1、2021-2022 学年吉林省长春市朝阳区九年级学年吉林省长春市朝阳区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）在下列关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ay3x Bxy2 Cyax2+bx+c Dy2x2+5 2 （3 分）一元二次方程 x2+2x+30 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个不相的实数根 D没有实数根 3 （3 分）将抛物线 y3x2先向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） Ay3（x2）2+6 By3（x2）26
2、 Cy3（x+2）2+6 Dy3（x+2）26 4 （3 分）如图，直线 abc，直线 l1、l2与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F若 AB：BC1：2，DE3，则 EF 的长为（ ） A1.5 B6 C9 D12 5 （3 分）如图，一艘轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 64的方向且与轮船相距 52 海里，在 A 岛周围 20 海里水域有暗礁若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算 A 到 OB的距离 AC下列算法正确的是（ ） AAC52cos64 BAC CAC52sin64 DAC52tan64 6 （3 分）对于抛物线 y（x+1）
3、2+3，下列说法中正确的是（ ） A开口向上 B对称轴是直线 x1 C当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 D函数的最大值是 3 7 （3 分）若抛物线 yax2经过点 P（，4） ，则该抛物线一定还经过点（ ） A （4，） B （，4） C （4，） D （，4） 8 （3 分）将抛物线 yx24x2 在 x 轴上方的部分记为 M1，在 x 轴上及其下方的部分记为 M2，将 M1沿x 轴向下翻折得到 M3，M2和 M3两部分组成的图象记为 M若直线 ym 与 M 恰有 2 个交点，则 m 的取值范围为（ ） Am6 或 m6 Bm0 或 m6 C6m6 Dm0 或 m6 二、填空题（每小
4、题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：sin60 10 （3 分）如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分） ，当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 11 （3 分）如图，ABC 中，D 是 BC 中点，AE 平分BAC，AEBE，AB3，AC5，则 DE 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 分别交于 A（1，p） 、B（2，q） ，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是 13 （3 分）若关于 x 的一元
5、二次方程 2x2+3x50 的一个根是 m，则 4m2+6m2021 的值为 14 （3 分） 一名运动员在平地上推铅球， 铅球出手时离地面的高度为米， 出手后铅球离地面的高度 y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为 5 米，则该运动员推铅球的成绩为 米 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 10 小题。共小题。共 78 分）分） 15 （6 分） 16 （6 分）解方程：x2+5x20 17 （6 分）图、图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 A、B、C 均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的
6、网格中，按照要求作图（保留作图痕迹） （1）在图中作ABC 的中线 BD （2）在图中作ABC 的高 BE （3）在图中作ABC 的角平分线 BF 18 （7 分）2021 年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下 3 张牛年邮票分别放到 A、B、C 三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子 （1） “小明抽到面值为 80 分的邮票”是 事件（填“随机” “不可能”或“必然” ） （2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率 19 （7 分）若物线 yx2+bx+c 经过（
7、1，0）和（5，0） （1）求抛物线对应的二次函数表达式 （2）当 0 x5 时，直接写出 y 的取值范围是 20 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD3，过点 B 作 BECD 于 E，连结 AE，AEB60，F为 AE 上一点，且BFEC （1）求证：ABFEAD （2）BF 的长为 21 （8 分）如图，某矩形花园 ABCD 一边靠墙，墙长 35m，另外三边用长为 69m 的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为 1m 的门（不包括篱笆） 设矩形花园 ABCD 垂直于墙的一边 AB 长为 xm，面积为 Sm2 （1）BC 的长为 m（用含 x 的代数式表示） （2）求 S 与 x 之
8、间的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （3）求花园面积 S 的最大值 22 （9 分） 【教材显现】下面内容是华师版八下第 75 页练习 2 如图 1，如果直线 l1l2，那么ABC 的面积和DBC 的面积是相等的 请你对上述的结论加以证明 【方法探究】如图 2，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，点 F 在边 BC上，连结 DF、EF求证：SDEFSABC 【拓展应用】如图 3，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，在线段 DE 上取一点 F（点 F 不与点 D、E 重合） ，连结 AF 并延长交 BC 于点 G，点 M、N 在线段 BC 上，且 BM2
