1、 第 17 讲 统计与统计案例 A 组 一、一、选择题选择题 1某书法社团有男生 30 名，女生 20 名，从中抽取一个 5 人的样本，恰好抽到了 2 名男生和 3 名女生该抽样一定不是系统抽样；该抽样可能是随机抽样；该抽样不可能是分层抽样；男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为135P ，女生被抽到的概率为225P ，所以只有是正确的，故选 B. 2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生
2、在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 。已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则, x y的值分别为（ ） A2,5 B5,5 C5,8 D8,8 【答案】C 【解析】由中位数的定义可知5x，因8 .16524930)85(y，故8y，应选 C。 3 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用， 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H： “这种血清不能起到预防感冒的作用” ，利用 22 列联表计算的结果，认为0H成立的可能性不足 1%，那么2K的一个可能取值为( ) A7.897 B.6.635 C. 5.024 D.
3、 3.841 【答案】A 【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为 99%的有效率，显然06.635,k 所以选 A. 4下列说法正确的是 （ ） A在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点 中的一个点 C在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差 【答案】C 【解析】A回归分析反映两个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情况。错误； axby),(11yx),(22yx),(, 33yx),(nnyx2R98. 02R80
4、. 0B线性回归方程对应的直线，过其样本数据平均数点，错误； D相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好。 错误； C在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高. 正确。 二、填空题 5甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击 20 次，三人的测试成绩如下表 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则的大小关系为 ；分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则的大小关系为 【答案】123xxx；213sss 6某班有 55 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 5 的样本，已知 3 号、25 号、47 号同学在样本中，那么样本
5、中还有两个同学的学号分别为 和 。 【答案】14 和 36 三、解答题 7 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查 10 件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg） ： 甲：13 15 14 14 9 14 21 9 10 11 乙：10 14 9 1 15 21 23 19 22 16 （）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数； （）计算甲种商品重量误差的样本方差； （）根据茎叶图分析甲、乙两种产品的质量 【解析】茎叶图如图 甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13.5，15.5 （）13 15 14 149 1421 11 109131
6、0 x 甲种商品重量误差的样本方差为222221(13 13)15 1314 1314 139 1310 2222214 1321 1311 1310 139 13 116 （）由茎叶图知，乙产品的重量误差的中位数高于甲产品的重量误差的中位数，而且由茎叶图可以大致看出乙产品的重量误差的的标准差要大于甲产品的重量误差的的标准差，说明甲产品的质量较好，而且较稳定 8某工厂 36 名工人的年龄数据如下表： axby2R123,x xx123,x xx123,s s s123,s s s甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的
7、成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值x和方差2s； （3）求这 36 名工人中年龄在,xs xs内的人数所占的百分比 【解析】 （1）根据系统抽样的方法，抽取容量为 9 的样本，应分为 9 组，每组 4 人 由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，4
8、4，43，37 （2）由（1） ，得444036433637444337409x， 2222222222444040403640434036403740110099444043403740s （3）由（2） ，得1040,3xs，2136,4333xsxs，由表可知，这 36 名工人中年龄在,xs xs内共有 23 人，所占的百分比为23100%63.89%36 9某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （1）请在图中画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程$y
9、bxa$； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力。 【解析】 （1）如图所示 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （2）1niiix y6283105126158，9,4xy 21niix
10、6282102122344， 0.7b $，$abxy$40.792.3， 故线性回归方程为 y0.7x2.3. （3）由回归直线方程，当 x9 时， y6.32.34，所以预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. 102019 年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于 2019 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京开幕为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在1575:岁之间的 100 人进行调查， 并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示， 其分组区间为：15,25 , 25,35 , 35,45 ,
