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第26讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优

1、第26讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题一、选择题1已知点O是锐角ABC的外心,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,A=4 ,且cosBsinCAB+cosBsinBAC=OA,则的值为()A 22 B 22 C 2 D 2【答案】D【解析】如图所示:O是锐角ABC的外心,D、E分别是AB、AC的中点,且ODAB,OEAC,设ABC外接圆半径为R,则|OA|=R,由图得,OA=OD+DA,则ABOA=AB(OD+DA)=ABDA =AB(-12AB)=-12AB2=-12|AB|2,同理可得,ACOA=-12|AC|2,由cosBsinCAB+cosCsinBAC=OA得,cosB

2、sinCABOA+cosCsinBACOA=OA2,所以-12cosBsinC|AB|2-12cosCsinB|AC|2=OA2,则cosB|AB|AB|sinC+cosC|AC|AC|sinB=-2|OA|2,在ABC中由正弦定理得:|AB|sinC=|AC|sinB=2R,代入得,2RcosB|AB|+2RcosC|AC|=-2R2,则cosB|AB|+cosC|AC|=-R,由正弦定理得,|AB|=2RsinC、|AC|=2RsinB,代入得,2RsinCcosB+2RcosCsinBR;所以2sin(C+B),即2sin34=-,解得=-2,故选D2在ABC中,内角A,B,C的对边分别

3、为a,b,c,若ABC的面积为18c2,则ab+ba的最大值为( )A 2 B 4 C 25 D 42【答案】C【解析】由题意得,S=12absinC=18c2,c2=4absinC,又c2=a2+b2-2abcosC,a2+b2=c2+2abcosC,ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCab =4absinC+2abcosCab=4sinC+2cosC =25sin(C+),则ab+ba的最大值为25,故选C3已知函数f(x)3sin(x)(0,0),f(-3)=0,对任意xR恒有f(x)|f(3)|,且在区间(15,5)上有且只有一个x1使f(x1)3,则的最大值为A 574

4、B 1114 C 1054 D 1174【答案】C【解析】由题意知-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z,则=32k+14=k2+4,k1,k2Z,其中k=k2-k1,=k1+k2,又f(x)在(15,5)上有且只有一个最大值,且要求最大,则区间(15,5)包含的周期应最多,所以5-15=2152T,得030,即32k+1430,所以k19.5.分类讨论:.当k=19时,=1174,此时=34可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立,当x15,5时,1174x+342.7,6.6,所以当117x14+34=4.5或6.5时,fx1=3都成立,舍去;.当k=18时,=1114,此时=3

5、4可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立,当x15,5时,1054x+342.5,6,当且仅当105x14+34=4.5或6.5时,fx1=3都成立,综上可得:的最大值为1054.本题选择C选项.4在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,CMD=120,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NANB的取值范围是( )A -1,0) B -1,1) C -34,0) D -12,1)【答案】C【解析】由NANB =MA-MNMB-MN=MN2-MA2=MN2-1,在MCN中,MC=1,MCN=30,MN2=12+NC2-2NC132 =NC2-3N

6、C+1,MN2-1=NC2-3NC=NC-322-34,N在CD上,MC=MD=1,CMD=120,可得CD=3,0NC3,34MN2-10的图象向左平移3个单位,得到函数y=gx的图像,若y=gx在0,4上为增函数,则的最大值为( )A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】由三角函数的性质可得:fx=2sinx2cosx2-23cos2x2+3=sinx-231+cosx2+3=sinx-3cosx=2sinx-3,其图象向左平移3个单位所得函数的解析式为:gx=2sinx+3-3=2sinx,函数的单调递增区间满足:2k-2x2k+2kZ,即2k-2x2k+2kZ,令k=0可得函数