9、EF，CN2DF，若 SABC49，则 SBFM+SCEN 23 （10 分）如图，在 RtADC 中，C90，AB5，AC4动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 B 运动过点 P 作 PQAB 交 AC 或 BC 于点 Q分别过点 P、Q 作 AC、AB 的平行线交于点 M设PQM 与ABC 重叠部分的面以为 S，点 P 运动的时间为 t（t0）秒 （1）当点 Q 在 AC 上时，CQ 的长为 （用含 t 的代数式表示） （2）当点 M 落在 BC 上时，求 t 的值 （3）当PQM 与ABC 的重合部分为三角形时，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）点
10、 N 为 PM 中点，直接写出点 N 到ABC 的两个顶点的距离相等时 t 的值 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 L：yx2mx+2m+3（m 是常数）的顶点为 A （1）用含 m 的代数式表示抛物线 L 的对称轴 （2）当 2x3，抛物线 L 的最高点的纵坐标为 6 时，求抛物线 L 对应的函数表达式 （3）已知点 B（3，2） 、C（2，7） ，当3m2 时，设ABC 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 （4）已知矩形 MNPQ 的四个顶点的坐标分别为 M（3，3m） 、N（3，3+m） 、P（5+m，3+m） 、Q（5+m，3m） ，当抛物线
11、L 与边 MN、PQ 各有 1 个交点分别为点 D、E 时，若点 D 到 y 轴的距离和点E 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）在下列关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ay3x Bxy2 Cyax2+bx+c Dy2x2+5 【解答】解：A、y3x 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、xy2 不是二次函数，故此选项不符合题意； C、a0 时不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y2x2+5 是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D 2
12、 （3 分）一元二次方程 x2+2x+30 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个不相的实数根 D没有实数根 【解答】解：22413 412 80， 一元二次方程无解 故选：D 3 （3 分）将抛物线 y3x2先向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） Ay3（x2）2+6 By3（x2）26 Cy3（x+2）2+6 Dy3（x+2）26 【解答】解：将抛物线 y3x2先向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：y3（x+2）2+6 故选：C 4 （3 分）如图，直线 abc，直线 l1、l
13、2与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F若 AB：BC1：2，DE3，则 EF 的长为（ ） A1.5 B6 C9 D12 【解答】解：abc， ， ， EF6， 故选：B 5 （3 分）如图，一艘轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 64的方向且与轮船相距 52 海里，在 A 岛周围 20 海里水域有暗礁若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算 A 到 OB的距离 AC下列算法正确的是（ ） AAC52cos64 BAC CAC52sin64 DAC52tan64 【解答】解：由题意可得：CAO64， cosCAO， 即 cos64， AC52co
14、s64 故选：A 6 （3 分）对于抛物线 y（x+1）2+3，下列说法中正确的是（ ） A开口向上 B对称轴是直线 x1 C当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 D函数的最大值是 3 【解答】解：抛物线 y（x+1）2+3， 该抛物线开口向下，故选项 A 不符合题意； 对称轴是直线 x1，故选项 B 不符合题意； 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 不符合题意； 当 x1 时，该函数取得最大值 3，故选项 D 符合题意； 故选：D 7 （3 分）若抛物线 yax2经过点 P（，4） ，则该抛物线一定还经过点（ ） A （4，） B （，4） C （4，） D （，4） 【解
15、答】解：抛物线 yax2对称轴为 y 轴，抛物线 yax2经过点 P（，4） ， 点 P 关于 y 轴的对称点（，4）也在抛物线 yax2上， 该抛物线一定还经过点（，4） 故选：B 8 （3 分）将抛物线 yx24x2 在 x 轴上方的部分记为 M1，在 x 轴上及其下方的部分记为 M2，将 M1沿x 轴向下翻折得到 M3，M2和 M3两部分组成的图象记为 M若直线 ym 与 M 恰有 2 个交点，则 m 的取值范围为（ ） Am6 或 m6 Bm0 或 m6 C6m6 Dm0 或 m6 【解答】解：yx24x2（x2）26， 抛物线的顶点为（2，6） ， 在 x 轴上及其下方的部分记为 M