11、 55,65 , 65,75把年龄落在区间15,35和35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人” ，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为 9：11 （1）求图中ab、的值； （2）若“青少年人”中有 15 人在关注两会，根据已知条件完成下面的2 2列联表，根据此统计结果能否 有 99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？ 关注 不关注 合计 青少年人 15 中老年人 合计 50 50 100 附参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 临界值表： 20P Kk 0.05 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 【解析
12、】 （1）依频率分布直方图可知： 45100.0310055100.0100.0050.005100ba，解之，得0.0350.015ab， （2）依题意可知： “青少年人”共有1000.015 0.03045人， “中老年人”共有 100-45=55 人，完成的2 2列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年人 15 30 45 中老年人 35 20 55 合计 50 50 100 结合列联表的数据得： 22210030 3520 159.09150 50 55 45n adbcKabcdacbd 因为26.6350.01,9.0916.635P K ， 所以有超过 99%的把握认为“中老年人
13、”比“青少年人”更加关注两会 B 组 一、一、选择题选择题 1在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示; 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人， 则其中成绩在区间139,151上的运动员人数为( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】B 【解析】根据茎叶图中的数据得，成绩在区间139，151上的运动员人数是 20，用系统抽样方法从 35 人中抽取 7人，成绩在区间139，151上的运动员应抽取207435 (人)，故选 B. 2从实验小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身
14、高在120，130内的学生人数为（ ） A3 B25 C30 D35 【答案】C 【解析】由图知， （0035+a+0020+0010+0005）10=1，解得 a=003 身高在120，130内的学生人数在样本的频率为 00310=03 故身高在120，130内的学生人数为 03100=30 3已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于y与x的线性回归方程为$2.10.85yx，则m的值为（ ） A1 B0.85 C0.7 D0.5 【答案】D 【解析】因45 .15, 5 . 143210myx,故将其代入$2.10.85yx,可得5 . 0m.应选
15、 D. 4在一次独立性检验中，得出 22 列联表如下： y1 y2 合计 x1 200 800 1000 x2 180 m 180+m 合计 380 800+m 1180+m 最后发现，两个分类变量 x 和 y 没有任何关系，则 m 的可能值是（ ） A200 B720 C100 D180 【答案】B 【解析】由独立性检验，已知使两个分类变量无关，则可得；720,800380180mmm 二、填空题 5为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123， 第2小组的频数为12， 则报考飞行员的学生人
16、数是 . 【答案】48. 【解析】 设图中从左到右的第 1 小组的频率为x,则第 2 小组的频率为2x,第 3 小组的频率为3x,由频率分布直方图的性质，得：230.037 5 0.013 5 1xxx ， 解得：0.125x，第 2 小组的频率为20.25x，又已知第 2 小组的频数为 12， 报考飞行员的学生人数是：12 0.2548.故答案应填：48. 6某村有 2500 人，其中青少年 1000 人，中年人 900 人，老年人 600 人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取 36 人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为, a b，则直线80a
17、xby上的点到原点的最短距离为_ 【答案】3434 【 解 析 】2436900600,40369001000ba， 因 此 直 线80axby上 的 点 到 原 点 的 最 短 距 离 为34342440822 三、解答题 7今年的NBA西部决赛勇士和雷霆共进行了七场比赛，经历了残酷的“抢七”比赛，两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表： 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场 库里 26 28 24 22 31 29 36 杜兰特 26 29 33 26 40 29 27 （1）绘制两人得分的茎叶图； （2）分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳
18、定程度. 【解析】 （1）如图 （2）库里的平均得分28)36293122242826(711x分 方差7130813)6()4(0)2(71222222221s. 杜兰特的平均得分30)27294026332926(712x分 方差7152)3() 1(10)4(3) 1()4(71222222222s. 222121,ssxx，则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些. 8100 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示. （1）估计这 100 名学生的数学成绩落在50,60）中的人数； （2）求频率分布直方图中 a 的值； （3）估计这次考试的中位数
