1、 第05讲函数与方程综合A组一、选择题1（2019浙江9）已知，函数，若函数恰有3个零点，则Aa-1，b0 Ba0 Ca-1，b0 【答案】C解析：当时，最多一个零点；当时，当，即时，在上递增，最多一个零点.不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点?函数在上有一个零点，在上有2个零点，如下图：所以且，解得，故选C2.（2018全国卷）已知函数若存在2个零点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，解得，故选
2、C3.已知实数，满足，则函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D.【解析】，又，从而由零点存在定理可知在区间上存在零点故选B.4.已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选5.设函数，则函数( ）A在区间，内均有零点 B在区间，内均无零点C在区间内有零点，在内无零点 D在区间内无零点，在(内有零点【解析】的定义域为，故在上递减，又 ，故选D.6. 已知函数满足：，且是偶函数，当时
3、，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【解析】由的周期为，又是偶函数，且时，故可示意在上图象，有4个零点转化为函数与在上有4个交点，由图象知，故选C.7.已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.1, )【解析】设，原题转化为函数在上有两个零点（可以相同），则 解得，故选B.8.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）A. 0 B. C. D. 【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选B.（客观上函数与有共同的对称中心，所以它们的所有交点关于对称二、填空题9（2018年全国卷）函数在的零点个数为_【答案】3【解析】由题意知，所以，
4、所以，当时，；当时，；当时，均满足题意，所以函数在的零点个数为310（2017年高考全国3卷理）设函数则满足的x的取值范围是_。【答案】【解析】由题意： ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且： ，据此x的取值范围是： .11若函数f(x)= -x-m无零点,则实数m的取值范围是 .【解析】原题转化为函数所表示的上半圆与斜率为1的平行线系没有公共点的问题， 画图，可得或.12设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 .【解析】原方程可变为，作出函数的图象，再作直线，从图象可知函数在上递增，在上递减，在上递增，只有当时，才有 三个交点，所以.13.已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不
5、同的根，则的取值范围是_.【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得.14.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义 (2)设该地上班族总人数为，
6、则自驾人数为，乘公交人数为因此人均通勤时间，整理得：，则当，即时，单调递减；当时，单调递增实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降B组一、选择题1. 设函数，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是() A， B， C， D，【解析】依题意，示意图象，可知，且异号，而，故选B.2.已知函数,则关于的零点叙述正确的是( ) A.当时,函数有两个零点 B.函数必有一个零点是正数 C.当时,函数有两个零点 D.当时,函数只有一个零点【解析】函
7、数的零点可转化为函数与图象的交点情况研究，选B.3.已知函数，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】依题意，不符；时，则对于，当时，显然，不符；时，则对于，由，需对称轴：或，解得，故选B.4.函数的零点个数为()A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【解析】示意函数与的图象可确定选D.5.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.【解析】依题意，需要在轴左侧图象对称到轴右侧，即，需要其图象与原轴右侧图象至少有个公共点，不能满足条件，只有，如图，此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得.6.
8、已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）A B C D【解析】做出函数的图象，如图所示，由图可知，当时直线与的图象有两个交点，当时直线与的图象有一个交点，题意要求方程有三个不同的实根，则方程必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当，即时，方程的两根为1和，符合题意；当，即时，方程有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由.二、填空题7.(2018年江苏卷)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由fx=6x2-2ax=0得x=0,x=a3，因为函数fx在(0,+)上有且仅有一个零点且f0=1，所以a30,fa3=0，因
9、此2(a3)3-a(a3)2+1=0,a=3.从而函数fx在-1,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以f(x)max=f0, f(x)min=minf(-1),f(1)=f(-1)，f(x)max+f(x)min= f0+f(-1)=1-4=-3.8. 设函数. （1）若，则的最小值为_；（2）若恰有个零点，则实数的取值范围是 【解析】（1）当时，若，；当时，则 时， （2）时，无零点；不符；时，有一个零点；，符合；，有个零点；，符合. 综上得或9.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【解析】由题意，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等
10、式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.10.已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_ 【解析】在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点把代入，得，即，由，得，解得或又当时，与仅两个交点，或三、解答题11.设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【解析】（I）函数的定义域为，由可得， 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由（I）知，时，函数
11、在内单调递减，故在内不存在极值点； 当时，设函数，因为，当时，当时，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，函数单调递减， 时，函数单调递增， 所以函数的最小值为， 函数在内存在两个极值点；当且仅当， 解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.C组一、选择题1.记方程：，方程：，方程：，其中是正实数.当成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A.方程有实根，且有实根B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根【解析】按D考虑，则由，故选D.2.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的
12、值等于( )A6 B7 C8 D9【解析】依题得，则这三个数适当排序排成等比数列必有， 这三个数适当排序后成等差数列应有，解得 则，故，选D.3.已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知. 故选D.4.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） 【解析】对任意的恒有成立，且当 时， .由题意得的函数图象是过定点的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可
13、以与B点重合但不能与A点重合），可得k的范围为.5.设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为( )A B C D 【解析】设，依题，则是奇函数，又在上，可判断在上递减，不等式可转化为，则，得， 故选B.6.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A B C D【解析】由题意得：，所以当时与有五个交点，其中与的两个交点关于对称，和为8；与的 两个交点关于对称，和为-8；与的一个交点，值为；因此所有零点之和为，故选B.二、填空题7.（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】
14、7. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为 个【解析】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的图象的交点的个数由已知条件作出函数的图象与直线的图象，如下图由图可知，函数的图象与直线的图象有6个交点9.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 .【解析】令，得，设，即，原问题转化为直线与函数 只有一个交点且此交点的横坐标为正，由，得，且 在递增，在上递减，在上递增，可知，由图象得.10. 函数若互不相等，且，则的取值范围为 【解析】示意图象，由互不相等，且，不妨令，应有 得 得，则，可判断函数在上递增，故 三、解答题11.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【解析】（1）由，得，解得 （2）， 当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意 当且时， 是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即 于是满足题意的 综上，的取值范围为 （3）当时， 所以在上单调递减 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 即，对任意成立 因为，所以函数在区间上单调递增，时， 有最小值，由，得 故的取值范围为