1、第23讲 平面向量选择填空压轴题专练A组一、选择题1(2018天津)如图，在平面四边形中， 若点为边上的动点，则的最小值为A B C D 【答案】A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形中，所以，设,，所以，因为，所以，即，解得，即，因为在上，所以，由，得，即，因为，所以，令，因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以所以的最小值为，故选A2已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B。3如图，已知
2、平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记，则AIIIBIIICIIIDIII【答案】C【解析】因为，所以，选C.4在中，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，（，），则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由，三点共线可得存在实数使得，同理由，三点共线可得存在实数使得，解得，设，则，即，即，故，即的最小值为，故选：D5已知点为内一点，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图，点为内一点，过作垂直于点，点为线段的中点，则.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，故选：D.6设向量，且，则的值等于（ ）A1
3、 B C D0【答案】C【解析】因为,，所以，即，所以， ，故选C.7如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为（ ）A-1 B0 C. 1 D2【答案】B【解析】设,以所在直线为轴,建立直角坐标系,可得,直线的方程为,由于与共线,在的角平分线上,可得所在直线方程是,设与共线得的纵坐标为,将代入直线方程,得,可得直线的方程为,再令得,可得点坐标为,故选B.8在正四棱锥中，为正方形的中心，且平面与直线交于，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为为正方形的中心,所以为的中点,又,所以在线段上,平面与交于,即的延长线与交于,在平面中,取的中点,连接,则,所以相似
4、于,相似比为,因此,又,所以,故选A.9由点向圆：引两条切线，切点为，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则，所以的最小值是.10在中，是边上的一点，且，则的值为（ ）A0 B4 C8 D【答案】B【解析】，,故选B.11在平面内，定点满足，动点满足，则的最大值是（ ）A B C. D【答案】B【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B二、填空题12.（2019天津卷理）在四边形中，点在线段的延长线上，且，则 .【答案】解析 因为，所以在等腰三角形中，又，所以，所以.因为，所
5、以.又，所以.13 ，则 【答案】 【解析】 ,则14已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_.【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是.15已知点，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为 【答案】【解析】由题意可知，问题等价于以为直径的圆与圆有交点，故以为直径的圆：，而圆化为标准方程：，圆心距为，即实数的最小值是，故填：16分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则_【答案】【解析】依题意有，故.17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是_，最大值是_.【答案】最小值为0，最大值为解析：正方形ABCD的边长为1
6、，可得，,由于i(i=1,2，3，4，5，6)取遍，可得，可取，可得所求最小值为0；由，可取可得所求最大值为B组一、选择题1在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若= +，则+的最大值为（ ）A3 B2 C D2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ，若满足即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.2.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（ ）A2 B C3 D【答案】A【解析】由题意得：，所
7、以，.设点，所以由可得：，即. 由双曲线的第二定义可得：，所以，所以，所以，故应选.3在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则A B C D 【答案】D【解析】设，由，解得，由，得，点在圆上，因此，解得故选D4如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.5在矩形中，点为的中点，则（ ）A B C D【答案】C.6如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界
8、），则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】分三种情况讨论：当在线段上时，设，则由于，所以，故；当在线段上时，设，则由于，所以，故；当在阴影部分内（含边界），则，故选C7在ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（ ）A B C D【答案】【解析】设,因为所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图：在中，,由正弦定理,解得,所以,故选B.二、填空题8已知是的中线，则的最小值是 .【答案】【解析】，9如图，在菱形中，为的中点，则的值是 【答案】【解析】由已知，.C组一、选择题1如图，在梯形中，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8
9、个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则，当P在CD边上时，设，则；当P在AB边上时，设，则；当P在BC边上时，设，则；当P在AD边上时，设，则；因此实数的取值范围是，选D.2已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（ ）A. 1:2:3 B. 1:4:9 C. 6:1:2 D. 3:1:2 【答案】D【解析】取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，由，得， 即；同理得，；，；P到BC的距离等于A到BC距离的，设的面积为S，则；P到AC的距离等于B到AC距离的，.故选D.3已
10、知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】设,因,且,故，所以，,故应选B.4设，点为所表示的平面区域内任意一点，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为A B C D【答案】A【解析】由题意， f（x）=（0，-5）（x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），所表示的平面区域如图所示由，可得y=，所以f(m)=-5=-5(1-)=-5+，由于m2，所以当m=2时，f(m)max=，故选A5设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】试题分析：由条件，是的重心，则有，即，而.6如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）A. B. C. D.4【答案】A【解析】如图令，由于故,如图，AB=1，故，,故，同理可求得，所以，所以的最大值为2.二、填空题7在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）若，其中，则的取值范围是_【答案】【解析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，依题意得，设，依题意，即，两式相减得，.8在中，设交于点，且，则的值为 【答案】【解析】由题设可得,即,也即,所以,解之得,故,应填