1、2021-2022 学年吉林省长春市宽城区九年级学年吉林省长春市宽城区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）如图，点 A 是数轴上一点，则点 A 表示的数可能为（ ） A2.5 B1.5 C0.5 D1.5 2 （3 分）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将 218360000 用科学记数法表示为（ ） A0.21836109 B2.1836107 C21.836107 D2.1836108 3 （3 分）如图
2、是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是（ ） A喜 B迎 C百 D年 4 （3 分）如图，某学校有一块长 35 米、宽 20 米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 600 平方米设小道的宽为 x 米，根据题意可列方程为（ ） A （35x） （202x）600 B352035x20 x+2x2600 C （352x） （20 x）600 D35x+220 x2x2600 5 （3 分）图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形 O
3、ABC若 ABBC1，AOB，则 tanBOC 的值为（ ） Asin Bcos Ctan D 6 （3 分） 如图， 在圆内接五边形 ABCDE 中， C+CDE+E+EAB425， 则CDA 的度数为 （ ） A75 B65 C55 D45 7 （3 分）如图，ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） ，以点 C 位似中心，在 x轴的下方作ABC 的位似图形ABC， 并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍， 设点 B 的横坐标是 a，则点 B 的对应点 B的横坐标是（ ） A2a B2a2 C32a D2a3 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 y
4、x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分） 若直线 yb 与新函数的图象有 3 个公共点，则 b 的值是（ ） A0 B3 C4 D5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：2a24ab+2b2 10 （3 分）不等式组的解集为 11 （3 分）已知关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 12 （3 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径
5、五寸问井深几何？”意思是：如图，井径 AB5 尺，立木高 BD3 尺，BE5 寸0.5 尺，则井深 AC 为 尺 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，分别以点 A、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 AB、CD 于点 E、F若 AC6，CAB35，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为（0，3） 、 （4，3） ，点 C 是线段 AB 的中点，将线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CD，过 A、B、D 三点作抛物线当 x1 时，抛物线上最高点的纵坐标为 三、解答题（本大题共三、解
6、答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）解方程：3x24x20 16 （6 分）如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率 17 （6 分）图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法 （1）在
7、图中的线段 AB 上找一点 D，连结 CD，使DCBDBC （2）在图中的线段 AB 上找一点 E，连结 CE，使ACEAEC 18 （7 分）某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校 600 名学生进行了疫情防控知识竞赛从中随机抽取了 n 名学生的竞赛成绩（满分 100 分，每名学生的成绩记为 x 分） ，分成四组：A 组 60 x70；B组 70 x80；C 组 80 x90；D 组 90 x100，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题： （1）求 n 的值 （2）补全频数分布直方图 （3）若规定学生竞赛成绩 x90 为优秀，请估计全校竞赛成绩达到
8、优秀的学生人数 19 （7 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，河旁有一座小山，山高 BC80m，点 C、A 与河岸 E、F 在同一水平线上，从山顶 B 处测得河岸 E 和对岸F 的俯角分别为DBE45，DBF31若在此处建桥，求河宽 EF 的长 （结果精确到 1m） 参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60 20 （7 分）如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是 AC 上一点，连结 CD、DE，ADEBCD （1）判断 DE 所在直线与O 的位置关系，并说明理由 （2）若B50，O 的
9、半径为 6，求的长 （结果保留 ） 21 （8 分）某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示设该商场销售这种商品每天获利 w（元） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式 （2）求 w 与 x 之间的函数关系式 （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于 36 元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 22 （9 分） 【问题原型】如图，在O 中，弦 BC 所对的圆心角BOC90，点 A 在优弧 BC 上运动（点A 不与点 B、C 重合） ，连结 AB、A
