1、 第10讲 直线、平面垂直问题A组一、 选择题1、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B2、下列说法错误的是（ ）A若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线B若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D若平面平面，平面平面，则一定垂直于平面【答案】C3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（ ）（A）若,则
2、 (B)若,则(C)若,则 (D)若,则/【答案】D【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确；B中,由,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确；C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,则,由线面垂直的判定定理知,正确；D 中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】由题意知，故选C二、填空题5、【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
3、（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】对于，则的位置关系无法确定，故错误；对于,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有.6、三棱锥中, , 是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: 异面直线与 所成的角为; 直线平面; 面面 ; 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是_ .【答案】三、解答题7、如图，在三棱柱中，已知，.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积.【解
4、析】（1）在中，.又，由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.又，,平面.平面（2）易知.在中，,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，.又,平面.为三棱锥的高.8、如图，是四棱柱，底面是菱形， 底面，是的中点求证：平面平面；若四面体的体积，求棱柱的高【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，且，所以2分，是的中点3分，连接、，因为底面，所以，是菱形，且，所以面，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，所以平面平面（即平面），所以，面面因为底面，所以是棱柱的高，平面，平面底面，在底面上作，垂足为，面面，所以面，所以，其中，所以，解得，即棱柱的高为9、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，
5、且侧棱的长是，点分别是的中点.（）证明：平面；（）证明:平面；（）求三棱锥的体积.【解析】(）证明：作的中点,连接, 分别是的中点 又在正方形中，是的中点, 四边形是平行四边形,又平面，平面平面（）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,又侧棱底面,面；又；是等腰三角形， 是的中点,；同理是等腰三角形， 是的中点, 面平面（）解:侧棱底面,面；由（）知：平面；是三棱锥到平面的距离分别是的中点；,；四边形是边长为的正方形，是的中点三角形是等边三角形； 10、如图，在四棱锥中，平面，四边形中，且，点为中点求证：平面平面；求点到平面的距离【解析】证明：取中点，连接是中点，又，四边形为平行四边形，平面
6、，平面平面，平面平面由知，平面，即点到平面的距离为在中，由，得，点到平面的距离为B组一、选择题1、已知，为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A .若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【答案】C.【解析】A：，可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C2、设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( ) A. 当时，若，则 B. 当且是在内的射影时，若，则 C. 当时，若，则 D.当且时，若，则 【答案】C【解析】A 选项的
7、逆命题为“当时，若，则”，正确；B. 选项的逆命题为“当且是在内的射影时，若，则”,正确；C. 选项的逆命题为“当时，若，则”，错误：D. 选项的逆命题为“当且时，若，则 ”正确3、如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是( )图A B C D【解析】易于证明平面平面，所以直线在平面上的射影为线段所在直线，于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算，利用余弦定理知，于是.故选.4、已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（ ）A. B. C. D. 【
8、答案】B.【解析】如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，则，由题意可知，由，由函数在上单调递减，上单调递增，可知，故选B二、填空题5、三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上，则该三棱柱的体积为 .【答案】【解析】如图所示，过点作直线交于点，则为中点.过点作交于点，连接.因为，所以，所以.因为，且，所以，所以.所以.6、一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，的余弦值为_.【答案】【解析】如下图所示，平面，平面，又由，平面，平面，又由
9、平面，又由，平面，平面，又由平面，又由平面，平面，即为三棱锥中平面上的高，而，故是斜边为的直角三角形，故当时，的面积取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得，.三、解答题7、如图，长方体中，点是棱上的一点，（1）当时，求证：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值【解析】（1）连接,易得平面，所以， 当时，所以，因此：，而平面，故所以平面，所以， 由可得：平面（2）连接，设，连接PM，由于平面，所以平面平面，所以在平面内的射影为，故直线与平面所成角即与所成的角，记为，在平面中，令，则，再令，则由题意得：，而，解得：8、如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将
10、沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.(I)证明：平面；(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.【解析】 (I) 在图1中，因为，是的中点，所以四边形 是正方形，故，又在图2中，从而平面，又且，所以，即可证得平面；(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.9、如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.，为上一点，且（）求证:；（）求三棱锥与三棱锥的体积之比【解析】（）证明：连接AC交BE于点M，连接由 ， （） 10、如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点（1）求证：平面；（2）试确定点的位
11、置，使得平面平面，并说明理由【解析】（1）因为,点是的中点，所以因为平面，所以因为四边形是正方形，所以又,所以，所以由及，得平面 （2）当点为的中点时，平面平面 证明：取线段的中点，连接则,且，因为是的中点，四边形为正方形,所以,且所以，且所以四边形是平行四边形,所以由（1）知平面，所以平面,因为平面所以平面平面 考点：1线面垂直的判定与性质；2面面垂直的判定与性质C组一、选择题1、如图，正方形中，分别为，的中点，把，折起成一个四面体，使，三点重合，记为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】不妨设正方形的边长为，根据折叠过程，可知，又，平面，设点P
12、 到平面的距离为，则，直线与平面所成角的正弦值是，故选A.2、如图，在正方体中，给出以下结论： 平面； 直线与平面的交点为的外心； 若点在所在平面上运动，则三棱锥的体积为定值其中，正确结论的个数是(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个答案：D3、棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）A B C D答案：B4、.在中，已知是斜边上任意一点（如图），沿直线将折成直二面角（如图）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）A当为的中线时，取得最小值B当为的角平分线线时，取得最小值C当为的高线时，取得最小值D当在的斜边上移动时，为定值【答案】B
13、【解析】设，则()，过作的垂线，过作的延长线的垂线，则，当，即当为的角平分线时，取得最小值.由余弦定理得：,故选B.二、填空题5、已知三棱锥，若，两两垂直，且，则三棱锥的内切球半径为 .【答案】【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为，则由等体积 可得，6、已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 【答案】【解析】因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱柱的高，三、解答题7、如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，点在边上移动（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥体积的最大值【解析】（1）解
14、：当点为的中点时，与平面平行，在中，分别为的中点，又平面，而平面，平面 （2）证明：平面平面，又平面，平面又平面，又，点是的中点， 又平面，平面 平面， （3）解：，而底面面积为定值要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为 8、如图，在几何图形中，四边形为矩形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）在上确定一点，使得平面平面；（3）求三棱锥的体积.【解析】（1）由题知四边形为等腰梯形，故,又平面平面，所以平面，且平面,故平面平面.（2）因为，要使平面平面，只要让.在等腰梯形中，当为的中点时，有.所以当为的中点时，平面平面.（3）因为，其中到
15、到平面的距离.由题知平面平面，所以到平面的距离即为到的距离.在等腰三角形中，易知到的距离为，所以.9、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.【解析】（）如图，设分别是和的中点，连接， ，是的中点又在正方形中有为二面角的平面角，是的中点同理可得，又是等边三角形，故二面角为 （）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下 如图，设,分别为,和的中点，连接, 由（）知是等边三角形，故，平面，故又平面 ，分别为和的中点又为线段的中点，故四边形为平
16、行四边形；平面又平面；平面平面 10、如图，已知平面四边形中，为的中点，且将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为（I）证明：平面平面；（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由（III）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（I）直二面角的平面角为，又，则平面，所以又在平面四边形中，由已知数据易得，而，故平面，因为平面，所以平面平面（II）解法一：由（I）的分析易知，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示结合已知数据可得，则中点，平面，故可设，则平面，又，由此解得，即易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点解法二：（略解）如右图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点.（8分）（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，则得，记直线与平面所成角为，则知，故所求角的正弦值为 解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，连接，则为直线与平面所成角，结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为