1、人教人教A版版 必修第一册必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.3 4.4.3 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 课程目标课程目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质； 2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较； 3.数学运算：由函数图像求函数解析式； 4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结
2、合思想总结函数性质. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本136-138页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 三种函数模型的性质三种函数模型的性质？ 2. 三种函数的增长速度比较三种函数的增长速度比较？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1.三种函数模型的性质 函数性质 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0) 在(0,+) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随 x 增大逐 渐变陡 随 x 增大逐 渐变缓 随 n 值不同 而不同 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(
3、0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同. (2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxn1,n0时,在区间(0,+)上,对任意的x,总有logaxxn0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.( ) 答案:(1) (2) (3) 2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表: 则关于x分别呈对数型函数、指数型
4、函数、幂函数型函数变化的变量依次为( ) A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.27.4解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C. 答案:C 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 比
5、较函数增长的差异比较函数增长的差异 例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210, 所以x16x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019). 因为g(2 019)g(6), 所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6). 变式变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢? 解:由图象的变化趋势以及指数函数
6、和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x. 变式变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小. 解:因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(8),所以f(2 019)g(2 019)g(8)f(8). 解题方法解题方法（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图象判断
7、指数函数、对数函数和幂函数的方法） 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观 察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是 指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练一1.当a1时,有下列结论: 指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快; 指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快; 对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快; 对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 答案:B 2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3 B.y2y1
8、y3 C.y1y3y2 D.y2y3y1 解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3. 答案:B 题型二题型二 体会指数函数的增长速度体会指数函数的增长速度 例例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下: 甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多? 分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数
9、. 解解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示. 公司捐款数量/万元 时间 甲 乙 丙 第 1天 5 1 0.1 第 2天 5 2 0.2 第 3天 5 3 0.4 第 4天 5 4 0.8 第 5天 5 5 1.6 第 6天 5 6 3.2 第 7天 5 7 6.4 第 8天 5 8 12.8 第 9天 5 9 25.6 第 10 天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元. 解题方法解题方法（指数函数的增长速度的实际应用指数函数的增长速度的实际应用） 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增
10、长是介于两者之间的. 跟踪训练二 1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示. (1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元) 解:(1)A:y=k1x过点(1,0.5),k1=12.B:y=k2x过点(4,2.5),(9,3.75), 2 4 =2.5, 2 9 =3.75. 2=54, =12.A:y=12x(x0),B:y=54 (x0).(2)设投资 B产品 x(百万元),则投资 A 产品(10-x)(百万元),总利润 y=12(10-x)+54 =-12 -542 18532(0 x10).所以当 =1.25,x=1.562 51.56 时,ymax5.78.故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.