19、n （结果保留一位小数）. 【解析】 （1）由图可知落在50,60）的频率为 0.01100.1 由频数总数频率，从而得到该范围内的人数为 1000.110. （2）由频率分布直方图知组距为 10，频率总和为 1，可列如下等式： （0.01+0.015+0.03+0.01+a）101 解得 a0.035. （3）前两个小矩形面积为 0.01100.015100.25. 第三个小矩形的面积为 0.03510=0.35 中位数要平分直方图的面积 1 .771 . 770035. 025. 05 . 070n 9甲、乙两所学校高三年级分别有 1200 人，1000 人，为了了解两所学校全体高三年级学
20、生在该地区六校联考的数学成绩情况， 采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩， 并作出了频数分布 统计表如下： 甲 校 分组 70,80） 80,90） 90,100） 100,110） 频数 3 4 8 15 分组 110,120） 120,130） 130,140） 140,150 频数 15 3 2 乙 分组 70,80） 80,90） 90,100） 100,110） x校 频数 1 2 8 9 分组 110,120） 120,130） 130,140） 140,150 频数 10 10 3 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 （1）计算，的值； （2）若规定考
21、试成绩在120,150内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）根据以上统计数据完成 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异 【解析】 （1）甲校抽取 11060 人，乙校抽取 110=50 人， 故 x10， y7， （2）估计甲校优秀率为， 乙校优秀率为40% （3）表格填写如图， 甲校 乙校 总计 优秀 15 20 35 非优秀 45 30 75 总计 60 50 110 k22832706 又因为 101009，故有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异 10下表提供了甲产品的产量（吨）与利润（万元）的几组对照数据 （1）请根据上表提供的数
22、据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）计算相关指数的值，并判断线性模型拟合的效果 参考公式：， 【解析】 （1） ， ， ， yxy12002200100022001525%6020502110(15 3020 45)60 50 35 75xyx3456y2.5344.5yxybxa2R1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx22121()1()niiiniiyyRyy 4.5,3.5xy224 4.5 3.563,4 4.581nx ynx 17.5 12202766.5niiix y219 16253686niix12216
23、6.5630.78681niiiniix ynxybxnx3.50.74.50.35aybx关于的线性回归方程 （2） 线性模型拟合的效果较好 C 组 一、选择题 1某学校高一、高二、高三年级分别有 720、720、800 人，现从全校随机抽取 56 人参加防火防灾问卷调查先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为 001，002，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（ ） A001，041，761 B031，071，791 C027，067，787 D055，095，795 【答案】D 【解析】由根据分层抽样可得高三
24、年级抽取出 20 人，利用系统抽样可分成 40 组得到的数据特征应成等差数列,经计算答案中的数据740055795不是40的整数倍,因此这组数据不合系统抽样得到的,故应选 D. 2 已知一组数据54321,xxxxx的平均数是2， 方差是31， 那么另一组数据23 , 23 , 23 , 23 , 2354321xxxxx的平均数，方差是（ ） A31, 2 B1 , 2 C32, 4 D3 , 4 【答案】D 【解析】因为数据54321,xxxxx的平均数是2，方差是31，所以31)2(51, 2512iixx， 因此数据23 , 23 , 23 , 23 , 2354321xxxxx的平均
25、数为：42513)23(515151iiiixx， 方差为：3319)2(519)63(51)23(51512512251iiiiiixxxx. 3已知关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料， 由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】C yx0.70.35yx222221()(2.53.5)(33.5)(43.5) (4.53.5)2.5niiyy222221()(2.52.45)(33.15)(43.85) (4.54.55)0.05niiiyy22121
26、()0.05110.982.5()niiiniiyyRyy xy$0.08ybx$12y 【解析】由已知表格得：1(23456)45x ，1(2.23.85.56.57.0)55y ， 由于线性回归直线恒过样本中心点, x y，所以有：540.08b，解得：1.23b， 所以线性回归方程1.230.08yx，由得：1.230.08 12x解得：9.69x， 由于*xN，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为 9.故选 C. 4在一次实验中，采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则, x y的函
27、数关系与下列（ ）类函数最接近（其中, a b为待定系数） Ayabx B . xyab C. 2yaxb D. byax 【答案】B 【解析】由表格数据逐个验证，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为 y=a+bx故选 B 二、填空题 5一个总体中的 80 个个体编号为 0,1,2，79，并依次将其分为 8 个组，组号为 0,1，9，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为 8 的样本，即规定先在第 1 组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数为ik（当10ik）或10ik （当10ik）的号码，在6i 时，所抽到的第 8 组的号码是 . 【答
28、案】73 【解析】第 1 组抽取号码为6，第 8 组抽取号码为6 8 10 6973 6给出下列命题： 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； 由变量x和y的数据得到其回归直线方程: l ybxa，则l一定经过点, x y； 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； 在回归直线方程0.110yx中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 y增加0.1个单位，其中真命题的序号是 【答案】 【解析】线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之
