1、 第13讲 立体几何选择填空压轴题专练A组一、选择题1(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D【答案】A【解析】记该正方体为，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱，与平面所成的角都相等，如图，连接，因为三棱锥是正三棱锥，所以，与平面所成的角都相等，分别取，的中点，连接，易得，六点共面，平面与平面平行，且截正方体所得截面的面积最大，又，所以该正六边形的面积为，所以截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A2如图，矩形中， ， 为边的中点，将沿直线翻转成（平面）若、分别为线段、的中点，则在翻转过程
2、中，下列说法错误的是（ ）A. 与平面垂直的直线必与直线垂直B. 异面直线与所成角是定值C. 一定存在某个位置，使D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】取CD的中点F，连BF,MF,如下图：可知面MBF/ ,所以A对。取中点G,可知，如下图，可知B对。点A关于直线DE的对为F,则面，即过O与DE垂直的直线在平面上。故C错。三棱锥外接球的球心即为O点，所以外接球半径为。故D对。选C3如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是ABM是定值 B点M在某个球面上运动C存
3、在某个位置，使DEA1 C D存在某个位置，使MB/平面A1DE【答案】C【解析】取CD中点F，连接MF，BF，则MF/A1D且MF=A1D,FB/ED 且FB=ED所以，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MFFBcosMFB是定值，所以 M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得正确由MF/A1D与 FB/ED可得平面MBF平面A1DE，可得正确；A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得不正确故答案为：4如图，正四面体的顶点、分别在两两垂直的三条射线， ， 上，则在下列命题中，错误的是( )A. 是正三棱锥 B. 直线与平面相交C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D.
4、异面直线和所成角是【答案】C【解析】如图ABCD为正四面体，ABC为等边三角形，又OA、OB、OC两两垂直，OA面OBC，OABC，过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BCAM，M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，N为底面ABC中心，OABC是正三棱锥，故A正确将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行则B正确，由上图知：直线与平面所成的角的正弦值为,则C错误异面直线和所成角是，故D正确.二、填空题5如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，
5、ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。【答案】【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则.， 三棱锥的体积 .令，则，令， ，.6已知求的直径是该球球面上的点， ，则棱锥 的体积为_【答案】【解析】设球心为,因为,所以, .7在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题可得：球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上，又二面角的大小为120，取
6、AB的中点为M，SB的中点为N，故,又,过M做MH=GO，且MH垂直底面，所以， ,故球的半径为,所以球的表面积为8已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60，则四面体的体积为_【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则 9在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）该四面体的体积是_【答案】【解析】由图可知，该三棱锥的底面是底为4，高为1的三角形，高为2，故其体积为，故答案为.10如图，在棱长为2的正四面体中， 分别为直线上的动点，且.若记中点的轨迹为，则等于_.（注： 表示的测度，在本题， 为曲线、平面图形、空间几何
7、体时， 分别对应长度、面积、体积.）【答案】【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，即 ，又，即 ，代入上式得 ，即，即的轨迹为半径为的圆，周长为 .B组一、选择题1正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】将平面 延展与 交于 连结 ，并延长与 延长线交于 ，平面交 于 ， 可知 等于 与 成角,，由正方体的性质可知 ， ，故选 . 2四棱锥的三视图
8、如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据三视图还原几何体为一个四棱锥，平面 平面，由于为等腰三角形，四边形为矩形， ，过的外心 作平面 的垂线，过矩形的中心作平面的垂线两条垂线交于一点为四棱锥外接球的球心，在三角形 中， ，则 ， ， ， ， ， ， .选C. 3如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：与所成的角为平面 平面平面 其中正确判断的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体 ，得：与所成的角为正确； 不包含于平面 平面 平面 ，故正确； 与 是异面直线，故不正确； 平面 ，所
9、以平面 平面 ，故 正确 ，正确判断的序号是 ，故选C.4若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，底面是等腰直角三角形， 是中点，所以外接球圆心在上，设外接球半径为，所以有，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.故本题正确答案为A.5三棱锥中，侧棱底面， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题，侧棱底面， ， ， ，则根据余弦定理可得 ， 的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 6正方体中，点在上运动
10、（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】以点D为原点，DA、DC、 分别为 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P坐标为 ，则 设 的夹角为，所以 ，所以当 时， 取最大值 。当 时， 取最小值。因为 。故选D。7已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为球与各面相切，所以直径为2，且的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为正三角形的外接圆，由正弦定理知，所以面积，选D8已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是A. B.
