1、第02讲 函数的奇偶性单调性周期性综合A组一、选择题1（2019全国理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是AB C D【答案】B解析：因为，所以，当时，当时，当时，当时，由解得或，若对任意，都有，则故选B2（2018年全国卷理科）已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A B0 C2 D50【答案】C【解析】是定义域为的奇函数，且；是周期函数，且一个周期为4，故选C3(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是( )AB C D 【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.4已知函数的定义域为,
2、当时, 当时, 当时, 则（ ）A B C D【答案】A【解析】 ，故选A.5定义在上的函数满足当时，当时，则的值为（ ）A.336 B.337 C.1676 D.2017【答案】B【解析】函数的周期,所以，即，所以，故选B.6已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时， 则（ ）A1 B-1 C D【答案】B【解析】是定义在上的周期为的奇函数，所以，故选B.7已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）A10个 B9个 C8个 D1个【答案】A【解析】作图如下，由图可得函数的图象与函数的图象的交点共有，故选A.8已知函数的定义域为.当时， ；当 时，；当时， ，则=（ ）
3、 A-2 B-1 C0 D2【答案】D【解析】因为当时，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以，又因为当时，所以，故选D9已知定义在上的函数满足，则（ )A B C D【答案】B【解析】，且，又，由此可得，是周期为的函数，故选B.10已知在R上是奇函数，且满足，当时，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，的周期为，因此 ，故选A11定义在上的函数满足时，则的值为（ ）A.-2 B.0 C.2 D.8【答案】A【解析】由已知可得的周期，故选A.12已知函数的定义域为,当时, 当时, 当时, 则（ ）A B C D【答案】A【解析】当时,所以选A.13已知在R上是奇函数，且满足，当
4、时，则（ ）A-12 B-16 C-20 D0【答案】A【解析】，又，所以.14已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）A0 B-1 C1 D2【答案】B【解析】因为，则，所以函数的周期为，则，又函数为奇函数且，所以，所以，选B二、填空题15（2019全国理）已知是奇函数，且当时，.若，则_.【答案】【解析】，得，.16已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_。【答案】1【解析】 在条件中，令，得，又令， 得，17定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，则实数的取值范围是 .【答案】或【解析】由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，即，解得.18已知是定义在R
5、上的函数，且满足：，则的值为 ；【答案】2018【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是， 所以，故是以8为周期的周期函数，从而；19对于函数,给出下列命题： 在同一直角坐标系中, 函数与的图象关于直线对称；若,则函数的图象关于直线对称；若,则函数是周期函数；若,则函数的图象关于对称.其中所有正确命题的序号是 【答案】【解析】很明显不满足题意；不满足题意；由可得知周期为的周期函数；由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意故正确20（2019北京理）设函数 (a为常数)，若为奇函数,则a=_； 若是上的增函数，则a的取值范围是 _.【答案】 【解析】根据题意，函数，若为
6、奇函数，则，即 ，所以对恒成立.又，所以.函数，导数.若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a0，即a的取值范围为.21有下列4个命题:若函数定义域为R,则是奇函数;若函数是定义在R上的奇函数,则图像关于对称;已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;若是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）【答案】【解析】所以函数是是奇函数，若图像关于对称则应有，由可得所以不一定成立，值的取法应该是任意的，因为是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,所以由可得，将代入可得即，所以是以4为周期的周期函数；故填22.（
7、2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中k0.若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .【答案】解析 作出函数与的图像如图所示，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，因为两点，连线的斜率，所以，即的取值范围为.三、解答题23已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式【解析】（1）由得，由，得，因为，所以，解得，由，得所以实数的取值范围是（2）依题意得，当时，因此.B组
8、一、选择题1已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，则（ ）A B C D【答案】A【解析】的图象关于点对称，则关于原点对称. 当时恒有即函数的周期为.所以.2已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，则的值为（ ）A3 B C D【答案】D【解析】定义在上的函数的图像关于轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数满足，所以该函数的周期是2，的若当时，则,故选D3已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，则下列结论不正确的是（ ）A.函数的最小正周期为 B.C. D.函数在区间上单调递减【答案】B【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，可得函数的最小正