16、2， 将 M1沿 x 轴向下翻折得到 M3， M2和 M3两部分组成的图象记为 M，如图， 若直线 ym 与 M 恰有 2 个交点，与图象可知，m 的取值范围为：m0 或 m6 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：sin60 【解答】解：sin60， 故答案为： 10 （3 分）如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分） ，当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内” 的可能性的大小， 将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 （1） 、（3） 、（2） 【解答】解：指针落在白色区域内的可能性从大到小的顺序为： （
17、1） 、 （3） 、 （2） 11 （3 分）如图，ABC 中，D 是 BC 中点，AE 平分BAC，AEBE，AB3，AC5，则 DE 1 【解答】解：延长 BE 交 AC 于 F， AE 平分BAC， BAEFAE， AEBE， AEBAEF90， 在AEB 和AEF 中， ， AEBAEF（ASA） ， AFAB3，BEEF， FCACAF532， BDDC，BEEF， DEFC1， 故答案为：1 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 分别交于 A（1，p） 、B（2，q） ，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是
18、1x2 【解答】解：观察函数图象可知：当1x2 时，直线 ymx+n 在抛物线 yax2+bx+c 的下方， 不等式 mx+nax2+bx+c 的解集为1x2， 故答案为：1x2 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 2x2+3x50 的一个根是 m，则 4m2+6m2021 的值为 2011 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2x2+3x50 的一个根是 m， 2m2+3m50， 2m2+3m5， 则原式2（2m2+3m）2021 252021 102021 2011， 故答案为：2011 14 （3 分） 一名运动员在平地上推铅球， 铅球出手时离地面的高度为米， 出手后铅球离地面
19、的高度 y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为 5 米，则该运动员推铅球的成绩为 12 米 【解答】解：设铅球出手点为点 A，根据题意建立平面直角坐标系，如图： 当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为 5 米， 抛物线的对称轴为直线 x5， 5， 则 b， 又抛物线经过（0，） ， c， yx2+x+， 当 y0 时，x2+x+0， 整理得：x210 x240， 解得：x12（舍去） ，x212， 故答案安为：12 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 10 小题。共小题。共 78 分）分） 15 （6 分） 【解答】解：原式32+
20、3+3 16 （6 分）解方程：x2+5x20 【解答】解：524（2）33， x， x1，x2 17 （6 分）图、图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 A、B、C 均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹） （1）在图中作ABC 的中线 BD （2）在图中作ABC 的高 BE （3）在图中作ABC 的角平分线 BF 【解答】解： （1）如图中，线段 BD 即为所求； （2）如图中，线段 BE 即为所求； （3）如图中，线段 BF 即为所求 18 （7 分）2021 年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下 3 张牛年邮
21、票分别放到 A、B、C 三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子 （1） “小明抽到面值为 80 分的邮票”是 不可能 事件（填“随机” “不可能”或“必然” ） （2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率 【解答】解： （1）小明抽到 80 分邮票”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果其中小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的结果数为 3， 所以小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率 19 （7 分）若物线 yx
22、2+bx+c 经过（1，0）和（5，0） （1）求抛物线对应的二次函数表达式 （2）当 0 x5 时，直接写出 y 的取值范围是 0y9 【解答】解： （1）把（1，0）和（5，0）代入 yx2+bx+c 得， ， 解得 b4，c5， 所以二次函数的表达式为 yx2+4x+5； （2）抛物线的对称轴是 x2，顶点坐标（2，9） ， 当 x0 时，y5；当 x5 时，y0；当 x2 时，y9； 当 0 x5 时，0y9， 故答案为：0y9 20 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD3，过点 B 作 BECD 于 E，连结 AE，AEB60，F为 AE 上一点，且BFEC （1）求证：
23、ABFEAD （2）BF 的长为 【解答】 （1）证明：D+C180，ABCD， BAFAED， AFB+BFE180，D+C180，BFEC， AFBD， ABFEAD； （2）解：BECD，ABCD， BEAB， ABE90， AEB60， cosBAE， 由（1）知，ABFEAD， ， BF， 故答案为： 21 （8 分）如图，某矩形花园 ABCD 一边靠墙，墙长 35m，另外三边用长为 69m 的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为 1m 的门（不包括篱笆） 设矩形花园 ABCD 垂直于墙的一边 AB 长为 xm，面积为 Sm2 （1）BC 的长为 702x m（用含 x 的代数式表示） （