11、 C. D. 【答案】A【解析】作于，连接，因为，所以平面，作于，所以，从而，要使体积最大，则要最大，则要求最大，而，所以在时， 最大，所以， 是中点， ，所以，故选A二、填空题9 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于_【答案】【解析】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径
12、为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱V圆锥）=2（225）=10已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_【答案】24【解析】如图，正四棱锥的体积，在直角三角形中， 所以表面积为11球为正方体的内切球， ， 分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为_【答案】【解析】设与球面交于 两点，过球心与 的截面如图，因为， 分别为棱的中点，所以可得 ，根据正方体的性质可得，球为正方体的内切球，可得 ，由勾股定理得，故答案为 .12体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的
13、球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_【答案】【解析】设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大 ，且最大值为.13如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ） A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆【答案】B【解析】作，为
14、垂足，则平面，作为垂足，由三垂线定理得.以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，依题意可得.由可得，即化简可得.选.C组一、选择题1在直四棱柱 中，底面为菱形， 分别是的中点， 为的中点且，则的面积的最大值为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】B【解析】由直四棱柱 中，底面为菱形， 分别是的中点， 为的中点且，可得为等腰三角形，设 ，则 ，因为，由余弦定理得 ，可得 ， 的面积为等于的 ， 的面积的最大值为 ，故选B.2三棱锥的体积为， 底面，且的面积为4，三边的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】三棱锥的体积为且的面积为4，由底面，所以球心
15、到底面的外接圆圆心的距离为1，另， ，两式相除，由正弦定理知底面的外接圆半径为1，所以三棱锥的外接球的半径为，表面积为，故选B.3已知矩形， ，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）设二面角的大小为，直线， 与平面所成的角分别为则（ )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，作于E， 是在平面内的射影，连接，易知，在矩形中，作于E，延长交于，由点必落在上，由知，从而，即，故选D4如图所示，正方体的棱长为， 分别为和上的点， ，则与平面的位置关系是（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定【答案】B【解析】如下图，连接BN交AD于点E,连， ，所以与平面平行，选B
16、.5如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正方体的棱长为 ，显然，当 移动到对角线 的中点 时， 取得唯一最大值，所以排除 ；当在 上时，分别过 作底面的垂线，垂足分别为 ，则 ，故选B.二、填空题6点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为_【答案】【解析】如图：，内切球的半径为： ，所以正方体棱长为，取的靠B的三等分点H连接CD,DH，则NB面DHC，所以M的轨迹为DHC与内切球的交线，由正方体棱长为可得O到面DCH的距离为，所以截面圆的半径为
17、，所以M的轨迹长度为： 7如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_当时， 平面；当时， 平面；的最大值为；的最小值为.【答案】【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,设,.对于，当，即，解得， ，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于，当时，即，解得，由可知平面成立.对于，设，即，解得，由，其分子化简得，当时， ，故的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故错误.8一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且
18、正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为_【答案】8【解析】正视图为内切一个圆,且r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根据勾股定理解得x=6,即PA=6,AB=8,PB=10,所以长轴为8.填8.【点睛】对于直角三角形的内切圆有如下性质，如图AD=AE,BD=BF,CE=CF.即同一点引出的切线长相等。9已知空间四边形中， ， ， ，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为_【答案】【解析】如图：由于 是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=， 。填。10将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点分另的中点，则下列命题中正确的是_（将正确的命题序号全填上）； 是异面直线与的公垂线；平面； 垂直于截面【答案】【解析】如图：由题意得， 与 是异面直线，故不正确；由等腰三角形的中线性质得 面 ，又面 ， ，且 ，故 正确；由三角形中位线定理可得 ，在根据线面平行的判定定理可得平面，故正确；由面得， ，又 面 ，故正确，故答案为.11已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时， 与夹角大小为_【答案】【解析】 由题意得，取中点，则 ，因为，所以在以为球心的球面上，所以，因为，所以，所以与的夹角为.