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第25讲 三角函数与解三角形 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优

1、第25讲 三角函数与解三角形A组题一、选择题1.在中,角,的对边分别为,若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是( )ABCD【答案】A【解析】 所以,选A.2. 中,则( ) A. B. C. D. 【解析】由正弦定理得即,解得因为所以,所以故选D3.在ABC中,内角所对的边分别是.若, 则的面积是( ) A3 B. C. D3【解析】由得.由余弦定理及得.所以由 得,即.所以,故选.4.设的内角所对边的长分别为,若, 则角( ) A. B. C. D. 【解析】因为,所以由正弦定理可得.因为,所以.令,则由余弦定理得,所以故选5.在直角梯形中,则() A. B. C. D.【解析】由已知

2、条件可得图形,如图,设,在中,故选.6.在中,三内角的对边分别为,面积为,若,则等于( ) A. B. C. D. 【解析】,由余弦定理可得 ,联立,可得7.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( ) AB C D【解析】由 得 ,由余弦定理得, ,故选二、填空题8.(2019全国卷理)的内角的对边分别为.若,则的面积为_.【解析】:由余弦定理有,因为,所以,所以,.9在 中,内角 所对的边分别为 ,已知的面积为 , 则的值为 .【解析】因为,所以,又,则 ,又,得,故,.10如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶 在西偏北的方向上

3、,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山 的高度 m.【解析】依题意,在中,可得,因为,由正弦定理可得,即,在中,因为,所以,所以.三、解答题11.(2019北京卷)在中, , ()求b,c的值;()求 的值.【解析】:(I)由余弦定理,得. 因为,所以.解得,所以.(II)由得.由正弦定理得.在中,是钝角,所以为锐角.所以.所以.12.(2019全国卷理)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(1)求A;(2)若,求sinC【解析】:(1)由已知得,故由正弦定理得由余弦定理得因为,所以(2)由(1)知,由题设及正弦定理得,即,可得由于,所以,故13.(2019天

4、津卷理)在中,内角所对的边分别为.已知,.()求的值;()求的值.【解析】()在中,由正弦定理,得,又由,得,即.又因为,得到,.由余弦定理可得.()由()可得,从而,故.14ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为 (1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长【解析】(1)由题设得,即.由正弦定理得.故.(2)由题设及(1)得,即.所以,故.由题设得,即.由余弦定理得,即,得.故的周长为.15.在中,分别是角的对边,且满足(1)求角的大小;(2)设函数,求函数在区间上的值域【解析】(1)在中, , 是的内角,(2)由(1)可知, 由

5、,函数的值域为12.已知分别是的角所对的边,且,.(1)若的面积等于,求; (2)若,求的值.【解析】(1)由余弦定理得, 的面积和等于,联立 (2), 当时,; 当时,由正弦定理得,联立,解得, ,即,又,综上所述,或.B组题一、选择题1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为( )A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为,原来三边长为,不妨设,由锐三角形,新的三角形的三边长为,有,又 故得到新三角形为锐角三角形,故选C.2.【2016高考新课标3】在中,边上的高等于,则( )A. B. C. D.【解析】设边上的高线

6、为,则,所以,由余弦定理,知,故选C3.在不等边三角形中,角所对的边分别为,其中为最大边,如果 ,则角的取值范围为() A. B. C. D.【解析】由题意得,再由正弦定理得,即 ,.又为最大边,.因此得角A的取值范围是.故选4.在中,角所对的边分别为,已知,则的取值范围为( )A B. C D. 【解析】由已知得,解得.由余弦定理,有.又,故.又,于是有,即有.故选二、填空题5.已知分别为的三个内角的对边,且,则 .【解析】由知,为锐角,作交于,设,则,则 即,则 6.在中,且,则的面积为_【解析】,即,所以,所以由得,当时,符合题意所以7.在锐角三角形中,若,则的最小值是 .【解析】,因此

7、 ,故所求的最小值为三、解答题8.(2019全国卷理)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围解析(1)由题设及正弦定理得因为,所以由,可得,故因为,故,因此(2)由题设及(1)知ABC的面积由正弦定理得由于为锐角三角形,故,由(1)知,所以,故,从而因此,面积的取值范围是9.在ABC中, =60,c=a.()求sinC的值;()若a=7,求ABC的面积.【解析】)在ABC中,因为,所以由正弦定理得.()因为,所以.由余弦定理得,解得或(舍).所以ABC的面积.10在中,角的对边分别为,已知 ()证明:; ()求

8、的最小值.【解析】由题意知,化简得, 即.因为, 所以.从而. 由正弦定理得.由知, 所以 ,当且仅当时,等号成立. 故 的最小值为.11.已知在中,角所对的边长分别为且满足(1)求的大小; (2)若,求的长【解析】(1)在三角形中,由正弦定理得, 因为 所以 即 整理得,由,可得 所以.(2)在三角形中,由,解得, 又因为 所以, ,于是由可得, , 所以.12.设的内角,的对边分别为,且为钝角.(1)证明:;(2)求的取值范围.【解析】(1)由及正弦定理,得,即 又为钝角,因此,故,即. (2)由(1)知,得,于是 ,由得 ,C组题一、选择题1.如图,在中,点在线段上,且,则的值为( )A

9、 B. C D. 【解析】由条件得,.在中,设,则由余弦定理得 因为所以,所以 联立解得,所以.在中,故选2.已知的内角对的边分别为,当内角最大时,的面积等于()A. B. C. D.【解析】根据正弦定理及得,当且仅当,即时,等号成立,此时,故选3.在锐角中,角的对边分别为,若,则的值是( ) A B. C D. 【解析】取,则,由余弦定理得,在如图所示的等腰三角形中,可得,又,. 另解:由得,即, 故选4.在中,角所对的边分别为满足, ,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【解析】由得:,则,由可知:为钝角,则,由于,所以,故选B.二、填空题5.如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点

10、处进行射击训练.已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .【解析】由勾股定理可得,过作,交于,连结,则,设,则,由得,在直角中,故,令,令得,代入得,故的最大值为6. 的内角的对边分别为,已知,则 .【解析】由余弦定理得,将已知代入,化简可得,再由正弦定理,可得,再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得,将已知条件代入上式,化简可得,再由正弦定理,可得,.,7.已知满足,点在外,且,则的取值范围是_【解析】由满足,可得为等边三角形又点在外,且,设等边边长为,如图1,若与在同侧,设,在中,则,由,得,联立可得,又,则

11、;如图2,若与在异侧,设,在中,则,可得,又,则综上,的最小值为1,最大值为3,故答案为:三、解答题8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(I)证明:;(II)若,求.【解析】(1)据正弦定理,可设,则 故,有,变形得 (2)由已知,根据余弦定理,有. 所以 由(1)所以,故9. 在中,若,且. (1)求角的大小; (2)求的面积.【解析】(1)由题可知:在中,因为,所以,即,而向量,是两个不共线向量,所以,所以,因为,所以,在等腰中,所以,;由上知:,所以,所以,结合,所以,.(2) 由(1)知,则,由正弦定理得:, 所以,10. 如图,为平面四边形的四个内角.(1)证明:(2)若求的值.【解析】(1).(2)由,得.由(1),有 连结BD,在中,有,在中,有,所以 ,则,于是. 连结AC,同理可得,于是.所以 .