7、的一个单调递增区间为:-2,2,y=gx在0,4上为增函数,则:24,据此可得:2,则的最大值为2.本题选择B选项.7在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,ABBC0,a=32,则ABC周长的取值范围是( )A 2+32,3+32 B 3,3+32 C 1+32,2+32 D 1+32,3+32【答案】B【解析】A是B和C的等差中项,2A=B+C,A=3,又ABBC0,则cos(-B)0,从而B2,2B23,asinA=bsinB=csinC=32sin3=1,b=sinB,C=sinC=sin(23-B),所以ABC的周长为l=a+b+c=32+sinB+

8、sin(23-B) =3sin(B+6)+32,又2B23,23B+656,12sin(B+6)32,3l3+32故选B8若函数fx=sin2x-3与gx=cosx-sinx都在区间a,b0ab上单调递减,则b-a的最大值为( )A 6 B 3 C 2 D 512【答案】B【解析】根据正弦函数的单调递减区间为2+2k,32+2k,kZ ,所以f(x)=sin(2x-3) 的单调递减区间为2+2k2x-332+2k,可解得512+kx1112+k g(x)=cosx-sinx=2cos(x+4) ,由余弦函数的单调递减区间为2k,+2k,kZ,所以2kx+4+2k,可解得2k-4x34+2k 因

9、为f(x)与g(x)在a,b(0ab) 上同为单调递减函数,所以其交集为2k+512x34+2k,所以b-amax=34-512=3 所以选B9已知锐角ABC的内角为A,B,C,点M为AB上的一点,cosACM=313,AC=15,CM=313,则AB的取值范围为( )A 1522,152 B 15,152 C 62,15 D 1522,+【答案】A【解析】:AMC中,由余弦定理可得,AM2=AC2-CM2-2AC CMcosACM=72,AM=62,AMC中,由正弦定理得,AMsinACM=MCsinMAC,得sinMAC=22,MAC=4,当ACB=90时,AB=152,当ABC=90时,

10、AB=1522,ABC为锐角三角形,1522AB152,AB的取值范围为1522,152,故选A.10设函数fx=sin2x+3.若x1x20,且fx1+fx2=0,则x2-x1的取值范围为( )A (6,+) B (3,+) C (23,+) D (43,+)【答案】B【解析】(特殊值法)画出fx=sin2x+3的图象如图所示结合图象可得,当x2=0时,fx2=sin3=32;当x1=-3时,fx1=sin(-23+3) =-32,满足fx1+fx2=0由此可得当x1x2|0-(-3)|=3故选B11函数f(x)=2sin(2x+)(00)在-3,2内有且仅有一个最大值,则的取值范围是( )

11、A 34,5) B 1,5) C 1,92) D (0,34【答案】C【解析】fx=4sinxsin2x2+4+cos2x-1=4sinx1-cosx+22+cos2x-1=2sinx1+sinx+1-2sin2x-1=2sinx,因为函数f(x)在-3,2内有且仅有一个最大值,所以2252-32-3,可得10,2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若fx1对x-12,3恒成立,则的取值范围是( )A 6,3 B 12,3 C 12,2 D 6,3【答案】D【解析】函数fx=2sinx+10,2,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,故函数的周期为2=, =2 ,f(x)=2si

12、n(2x+)+1 若fx1对x-12,3恒成立,即当x-12,3时,sin(2x+)0 恒成立,故有2k2(-12)+23+2k+,求得2k+62k+3,kZ, 结合所给的选项,故选D14已知函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,若fx2对x24,3恒成立,则的取值范围是( )A 6,2 B 6,3 C 12,3 D 12,6【答案】D【解析】因为函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,所以函数周期为T=,=2,由fx2知sin(2x+)12 ,又x24,3时,2x+12+,23+,且2 ,所以612+23+56解得126,

13、故选D.15的三个内角, , 的对边分别为, , ,若, ,则的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】由cosAcosBcosC0,可知,三角形是锐角三角形,由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA,结合正弦定理有b=2acosA, ,A+B+C=180,B=2A,3A+C=180, ,2A0,tan0,tan+tan=1-tantan2tantan,令tantan=m,则m2+2m-10,0m-1+2,即0tantan3-22,当且仅当=8时取等号,tantan的最大值时3-22.故填:3-2219在ABC中,设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列

