1、第20讲 三角函数的图象及性质A组一、选择题1已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数
2、名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.2.函数的部分图象如图所示，的值为（ ）A0 B C D答案A解析：由图知，所以，所以由正弦函数的对称性知，所以，故选A3如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A B C D答案C解析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，令得故选C.4函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）A、 B、 C、 D、答案A解析：由图可知，即，所以由可得，所以函数，又因为函数图像过点，所以，即，又因为，所以，故应选5关于函数，下列命题正确的是（ ）A由可得是的整数倍 B的表达式可改写成C的
3、图象关于点对称 D的图象关于直线对称答案C解析：A中，令，则，即，所以若有是的整数倍，故A不正确；B中，故B不正确；C中，令，得（），所以函数的图象的对称点为，故C正确；D中令（）可得，所以函数图象的对称轴为直线，故D不正确，故选C二、填空题6如图，已知分别是函数在轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且则该函数的周期是 答案解析：由题意可设，又所以7函数的部分图象如图所示，则函数解析式 答案解析：由图可知，所以，所以把代入，得，结合，得，所以三、解答题8设函数（1）若，求的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值解析：（1）由题意可知，由，所以的单调递增区间是和（
4、2）由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立，因此，所以面积的最大值为9设函数，其中，若且图像的两条对称轴间的最近距离是（1）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围解析：（1）由条件，又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，（2）由，知，是的内角，从而由，即10已知函数（）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；（）设锐角的内角的对应边分别是，且，若向量与向量平行，求的值解析：（），当时，即，得，取得最大值；当时，即，得，取得最小值；（）向量与向量平行，所以，根据正弦定理的推论，得，由余弦定理经检验符合三角形要求，的值为11已知向量，设函数（）
5、求函数取得最大值时取值的集合；（）设，为锐角三角形的三个内角若，求 的值。解析:（） 要使取得最大值，须满足取得最小值 当取得最大值时，取值的集合为（）由题意，得，B组一、选择题1将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）A B C D答案C解析:将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，可得，求得的最小值为，故选：B2如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（ ）A在上是减函数 B在上是减函数 C在上是增函数 D在上是增函数答案C解析:由图可知，又由，知函数的图象关于直线对称，所以由五点法作图，得，所以，则，即，所以，所以，在上，所以在上是增
6、函数，故选C3在中，若函数在上为单调递减函数，则下列命题正确的是（ ）A B C D答案D解析:由题在中，由，可得 从而可得，即，根据题意函数在上为单调递减函数，故，选D4为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度答案B解析:，将函数的图象向右平移个单位长度故选B二、填空题5设函数，的值域是，则实数的取值范围是 答案解析:因为，所以，而函数的值域为，所以，所以，即实数的取值范围是.6已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 答案2解析:（其中，）将图象向右平移个单位长度得
7、，所以，解得三、解答题7已知函数（）求函数的单调递减区间；（）设时，函数的最小值是，求的最大值解析:（）令，得，的单调递减区间 （） ,令 得，所以8已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.解析：（1） 函数最小正周期是, 解得，函数单调递增区间为（2），的最小值，由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为9已知函数,的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间解析:(1)由题设图象知，周期因为点在函数图象上,所以即又从而,即.又点在函数图象上，所以故函数的解析式为.(2) ,由得 的单调递增区间是 10已知函数(1)求的最小正周期
8、和最大值；(2)讨论在上的单调性.解析：(1),因此的最小正周期为，最大值为.(2)当时，从而当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.综上可知，在上单调递增，在上单调递减.C组一、 选择题1如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）A BC D答案C.解析：由题意得，故排除B，D；又，故排除A，故选C.2将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）A B C D答案C解析：，沿轴向右平移个单位后得到为偶函数，因此，从而选C.3为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）A横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C纵
9、坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变答案A解析：这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.4函数的图像与函数的图像（ ）A有相同的对称轴但无相同的对称中心 B有相同的对称中心但无相同的对称轴C既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案A解析：函数的对称轴为函数的对称轴为；当时，二者有相同的对称轴；同理，由三角函数的性质可得函数的对称中心为，函数的对称
10、中心为，二者没有相同的对称中心二、 填空题5函数的最小正周期是_.答案解析：因为函数，所以最小正周期是，故答案为.6已知函数的图象关于直线对称，则的值为_答案解析：方法一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：因为关于直线对称， 方法二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意三、 解答题7设函数，其中（I）若是函数的一条对称轴，求函数周期；（II）若函数在区间上为增函数，求的最大值解析:由题意得，（I）因为是函数的一条对称轴，所以，即 又，所以所以函数，周期， （II）
11、函数的单调递增区间为，整理得依题意函数在区间上为增函数，故取，则有即，所以， 又，所以的最大值为8已知函数经过点，且在区间上为单调函数（）求的值；（）设，求数列的前项和解析:（）由题可得，解得，（），数列的周期为前三项依次为， 9设函数.(1)写出的最大值，最小值，最小正周期；(2)试求正整数的最小值，使得当自变量在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数至少有一个值是，一个值是.解析：（1） (2)由题意知在相邻两整数之间（包括整数本身）至少有一个和一个，最小正周期，则，又为正整数，正整数的最小值为.10已知函数 (其中)，对任意实数，在区间上要使函数值出现的次数不少于次且不多于次，求值解析：由，得.函数在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间长度为，为了使长度为的区间内出现函数值不少于次且不多于次，必须使不小于个周期长度且不大于个周期长度，即，且.又，故