10、C （1）在点 A 运动过程中，A 的度数是否发生变化？请通过计算说明理由 （2）若 BC2，求弦 AC 的最大值 【问题拓展】如图，在ABC 中，BC4，A60若 M、N 分别是 AB、BC 的中点，则线段 MN的最大值为 23 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿ACCBBA 运动， 到点 A 停止 当点 P 不与ABC 的顶点重合时， 过点 P 作其所在边的垂线， 交ABC的另一边于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）边 AC 的长为 （2）当点 P 在ABC 的直角边上运动时，求点 P 到边 AB 的距离 （用含
11、 t 的代数式表示） （3）当点 Q 在ABC 的直角边上时，若 PQ，求 t 的值 （4）当APQ 的一个顶点到ABC 的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出 t 的值 24 （12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x3，抛物线上不重合的两点 A、B 的横坐标分别为 2n1，n+3 （1）求这条抛物线的顶点 C 的坐标 （2）若 A、B 两点的纵坐标相等，求 n 的值 （3）当点 A 在对称轴左侧时，将抛物线上 A、B 两点之间（含 A、B 两点）的图象记为 L，设图象 L 的最高点与最低点的纵坐标之差为 d，求 d 与 n 之间的函数关系式，并直接写出 d 随 n 的增大而减
12、小时 n的取值范围 （4） 当点 A 在点 B 的左侧时， 过 A、B 两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点 M、 N（点 M、N 不与顶点 C 重合） 若点 M、N、C 中其中一点到另两点距离相等，直接写出 n 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）如图，点 A 是数轴上一点，则点 A 表示的数可能为（ ） A2.5 B1.5 C0.5 D1.5 【解答】解：根据图示可得点 A 表示的数在2 和1 之间，四个选项中只能是1.5， 故选：B 2 （3 分）第七次
13、全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将 218360000 用科学记数法表示为（ ） A0.21836109 B2.1836107 C21.836107 D2.1836108 【解答】解：2183600002.1836108， 故选：D 3 （3 分）如图是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是（ ） A喜 B迎 C百 D年 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z 端是对面”可知， “党”与“迎”是对面， 故选：B 4 （3 分）如图，某学校有一块长 35 米、宽 20 米的长方形试验田
14、，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 600 平方米设小道的宽为 x 米，根据题意可列方程为（ ） A （35x） （202x）600 B352035x20 x+2x2600 C （352x） （20 x）600 D35x+220 x2x2600 【解答】解：若设小道的宽为 x 米，则剩余部分可合成长（352x）米，宽（20 x）米的长方形， 依题意得： （352x） （20 x）600 故选：C 5 （3 分）图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形 OABC若 ABBC1，AOB，则
15、tanBOC 的值为（ ） Asin Bcos Ctan D 【解答】解：ABBC1， 在 RtOAB 中，sin， OB， 在 RtOBC 中，tanBOCsin 故选：A 6 （3 分） 如图， 在圆内接五边形 ABCDE 中， C+CDE+E+EAB425， 则CDA 的度数为 （ ） A75 B65 C55 D45 【解答】解：五边形 ABCDE 的内角和为（52）180540， EAB+B+C+CDE+E540， EAB+C+CDE+E425， B540425115， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， B+CDA180， CDA18011565 故选：B 7 （3 分）如图，A
16、BC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） ，以点 C 位似中心，在 x轴的下方作ABC 的位似图形ABC， 并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍， 设点 B 的横坐标是 a，则点 B 的对应点 B的横坐标是（ ） A2a B2a2 C32a D2a3 【解答】解：设点 B的横坐标为 x， 则 B、C 间的横坐标的长度为 a1，B、C 间的横坐标的长度为x+1， ABC 放大到原来的 2 倍得到ABC， 2（a1）x+1， 解得：x2a+3， 故选：C 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 yx2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得
17、新函数的图象如图所示（实线部分） 若直线 yb 与新函数的图象有 3 个公共点，则 b 的值是（ ） A0 B3 C4 D5 【解答】解：原二次函数 yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 C（1，4） ， 翻折后点 C 对应的点为 D（1，4） ， 当直线 yb 与新函数的图象有 3 个公共点，直线 yb 过点 D， 此时 b4 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：2a24ab+2b2 2（ab）2 【解答】解：原式2（a22ab+b2）2（ab）2 故答案为：2（ab）2 10 （3 分