9、周期为，A正确；，C正确；而，B错；故选B.4函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意得,，则，那么故选D5若是R上周期为5的奇函数，且满足（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意，得，则；故选A6已知定义在实数集上的函数满足： ；当时，则、满足（ ）A BC D【答案】D【解析】由可得,即函数是周期为的周期函数且函数在区间上是单调递增,由题设可得,故应选D7函数的定义域为，以下命题正确的是（ ）同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.A B
10、 C D【答案】【解析】正确，因为函数与关于轴对称，而和都是与向右平移1个单位得到的，所以关于直线对称；正确，因为函数关于点成中心对称，所以，而，所以，即，又根据，可得函数的周期,又有，所以，所以函数关于直线对称；正确，因为，所以函数关于点对称，而函数是函数向左平移3个单位得到，所以函数是奇函数.故3个命题都正确，故选D.8已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（ ）A函数是周期函数，且周期T=3 B函数在上有可能是单调函数C函数的图像关于点对称 D函数是偶函数【答案】B【解析】对于A：函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：偶函数的图象关于轴对称，在
11、R上不是单调函数，B不对对于C：是奇函数其图象关于原点对称，又函数的图象是由向左平移个单位长度得到，函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，对于任意的都成立，令，则，函数是偶函数，D对故选：B9定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：是函数的一个周期；的图象关于直线对称；是偶函数.其中正确的是（ ）A B. C D. 【答案】D【解析】由可得，用代替可得，联立可得，所以是以为最小正周期的函数，所以是它的一个周期；在中用代替可得，所以其图象关于直线对称；10已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（ ）A0 B-16 C-8 D-4【答案】D【解析
12、】因为的图象关于点对称，所以函数的图像关于点对称，即函数是奇函数，令，得，即，解得，即，等价于，所以函数的周期,那么，故选D.二、填空题11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是_。【答案】【解析】分析：且， 又时，是增函数，是偶函数，故12已知，有下列4个命题：若，则的图象关于直线对称；与的图象关于直线对称；若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.其中正确的命题为 .（填序号）【答案】【解析】利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件可以探讨各命题是否正确因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,对
13、.因为的图象向右平移个单位，可得的图象，将的图象关于轴对称得的图象，然后将其图象向右平移个单位得的图象，所以的图象关于直线对称,对因为，所以，因为为偶函数，所以，所以的图象自身关于直线对称,对因为为奇函数，且，所以，故的图象自身关于直线对称,对13设偶函数对任意，都有，且当时，则的值是_【答案】【解析】因为所以的周期三、解答题14设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当时，（1）求证：是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算【解析】（1），是周期为的周期函数（2）当时，由已知得又是奇函数，又当时，又是周期为的周期函数，从而求得时，（3），又是周期为的周期函数，又，C组一、选择题1定义在
14、上的偶函数满足，且在上为增函数，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以2定义在上的函数满足下列三个条件： ； 对任意，都有；的图像关于轴对称则下列结论中正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】先由，得函数周期为6，得到；再利用的图象关于轴对称得到的图象关于轴对称，进而得到；最后利用条件（2）得出因为，所以；即函数周期为6，故；又因为的图象关于y轴对称，所以的图象关于x=3对称，所以；又对任意，都有；所以故选D3定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（ ）A B C D【
15、答案】B【解析】，则是周期为3的周期函数则，,函数的图象关于点成中心对称，,，故选：B4已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（ ）A B C D【答案】D【解析】由得，又，的图象关于点对称，所以，由可得，故选D.5定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（ ）A BC D【答案】A【解析】因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，再由且，得在上递增，因此，即，故选A6定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（ ）A B C D【答案】C【解析】不妨取的解集为，故选C.7已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，给出下列命题：；函数在定义域上是
16、周期为2的函数；直线与函数的图象有2个交点；函数的值域为其中正确的是（ ）A， B， C， D，【答案】C【解析】由当时，有知当时有正周期，又为定义在上的偶函数，且当时，所以，所以正确，排除B；若函数在定义域上是周期为的函数，则，同时因为当时，有，所以，显然矛盾，所以错误，这样就排除A,D；综上故选C.8函数是定义在上周期为的奇函数, 若,则有（ ）A BC D【答案】B 【解析】，故选B.二、填空题9设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，有以下结论：2是函数的一个周期；函数在上单调递减，在上单调递增；函数的最大值是1，最小值是0；当时，其中，正确结论的序号是 （请写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】,当时，单调递增；根据函数是定义在上的偶函数得当时，单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，所以函数的最大值是1，最小值是；当时，；综上正确结论的序号是10已知是定义在实数集上的函数，且,则 【答案】【解析】， 三、解答题11已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数（1）证明：当时，；（2）若，求实数的取值范围【解析】（1）定义在上的函数的图象关于原点对称，为奇函数函数在上为减函数.若，则，成立若，则，成立综上，对任意，当时，有恒成立（2）依题意可知，得，解得，故所求实数的取值范围是.