29、，线性相关性越弱，故错；回归直线方程一12y 定经过样本中心点, x y，所以正确；的抽样方式为系统抽样，故错；由在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数 r 的平方。显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故正确； 由回归直线方程可知， 当解释变量x每增加一个单位时， 预报变量 y增加0.1个单位的解释是正确的，故正确；所以正确的序号为。 三、解答题 7偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关
30、系进行分析，随机挑选了 8 位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 -5 -10 -18 物 理 偏 差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 -0.5 -2.5 -3.5 （1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若该次考试该数学平均分为 120 分，物理平均分为 91.5 分，试由（1）的结论预测数学成绩为 128 分的同学的物理成绩 参考数据： 818222222222120 6.5 15 3.5 13 3.5 3 1.52 0.550.5102.5183.532420151
31、332510181256iiiiiiix yx 【解析】 （1）由题意， 20 15 133251018582x ， 6.53.5 1.50.50.52.53.5988y ，812282159324812845125682iiiiix ynxybxnx ， 所以91518422aybx，故线性回归方程为1142yx， （2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：91.5 而数学偏差为 128-120=8，1191.5842 ，解得94， 所以，可以预测这位同学的物理成绩为 94 分 8.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60） ，60
32、,70） ，70,80） ，80,90） ，90,100 （1）求图中 a 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生数学成绩的平均分； （3）若这 100 名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与物理成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求物理成绩在50,90）之外的人数 分数段 50,60） 60,70） 70,80） 80,90） xy 11 21 34 45 【解析】 （1）由频率分布直方图知： （2a002003004）101，解得 a0005 （2）由频率分布直方图知这 100 名学生数学成绩的平均分为： 550005106500410750031085002109
33、500051073（分） （3）由频率分布直方图知数学成绩在50,60） ，60,70） ，70,80） ，80,90）各分数段的人数依次为： 00051010=5, 00410100=40, 0031010030, 0021010020 由题中给出的比例关系知物理成绩在上述各分数段的人数依次为：5,401220,304340,205425 故物理成绩在50,90）之外的人数为 100（5204025）10 9日本发生了 9.0 级地震，地震引发了海啸及核泄漏某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表 1（单位：人） 核专家为
34、了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响， 随机选取了 110只羊进行了检测， 并将有关数据整理为不完整的 22列联表 （表 2） 表 1 相关人员数 抽取人数 心理专家 24 x 核专家 48 y 地质专家 72 6 表 2 高度辐射 轻微辐射 合计 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 合计 C D E （1）求研究小组的总人数； （2）写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关 【解析】 （1）依题意知72648y24x，解得 y4，x2.所以研究小组的总人数为 2461
35、2. （2）根据列联表特点得 A20，B50，C80，D30，E110. 可求得 2211030 1050 2050 60 80 307.4866.635 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关 10某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. xr yu r wu r 821()iixx 821()iiww 81()()iiixxyy 81()()iiiw
36、w yy 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中iiwx ，wu r =1881iiw （）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题： （）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据11( ,)u v,22(,)u v
37、，(,)nnu v,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【解析】 （）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型. （）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于$81821()()()iiiiiww yydww=108.8=6816， $cydw$=563-686.8=100.6.y关于w的线性回归方程为$100.668yw， y关于x的回归方程为$100.668yx. （） （）由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值$100.668 49y =576.6， 576.6 0.24966.32z $. （）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxxx $， 当x=13.6=6.82，即46.24x时，z$取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.