14、,则3sinA+2sinC的最小值为_.【答案】23+1【解析】由题得2b=2a+c,cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac,所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac212a234c2-22ac2ac=6-24,所以0B750,0sinB6+24,因为2sinB=2sinA+sinC,2sinA+sinC6+22,2sinA+sinC6+221.所以3sinA+2sinC (3sinA+2sinC)2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+2242+22sinAsinC3sinCsinA6+22=42+266+22=2

15、(3+1).故答案为:23+120不等式(acos2x-3)sinx-3对xR恒成立,则实数a的取值范围是_【答案】-32,12【解析】令sin=t,-1t1,则原函数化为gt=-at2+a-3t,即gt=-at3+a-3t,由-at3+a-3t-3,-att2-1-3t-10,t-1-att+1-30及t-10知,-att+1-30,即at2+t-3, 当t=0,-1时(1)总成立,对0t1,0t2+t2,a-3t2+tmax=-32;对-1t0,-14t2+t23),若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2,3),则的取值范围是_(结果用区间表示)【答案】78,

16、1112【解析】由题意,函数f(x)=sinx-cosx=2sin(wx-4),(23), 由fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2,3), 则T2=w3-2=,解得w1,即23BEAB-AE32x-x1x12,xR,若f(x)的图像在x(3,4)内与x轴无交点,则的取值范同是_.【答案】712,11161112,1516【解析】f(x)的图像在x(3,4)内与x轴无交点T2f(x)=sinx-12+cos2x2=22sin(x+4)121由对称中心可知x+4=kx=1(k-4),kZ假设在区间(3,4)内存在交点,可知k4-116k3-112当k=2,3,4时,716712,

17、11161112,151654 以上并集在全集121中做补集,得712,11161112,1516故答案为712,11161112,151624ABC的垂心H在其内部,A=60,AH=1,则BH+CH的取值范围是_.【答案】3,2【解析】在ABC为锐角三角形,设BAH=,且(0,600),所以BH=2AHsin=2sin,CH=2AHsin(60-)=2sin(60-),所以BH+CH=2sin+2sin(60-)=2(sin+32cos-12sin)=2sin(+60),又由(0,600),则+600(600,1200),所以2sin(+60)(3,2,即BH+CH的取值范围是(3,2.25

18、在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_;【答案】6 【解析】在ABC中,由角C的余弦定理可知cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab32,又因为0C,所以Cmax=6。当且仅当a=22,b=26时等号成立。26已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+csinA-sinC=bsinA-sinB,且c=3,则a-b2的取值范围为_【答案】-32,3【解析】由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,得(a+c)(a-c)=b(a-b) 即c2=a2+b2-

19、ab由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC 得C=3;A+B=23 又c=3 csinC=2R;R=1a-b2=2R(sinA-sinB2)=2sinA-sin(23-A)=32sinA-32cosA=3sin(A-6)由题可知 0A23 则-6A-62-32a-b23 即a-b2的范围(-32,3)27如图,在ABC中,sinABC2=33,点 D在线段AC上,且AD=2DC,BD=433,则ABC的面积的最大值为_【答案】32.【解析】由sinABC2=33可得:cosABC2=63,则sinABC=2sinABC2cosABC2=223.由sinABC2=3322可知:ABC245,

20、则ABC0,y0,z0,在ABD中由余弦定理可得:cosBDA=163+2z2-x224332z,在CBD中由余弦定理可得:cosBDC=163+z2-y22433z,由于BDA+BDC=180,故cosBDA=-cosBDC,即:163+2z2-x224332z=-163+z2-y22433z,整理可得:16+6z2-x2-2y2=0.在ABC中,由余弦定理可知:x2+y2-2xy13=3z2,则:6z2=23x2+23y2-49xy,代入式整理计算可得:13x2+43y2+49xy=16,由均值不等式的结论可得:16213x243y2+49xy=169xy,故xy9,当且仅当x=32,y=

