1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.3.2 对 数 的 运 算 第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.理解对数的运算性质(重点) 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数(难点) 3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点) 学习目标学习目标 1对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数 a 的范围是_. 指数 对数 底数 真数 幂 a0，且a1 温故知新温故知新 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质你认为可以怎样研究？ 提出问题提出问题 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ ,pqM
2、aNa1.1.对数的运算性质对数的运算性质 pqp qM Naaa探究一：探究一： 化为对数式，化为对数式， 它们之间有何关系？它们之间有何关系？ 结合指数的运算性质能否将结合指数的运算性质能否将 化为对数式？化为对数式？ 将指数式将指数式 问题探究问题探究 试一试试一试:由由 ,pqMaNa得：得： log,logaapM qN由由 pqp qM Naaa得得 log ()apqM N从而得出从而得出 log ()loglogaaaM NMN(0,1,0,0)aaMN探究二：结合前面的推导，由指数式探究二：结合前面的推导，由指数式 pp qqMaaNa又能得到什么样的结论？又能得到什么样的结
3、论？ 试一试试一试: :由由 pp qqMaaNa得得 logloglogaaaMpqMNN(0,1,0,0)aaMN问题探究问题探究 ()npnnpMaa又能得到什么样的结论？又能得到什么样的结论？ 试一试试一试: :由由 ()npnnpMaa得得 loglognaaMnpnM(0,1,0,)aaMnR探究三：结合前面的推导，由指数式探究三：结合前面的推导，由指数式 问题探究问题探究 对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： (1)loga(M N)logl_ogN； (2)logaMNlogM_N； (3)logaMnnl_M(nR) 思考：当 M0，N0 时，loga(M
4、N)logaMlogaN，loga(MN)logaM logaN是否成立？ 提示 不一定 logaMlogaN logaMlogaN nlogaM 对数的运算法则对数的运算法则 1思考辨析 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差( ) (2)loga(xy)logax logay.( ) (3)log2(3)22log2(3)( ) 答案 (1) (2) (3) 思考辨析思考辨析 例 1求下列各式的值 （1）log84log82； （2）log510log52 （3）log2（4725） 解解： （1）log84log82log881. （2）log510log52log551 (3) log
5、2（4725）= log2219 =19 典典例解析例解析 跟踪训练 1 计算下列各式的值： (1)12lg 324943lg 8lg 245； (2)lg 5223lg 8lg 5 lg 20(lg 2)2； (3)lg 2lg 3lg 10lg 1.8. 跟踪训练跟踪训练 解 (1)原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5) 52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 5 12(lg 2lg 5) 12lg 10 12. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)
6、2 2(lg 10)2213. (3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8 lg 18102lg 1.8 lg 1.82lg 1.8 12. 规律方法 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系 2对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法： “拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； “收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数 归纳总结归纳总结 23.ln ,ln ,ln1 ln; (2)lnxyzxyxyzz例2用表示下列各式 22332 lnlnlnxyxyzz23lnlnln112lnlnln23xyzxyz 1 lnlnl
7、nlll:nnnxyxyzxzz解探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗? ? logloglogcacNNa( (a0,0,且且a1; 1; c0,0,且且c1; 1; b0)0) 问题探究问题探究 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他
8、底的对数转换为以正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或或e为底的对数，为底的对数，就能方便地求出这些对数。就能方便地求出这些对数。 换底公式 aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca证明：设 由对数的定义可以得： ,paN 即证得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做换底公式，一般取常用对数进行换底 问题探究问题探究 在在4.2.14.2.1的问题的问题1 1中，求经过多少年中，求经过多少年B B地景区的游客人次是地景区的游客人次是2001200
9、1年的年的2 2倍，倍，就是计算就是计算 = .2 2 的值。的值。 由换底公式由换底公式可得可得; = .2=2=.， 利用计算工具，可得利用计算工具，可得= =. . ， 由此可得，大约经过由此可得，大约经过7 7年，年，B B地景区的地景区的 游客人次就达到游客人次就达到20012001年的年的2 2倍，类似地，倍，类似地， 可以求出游客人次是可以求出游客人次是20012001年年的的3 3倍，倍，4 4倍，倍， 所需要的年数。所需要的年数。 lg4.8 1.5EM20112011年年3 3月月1111日，日本东北部海域发生里氏日，日本东北部海域发生里氏9.09.0级地震，级地震， 它所
10、释放出来的能量是它所释放出来的能量是20082008年年5 5月月1212日我国汶川日我国汶川 发生里氏发生里氏8.08.0级地震的多少倍（精确到级地震的多少倍（精确到1 1）？）？ 例例3.3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E E（单位：焦耳）与地震里（单位：焦耳）与地震里氏震氏震M M之间的关系为之间的关系为 典典例解析例解析 解解: :设设里里氏氏9.09.0级和里级和里氏氏8.08.0级地震的能量分别为级地震的能量分别为E E1
11、1和和E E2 2 lg4.81.5,EM由12lg4.8 1.5 9.0,lg4.8 1.5 8.0EE可得；1122lglg-lg=4.81.59.0 -4.81.5 8.0=EEEE于是（） （）1.5设设里利用计算工具可得，里利用计算工具可得， 1.5121032EE虽然里氏虽然里氏9.09.0级和里氏级和里氏8.08.0级级地震仅相差地震仅相差1 1级，但前者释放出的能量却是后者的约级，但前者释放出的能量却是后者的约3232倍。倍。 跟踪训练 2 计算： (1)lg 20log10025； (2)(log2125log425log85) (log1258log254log52). 跟
12、踪训练跟踪训练 解 (1)lg 20log100251lg 2lg 25lg 1001lg 2lg 52. (2)(log2125log425log85) (log1258log254log52) (log253log2252log235) (log5323log5222log52) 3113log25 (111)log52 133 313. 跟踪训练 2求值： (1)log23 log35 log516； (2)(log32log92)(log43log83) 解 (1)原式lg 3lg 2lg 5lg 3lg 16lg 5lg 16lg 24lg 2lg 24. (2)原式lg 2lg 3
13、lg 2lg 9lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3lg 22lg 3lg 32lg 2lg 33lg 23lg 22lg 35lg 36lg 254. 跟踪训练跟踪训练 规律方法 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.2.常用的公式有：logablogba1，loganbmmnlogab，logab1logba等. 归纳总结归纳总结 1计算：log153log62log155log63( ) A2 B0 C1 D2 【答案】B 原式log15(35)log6(23)110. 2计算 log92 log43( ) A4 B2 C.12 D.14 【答案】D
14、 log92 log43lg 2lg 9lg 3lg 414. 当堂达标当堂达标 3设 10a2，lg 3b，则 log26( ) A.ba B.aba Cab Dab 【答案】B 10a2，lg 2a， log26lg 6lg 2lg 2lg 3lg 2aba. 4 log816_. 【答案】43 log816log232443. 5计算：(1)log5352log573log57log51.8； (2)log2748log21212log2421. 【答案】(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log595 log55log572log572log53log572l
15、og53log552. (2)原式log2748log212log242log22 log271248 422log212 2 log223232. 1.1.对数的运算法则。对数的运算法则。 2.2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。利用定义及指数运算证明对数的运算法则。 3.3.对数运算法则的应用。对数运算法则的应用。 4.4.换底公式的证明及应用。换底公式的证明及应用。 课堂小结课堂小结 积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则： 如果如果a00，a 1 1，M00，N00, ,那么：那么： logloglogcacNNalog ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog)naaMnM nR（( (a0,0,且且a1; 1; c0,0,且且c1;1;