18、）不等式组的解集为 1x 【解答】解：由 x+10，得：x1， 由 2x3，得：x， 不等式组的解集为， 故答案为： 11 （3 分）已知关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 m4 【解答】解：关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根， （4）24m164m0， 解得：m4 故答案为：m4 12 （3 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸问井深几何？”意思是：如图，井径 AB5 尺，立木高 BD3 尺，BE5 寸0.5 尺，则井深 AC 为 27 尺 【解答】
19、解：ACBD， ACEBDE， ， 即， 解得 AC27， 故井深 AC 为 27 尺 故答案为：27 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，分别以点 A、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 AB、CD 于点 E、F若 AC6，CAB35，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ACBD6，OAOCOBOD，ABCD， OAOC3，ACDCAB35， 图中阴影部分的面积为：2 故答案为： 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为（0，3） 、 （4，3） ，点 C 是线段 AB 的中点，将线
20、段 AC 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CD，过 A、B、D 三点作抛物线当 x1 时，抛物线上最高点的纵坐标为 【解答】解：A、B 两点的坐标分别为（0，3） 、 （4，3） ，点 C 是线段 AB 的中点， ABx 轴，C（2，3） ， AC2， 将线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CD， ACCD，DCx 轴， 顶点 D 为（2，5） ， 设抛物线的解析式为 ya（x2）2+5， 代入 A（0，3）得，34a+5， a， y（x2）2+5， 抛物线开口向下， 当 x1 时，在 x1 时，函数有最大值为：y（12）2+5， 当 x1 时，抛物线上最高点的纵坐标为 故答案为： 三
21、、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）解方程：3x24x20 【解答】解：（4）243（2）400， x 所以 x1，x2 16 （6 分）如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中两个数字之和是偶数的有 4 种结果， P（两个数字之和是偶数） 17 （
22、6 分）图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法 （1）在图中的线段 AB 上找一点 D，连结 CD，使DCBDBC （2）在图中的线段 AB 上找一点 E，连结 CE，使ACEAEC 【解答】解： （1）如图中，点 D 即为所求； （2）如图中，点 E 即为所求 18 （7 分）某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校 600 名学生进行了疫情防控知识竞赛从中随机抽取了 n 名学生的竞赛成绩（满分 100 分，每名学生的成绩记为 x
23、分） ，分成四组：A 组 60 x70；B组 70 x80；C 组 80 x90；D 组 90 x100，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题： （1）求 n 的值 （2）补全频数分布直方图 （3）若规定学生竞赛成绩 x90 为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数 【解答】解： （1）n1224%50； （2）D 组学生有：505121815（人） ， 补全的频数分布直方图如图所示； （3）600180（人） ， 答：估算全校成绩达到优秀的有 180 人 19 （7 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图
24、，河旁有一座小山，山高 BC80m，点 C、A 与河岸 E、F 在同一水平线上，从山顶 B 处测得河岸 E 和对岸F 的俯角分别为DBE45，DBF31若在此处建桥，求河宽 EF 的长 （结果精确到 1m） 参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60 【解答】解：在 RtBCE 中，BC80m，BECDBE45， CBE45， BECCBE45， CEBC80m 在 RtBCF 中，BC80m，BFCDBF31，tanBFC， CF133.3 EFCFCE133.38053.353（m） 答：河宽 EF 的长约为 53m 20 （7 分）如图，在ABC 中，以 BC
25、为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是 AC 上一点，连结 CD、DE，ADEBCD （1）判断 DE 所在直线与O 的位置关系，并说明理由 （2）若B50，O 的半径为 6，求的长 （结果保留 ） 【解答】解： （1）DE 所在直线与O 相切 理由如下： 如图，连结 OD BC 为O 的直径， BDC90， ADE+EDC1809090， OCOD， ODCOCD， ADEBCD， ODCADE， ODC+EDC90， 即ODE90， 点 D 在O 上， DE 所在直线与O 相切； （2）OBOD， ODBB50， BOD18025018010080， 的长为 21 （8 分）某商场以每
26、件 20 元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示设该商场销售这种商品每天获利 w（元） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式 （2）求 w 与 x 之间的函数关系式 （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于 36 元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 由所给函数图象可知：， 解得， 故 y 与 x 的函数关系式为 y2x+120； （2）y2x+120， w（x20）y（x20） （2x