21、322时等号成立,据此可知ABC面积的最大值为:Smax=12ABBCmaxsinABC=129223=32.28(安徽省宿州市2018届三模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足asinA-4bsinC=0,A为锐角,则sinB+sinC2sinA的取值范围为_【答案】(64,22).【解析】由asinA-4bsinC=0结合正弦定理可得:a2=4bc,且sinB+sinC2sinA=b+c2a,A为锐角,则:0cosA1,即0b2+c2-a22bc1,据此有:0b2+c2-4bc2bc1,0b2+c2-4bc2bc,6bcb2+c2+2bc8bc,6b+c2bc8,即6

22、16b+c216bc816,616b+c24a2816,据此可得:64b+c2ac,即a+aqaq2,即q2-q-10,解得5-12q5+12,所以ab=1q(5-12,5+12)31已知四边形ABCD中,AB=BC=CD=33DA=1,设ABD与BCD面积分别为S1,S2,则S12+S22的最大值为_.【答案】78【解析】因为AB=1,DA=3,所以S12=14AB2AD2sin2A=34sin2A,在ABD中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=4-23cosA,作CEBD于E,因为BC=CD=1,所以S22=14BD2CE2=14BD2BC2-14BD2=1-32

23、cosA32cosA=32cosA-34cos2A,所以S12+S22=34sin2A+32cosA-34cos2A=-32cosA-362+7878,当cosA=36时,S12+S22的最大值为78.故答案为:7832已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+2bcsinA,0A2,则tanA-4tanB的最小值为_【答案】-12【解析】:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=b2+2bcsinA,得c2-2bccosA=2bcsinA即c-2bcosA=2bsinA,再由正弦定理,得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA,即sinA+B-2sin

24、BcosA=2sinBsinA,即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA,所以tanA-tanB=2tanAtanB,所以tanB=tanA2tanA+1,所以tanA-4tanB=tanA-4tanA2tanA+1=122tanA+1+22tanA+1-522122tanA+122tanA+1-52=-12,当且仅当122tanA+1=22tanA+1,即tanA=12时等号成立,所以tanA-4tanB的最小值为-12;故答案为:-1233在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,侧面是以为斜边的等腰直角三角形,若,则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】由题意可得, ,又平面

25、, 平面 平面, 平面平面平面,又平面平面过作于,则平面,故,在中, ,设,则有中, ,又在中, ,在中, ,又 ,则, ,故答案为.34在中, ,满足的实数的取值范围是_【答案】【解析】中, ,即 则;由|得: 整理得: 解得 实数的取值范围是.故答案为.35点, 分别是椭圆的左、右两焦点,点为椭圆的上顶点,若动点满足: ,则的最大值为_.【答案】【解析】设,由,得,则由,可得,化为,可设, , , ,即的最大值为,故答案为.36在中,设, 分别表示角, 所对的边, 为边上的高.若,则的最大值是_【答案】【解析】有题设条件,所以,又所以,得,其中,令,则,所以的最大值是。37在ABC中,角A

26、,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则Sb2+2c2的最大值为_【答案】1424 【解析】由题得3a2=3b2-b2+3c2-2c2b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccosASb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tanA由题得a2=2b2+c23,cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc22bc6bc=23所以tanA=1cos2A-192-1=142,当且仅当b=2c时取等号.所以Sb2+2c2的最大值为1424,故填1424.38锐角中,角的对边分别为,若,则 取值范围是_【答案】【解析】由结合余弦定理可得 ,即 ,再由正弦定理可得,可得或(舍去),又均为锐角,由于 可得,可得 ,由可得 ,故答案为.