1、第25讲 三角函数与解三角形A组题一、选择题1.在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( )ABCD【答案】A【解析】 所以，选A.2. 中，则（ ） A. B. C. D. 【解析】由正弦定理得即，解得因为所以，所以故选D3.在ABC中，内角所对的边分别是.若， 则的面积是( ) A3 B. C. D3【解析】由得.由余弦定理及得.所以由 得，即.所以，故选.4.设的内角所对边的长分别为，若， 则角( ) A. B. C. D. 【解析】因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.令，则由余弦定理得，所以故选5.在直角梯形中，则() A. B. C. D.【解析】由已知
2、条件可得图形，如图，设，在中，故选.6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【解析】，由余弦定理可得 ，联立，可得7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是( ) AB C D【解析】由 得 ，由余弦定理得， ，故选二、填空题8.（2019全国卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【解析】：由余弦定理有，因为，所以，所以，.9在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【解析】因为，所以，又，则 ，又，得，故，.10如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶 在西偏北的方向上
3、，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山 的高度 m.【解析】依题意，在中，可得，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，所以，所以.三、解答题11.（2019北京卷）在中， ， （）求b,c的值；（）求 的值.【解析】：（I）由余弦定理，得. 因为，所以.解得，所以.（II）由得.由正弦定理得.在中，是钝角，所以为锐角.所以.所以.12.(2019全国卷理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因为，所以（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得由于，所以，故13.（2019天
4、津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求的值；（）求的值.【解析】（）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.（）由（）可得，从而，故.14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.15.在中，分别是角的对边，且满足（1）求角的大小；（2）设函数，求函数在区间上的值域【解析】（1）在中， ， 是的内角，（2）由（1）可知， 由
5、，函数的值域为12.已知分别是的角所对的边，且，.（1）若的面积等于，求； （2）若，求的值.【解析】（1）由余弦定理得， 的面积和等于，联立 （2）， 当时，； 当时，由正弦定理得，联立，解得， ，即，又，综上所述，或.B组题一、选择题1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为，原来三边长为，不妨设，由锐三角形，新的三角形的三边长为，有，又 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.2.【2016高考新课标3】在中，边上的高等于,则（ ）A. B. C. D.【解析】设边上的高线
6、为，则，所以，由余弦定理，知，故选C3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果 ，则角的取值范围为() A. B. C. D.【解析】由题意得，再由正弦定理得，即 ，.又为最大边，.因此得角A的取值范围是.故选4.在中，角所对的边分别为，已知，则的取值范围为（ ）A B. C D. 【解析】由已知得，解得.由余弦定理，有.又，故.又，于是有，即有.故选二、填空题5.已知分别为的三个内角的对边，且，则 .【解析】由知，为锐角，作交于，设，则，则 即，则 6.在中，且，则的面积为_【解析】，即，所以，所以由得，当时，符合题意所以7.在锐角三角形中，若，则的最小值是 .【解析】，因此
7、 ，故所求的最小值为三、解答题8.（2019全国卷理）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围解析（1）由题设及正弦定理得因为，所以由，可得，故因为，故，因此（2）由题设及（1）知ABC的面积由正弦定理得由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而因此，面积的取值范围是9.在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.【解析】）在ABC中，因为，所以由正弦定理得.（）因为，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以ABC的面积.10在中，角的对边分别为，已知 （）证明：； （）求
8、的最小值.【解析】由题意知，化简得， 即.因为, 所以.从而. 由正弦定理得.由知, 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故 的最小值为.11.已知在中，角所对的边长分别为且满足（1）求的大小； （2）若，求的长【解析】（1）在三角形中，由正弦定理得， 因为 所以 即 整理得，由，可得 所以.（2）在三角形中，由，解得， 又因为 所以， ，于是由可得， ， 所以.12.设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【解析】（1）由及正弦定理，得，即 又为钝角，因此，故，即. （2）由（1）知，得，于是 ，由得 ，C组题一、选择题1.如图，在中，点在线段上，且，则的值为（ ）A
9、 B. C D. 【解析】由条件得，.在中，设，则由余弦定理得 因为所以，所以 联立解得，所以.在中，故选2.已知的内角对的边分别为，当内角最大时，的面积等于()A. B. C. D.【解析】根据正弦定理及得，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（ ） A B. C D. 【解析】取，则，由余弦定理得，在如图所示的等腰三角形中，可得，又，. 另解：由得，即， 故选4.在中，角所对的边分别为满足， ，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【解析】由得：，则，由可知：为钝角，则，由于，所以，故选B.二、填空题5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点
10、处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .【解析】由勾股定理可得，过作，交于，连结，则，设，则，由得，在直角中，故，令，令得，代入得，故的最大值为6. 的内角的对边分别为，已知，则 .【解析】由余弦定理得，将已知代入，化简可得，再由正弦定理，可得，再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得，将已知条件代入上式，化简可得，再由正弦定理，可得，.，7.已知满足，点在外，且，则的取值范围是_【解析】由满足，可得为等边三角形又点在外，且，设等边边长为，如图1，若与在同侧，设，在中，则，由，得，联立可得，又，则
11、；如图2，若与在异侧，设，在中，则，可得，又，则综上，的最小值为1，最大值为3，故答案为：三、解答题8.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【解析】（1）据正弦定理，可设，则 故，有，变形得 （2）由已知，根据余弦定理，有. 所以 由（1）所以，故9. 在中，若，且. （1）求角的大小； （2）求的面积.【解析】（1）由题可知：在中，因为，所以，即，而向量，是两个不共线向量，所以，所以，因为，所以，在等腰中，所以，；由上知：，所以，所以，结合，所以，.（2） 由（1）知，则，由正弦定理得：， 所以，10. 如图，为平面四边形的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.【解析】（1）.（2）由，得.由（1），有 连结BD，在中，有，在中，有，所以 ，则，于是. 连结AC，同理可得，于是.所以 .