27、+120） 2x2+160 x2400， 即 w 与 x 之间的函数关系式为 w2x2+160 x2400； （3）w2x2+160 x2400 2（x40）2+800， 20，20 x3640， 当 x36 时，w 取得最大值， w最大2（3640）2+800768 答：当每件商品的售价定为 36 元时，每天销售利润最大，最大利润是 768 元 22 （9 分） 【问题原型】如图，在O 中，弦 BC 所对的圆心角BOC90，点 A 在优弧 BC 上运动（点A 不与点 B、C 重合） ，连结 AB、AC （1）在点 A 运动过程中，A 的度数是否发生变化？请通过计算说明理由 （2）若 BC2，
28、求弦 AC 的最大值 【问题拓展】如图，在ABC 中，BC4，A60若 M、N 分别是 AB、BC 的中点，则线段 MN的最大值为 【解答】解： 【问题原型】 （1）A 的度数不发生变化，理由如下： ，BOC90， ； （2）当 AC 为O 的直径时，AC 最大， 在 RtBOC 中，BOC90， 根据勾股定理，得 OB2+OC2BC2， OBOC， ， ， 即 AC 的最大值为； 【问题拓展】如图，画ABC 的外接圆O，连接 OB，OC，ON， 则 ONBC，BON60，BNBC2， OB， M、N 分别是 AB、BC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MNAC， AC 为直径时，AC
29、最大，此时 AC2OB， MN 最大值为， 故答案为： 23 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿ACCBBA 运动， 到点 A 停止 当点 P 不与ABC 的顶点重合时， 过点 P 作其所在边的垂线， 交ABC的另一边于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）边 AC 的长为 4 （2）当点 P 在ABC 的直角边上运动时，求点 P 到边 AB 的距离 （用含 t 的代数式表示） （3）当点 Q 在ABC 的直角边上时，若 PQ，求 t 的值 （4）当APQ 的一个顶点到ABC 的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出 t
30、 的值 【解答】解： （1）C90，AB5，BC3， AC4， 故答案为：4； （2）设点 P 到边 AB 的距离为 h 当点 P 在 AC 边上运动时，过 P 作 PHAB 于 H，如图 1 所示： sinA，AP2t， PH； 当点 P 在 BC 边上运动时，过 P 作 PHAB 于 H，如图 2 所示： sinB，PB72t， PH； 综上所述，点 P 到边 AB 的距离为t 或t+； （3）tanA，tanB， 当点 Q 在 AC 边上时，AP122t，如图 3 所示： 则 PQAPtanA， 即， 解得：t5 当点 Q 在 BC 边上时，BP2t7，如图 4 所示： 则 PQBPta
31、nB，则， 解得：； 综上所述，若 PQ，t 的值为 5 或； （4）分情况讨论： P 在 AC 上，P 到 AB 的距离P 到 BC 的距离， 过 P 作 PMAB 于 M，如图 5 所示： 则 PMPC， 由（2）得：PMt， PCACAP42t， t42t， 解得：t； P 在 BC 上，P 到 AB 的距离P 到 AC 的距离， 过 P 作 PMAB 于 M，如图 6 所示： 则 PMPC， 由（2）得：PMt+， PC2t4， t+2t4， 解得：t； P 在 AB 上，Q 到 AB 的距离Q 到 AC 的距离，如图 7 所示： 则 QPQC， QPAB， APQ90ACP， AQA
32、Q， RtAPQRtACQ（HL） ， APAC， 即 122t4， 解得：t4； P 在 AB 上，Q 到 AB 的距离Q 到 BC 的距离，如图 8 所示： 则 PQCQ， PQAB， APQ90ACB， 又AA， APQACB， ， 即， 解得：PQ9t，AQ15t， CQACAQ4（15t）t11， 9tt11， 解得：t5； 综上所述，当APQ 的一个顶点到ABC 的斜边和一条直角边的距离相等时，t 的值为或或 4 或 5 24 （12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x3，抛物线上不重合的两点 A、B 的横坐标分别为 2n1，n+3 （1）求这条抛物线的顶点 C 的坐标
33、 （2）若 A、B 两点的纵坐标相等，求 n 的值 （3）当点 A 在对称轴左侧时，将抛物线上 A、B 两点之间（含 A、B 两点）的图象记为 L，设图象 L 的最高点与最低点的纵坐标之差为 d，求 d 与 n 之间的函数关系式，并直接写出 d 随 n 的增大而减小时 n的取值范围 （4） 当点 A 在点 B 的左侧时， 过 A、B 两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点 M、 N（点 M、N 不与顶点 C 重合） 若点 M、N、C 中其中一点到另两点距离相等，直接写出 n 的值 【解答】解： （1）yx22x3（x1）24， 抛物线顶点 C 的坐标为（1，4） ； （2）抛物线的对称轴
34、为直线 x1， n0； （3）点 A、B 的坐标分别为（2n1，4n28n） 、 （n+3，n2+4n） 当 n2 时，d4n28n（n2+4n）3n212n 当2n0 时，d4n28n（4）4n28n+4 当 0n1 时，dn2+4n（4）n2+4n+4 当 n0 时，d 随 n 的增大而减小 （4）点 A、B 的坐标分别为（2n1，4n28n） 、 （n+3，n2+4n） ， 点 M（1，4n28n） ，N（1，n2+4n） ， 当点 N 是 MC 中点时，有（4n28n）（n2+4n）n2+4n（4） ， 整理，得：n28n20， 解得 n4+3或 n43， 点 A 在点 B 的左侧， 2n1n+3，即 n4， n43； 当点 M 是 NC 中点时，有（n2+4n）（4n28n）4n28n（4） ， 整理，得：7n220n+40， 解得 n； 综上，n 的值为或或