24、2）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （3）求花园面积 S 的最大值 【解答】解： （1）ABxm， BC692x+1（702x）m， 故答案为：702x； （2）由题意得：Sx（702x）2x2+70 x， ， x35， S 与 x 之间的函数关系式为 S2x2+70 x（x35） ； （3）S2x2+70 x2（x）2+， 20，x35， 当 x时，S 有最大值，最大值为 花园面积 S 的最大值为m2 22 （9 分） 【教材显现】下面内容是华师版八下第 75 页练习 2 如图 1，如果直线 l1l2，那么ABC 的面积和DBC 的面积是相等的 请你对上述的结论加以
25、证明 【方法探究】如图 2，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，点 F 在边 BC上，连结 DF、EF求证：SDEFSABC 【拓展应用】如图 3，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，在线段 DE 上取一点 F（点 F 不与点 D、E 重合） ，连结 AF 并延长交 BC 于点 G，点 M、N 在线段 BC 上，且 BM2EF，CN2DF，若 SABC49，则 SBFM+SCEN 24 【解答】 【方法探究】证明：如图 2 中，连接 BE DECB， ADEABC， （）2， SADESABC， AB3AD， BD2AD， SBDE2SADE， DECB，
26、 SDEFSDEB2SADESABC 【拓展应用】解：如图 3 中， ， DEBC， ADEABC， （）2， SABC49， SADE9， BM2EF，CN2DF， SBFM+ENCSADE24， 故答案为 24 23 （10 分）如图，在 RtADC 中，C90，AB5，AC4动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 B 运动过点 P 作 PQAB 交 AC 或 BC 于点 Q分别过点 P、Q 作 AC、AB 的平行线交于点 M设PQM 与ABC 重叠部分的面以为 S，点 P 运动的时间为 t（t0）秒 （1）当点 Q 在 AC 上时，CQ 的长为 45t （
27、用含 t 的代数式表示） （2）当点 M 落在 BC 上时，求 t 的值 （3）当PQM 与ABC 的重合部分为三角形时，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）点 N 为 PM 中点，直接写出点 N 到ABC 的两个顶点的距离相等时 t 的值 【解答】解： （1）如图： C90，AB5，AC4， cosA， PQAB， cosA， 动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 B 运动， 点 P 运动的时间为 t （t0） 秒， AP4t， ， AQ5t， CQACAQ45t， 故答案为：45t； （2）如图： QMAB，PMAC， 四边形 APMQ 是平行四边形
28、， QMAP4t， QMAB， CQMCAB， ，即， 解得 t， 点 M 落在 BC 上时，t 的值是； （3）当 t时，如图： 此时PQM 与ABC 的重合部分为三角形， 由（1） （2）知：AQ5t，APQM4t， PQ3t， PQMQPA90， SQMPQ4t3t6t2， 当 Q 与 C 重合时，CQ0，即 45t0， t， 当t时，PQM 与ABC 的重合部分不为三角形， 当t时，如图： AP4t， PB54t， PMAC， ，即， PH，BH， tanB， ， PQ， SSPQBSBPH PBPQBHPH （54t） t2t+， 综上所述，S； （3）当 N 到 A、C 距离相等时
29、，过 N 作 NEAC 于 E，过 P 作 PFAC 于 F，如图： N 到 A、C 距离相等，NEAC， NE 是 AC 垂直平分线， AEAC2， N 是 PM 中点， PNPMAQt， EFPNt， AFAEEF2t， 在 RtAPF 中，cosA， ， 解得 t， 当 N 到 A、B 距离相等时，过 N 作 NGAB 于 G，如图： AGAB， PGAGAP4t， cosNPGcosA， ， 而 PNPMAQt， ， 解得 t， 当 N 到 B、C 距离相等时，连接 CP，如图： PMAC，ACBC， PMBC， N 到 B、C 距离相等， N 在 BC 的垂直平分线上，即 PM 是
30、BC 的垂直平分线， PBPC， PCBPBC， 90PCB90PBC，即PCAPAC， PCPA， APBPAB， t， 综上所述，t 的值为或或 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 L：yx2mx+2m+3（m 是常数）的顶点为 A （1）用含 m 的代数式表示抛物线 L 的对称轴 （2）当 2x3，抛物线 L 的最高点的纵坐标为 6 时，求抛物线 L 对应的函数表达式 （3）已知点 B（3，2） 、C（2，7） ，当3m2 时，设ABC 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 （4）已知矩形 MNPQ 的四个顶点的坐标分别为 M（3，3m） 、N（3，
31、3+m） 、P（5+m，3+m） 、Q（5+m，3m） ，当抛物线 L 与边 MN、PQ 各有 1 个交点分别为点 D、E 时，若点 D 到 y 轴的距离和点E 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值 【解答】解： （1）对称轴是直线：xm； （2）当 2m3 时， yx2mx+2m+3（xm）2+（， 6， 方程无解， 当 m2 时， a0， 当 x3 时，y6， 3m+2m+36， m， 当 m3 时， 当 x2 时，y6， 2m+2m+356， m， yx+6； （3）令 n+2m+3， 其对称轴是：m2， 当3m2 时，n5， A（m，+2m+3） ，C（2，7） ，B（3，2） ， BC 的关系式是 yx+5， 作 ADy 轴交 BC 于 D， D（m，m+5） ， AD（m+5）（+2m+3）m+2， SAD （xcxB）m+2）（x1）2+ 当 x2 时，S最小； （4）由题意得， D 到 y 轴距离是 3， 当 x5+m 时，y（m+5）2m（m+5）+2m+3+2m+， E 到 y 轴的距离是：|+2m+|， 当+2m+3 时， m12+，m22（舍去） ， 当+2m+3 时， m32+，m42（舍去） ， 综上所述 m2+或 2+