间 10 ，1000 上单调递增 ， 因此当 x 0时 ， y ， 所以该模型也不符合要求 ； 对于模型 y=log7x+1， 它在区间 10 ，1000 上单调
18、递增 ， 而且当 x1000 时 ，y=log71000+14.55 ， 所以它符合奖金总数不超过 万元的要求 再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25 ， 即当 x 10 ，1000 时 ， 是否有 y 0.25x， 即y=log7x+1 0.25x成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数 f(x)在区间10 ，1000 上单调递减 ， 因此f(x) f(10)0.3167 ， 即y=log7x+10.25x 所以 ， 当 x 10 ，1000 时 ， y 0.25x， 说明按模型y=
19、log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25 综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 规律方法 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 归纳总结归纳总结 1一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，
20、那么图象所对应的函数模型是( ) A分段函数 B二次函数 C指数函数 D对数函数 【答案答案】A 由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型 当堂达标当堂达标 2若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y，则 x，y 的函数关系是( ) Ay0.957 6x100 By(0.957 6)100 x Cy0.957 6100 x Dy10.042 4x100 【答案答案】A 由题意可知 y(95.76%)x100，即 y0.9576x100. 3若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间
21、t(h)的函数关系用图象表示为( ) 【答案答案】B 由题意 h205t(0t4)，其图象为 B. 4某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40Q120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元. 【答案答案】2 500 每生产一单位产品，成本增加 10 万元， 单位产品数 Q 时的总成本为 2 00010Q 万元 K(Q)40Q120Q2， 利润 L(Q)40Q120Q210Q2 000 120Q230Q2 000 120(Q300)22 500， Q300 时，利润 L(Q)的最大值是 2
22、500 万元 5已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地 (1)把汽车离开 A 地的距离 s 表示为时间 t 的函数(从 A 地出发时开始)，并画出函数的图象； (2)把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象 【答案答案】(1)汽车由 A 地到 B 地行驶 t h 所走的距离 s60t(0t2.5) 汽车在 B 地停留 1 小时，则汽车到 A 地的距离 s150(2.5t3.5) 由 B 地返回 A 地，则汽车到 A 地的距离 s15050(t3.5) 32550t(3.5t6.5) 综上，s 60t0t2.5，1502.5t3.5，32550t3.5t6.5， 它的图象如图(1)所示 (1) (2) (2)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是 v 600t2.5，02.5t3.5，503.5t6.5， 它的图象如图(2)所示 实际应用问题实际应用问题 审 题 （设设） 分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化 构建数学模型构建数学模型 数学化 （列列） 寻找解题思路 （解解） 解答数学问题解答数学问题 还原 （答答） 课堂小结课堂小结