1、2 2022022 北京海淀北京海淀高一高一（上）（上）期末期末数学试卷数学试卷 2022.01 学校_姓名_准考证号_ 考 生 须 知 1本参考样题共 8 页，共 2 部分，19 道题+1 道选做题，满分 100 分。考试时间 90 分钟。 2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
2、要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合0,1,2,3,4A，32Bxx ，则ABI （A）0,1 （B）(0,1) （C）(0,2) （D）0,1,2 （2）命题“x R，都有230 xx”的否定为 （A）x R，使得230 xx （B）x R，使得230 xx （C）x R，都有230 xx （D）x R，使得230 xx （3）已知0ab，则 （A）22ab （B）11ab （C）22ab （D）ln(1)ln(1)ab （4）已知函数23( )logf xxx. 在下列区间中，包含( )f x零点的区间是 （A）(0,1) （B）(1,2) （
3、C）(2,3) （D）(3,4) （5）4 100米接力赛是田径运动中的集体项目. 一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递. 甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4 100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合. 已知该组合三次交接棒失误的概率分别是123,ppp，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是 （A）123p p p （B）1231p p p （C）123(1)(1)(1)ppp （D）1231(1)(1)(1)ppp （6）下列函数中，在R上为增函数的是 （A）2xy （B）2yx （C）2 ,0
4、,0 xxyx x （D）lgyx （7）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为23300010CQ. 设该产品年产量为Q时的平均成本为( )f Q（单位：元/件），则( )f Q的最小值是 （A）30 （B）60 （C）900 （D）1800 （8）逻辑斯蒂函数1( )1exf x二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类. 下列关于函数( )f x的说法错误的是 （9）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是 甲 乙 （A）甲得分的极差大于乙得分的极差 （B）甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
5、 （C）甲得分的平均数小于乙得分的平均数 （D）甲得分的标准差小于乙得分的标准差 （10）已知函数2( )2f xxbxc（,b c为实数），( 10)(12)ff. 若方程( )0f x 有两个正实数根12,x x，则1211xx的最小值是 （A）4 （B）2 （C）1 （D）12 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 60 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。分。 （11）函数0.5( )log(1)f xx的定义域是_. （12）已知( )f x是定义域为R的奇函数，且当0 x 时，( )lnf xx，则1()ef 的值是_
6、. （13）定义域为R，值域为(,1)的一个减函数是_. （14）已知函数5( )logf xx. 若( )(2)f xfx，则x的取值范围是_. 得分051015202530场次87654321（A）函数( )f x的图象关于点(0, (0)f对称 （B）函数( )f x的值域为(0,1) （C）不等式1( )2f x 的解集是(0,) （D）存在实数a，使得关于x的方程( )0f xa有两个不相等的实数根 0 5 1 4 5 7 7 6 6 2 9 （15）已知函数1(2) ,1,( ),1xa x xf xax（0a 且1a ）. 给出下列四个结论： 存在实数a，使得( )f x有最小值
7、； 对任意实数a（0a 且1a ），( )f x都不是R上的减函数； 存在实数a，使得( )f x的值域为R； 若3a ，则存在0(0,)x ，使得00()()f xfx. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 40 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 9分） 已知集合2 |230Ax xx ， |40Bx xa. （）当1a 时，求ABI； （）若AB RU，求实数a的取值范围. （17）（本小题 10 分） 已知函数( )xxf xab a （0a 且1a ），再从条件、条件这两
8、个条件中选择一个作为已知. （）判断函数( )f x的奇偶性，说明理由； （）判断函数( )f x在(0,)上的单调性，并用单调性定义证明； （）若(3)f m 不大于(2)b f，直接写出实数m的取值范围. 条件：1,1ab； 条件：01,1ab . 注注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. （18）（本小题 10 分） 某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1. 现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）. 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 （）写出a，b
9、的值； （）从上述样本的所有二等品中任取 2件，求至少有 1件为甲生产线产品的概率； （）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取 10 件产品，记1P表示从甲生产线随机抽取的 10件产品中恰好有 5件一等品的概率，2P表示从乙生产线随机抽取的 10 件产品中恰好有 5件一等品的概率，试比较1P和2P的大小.（只需写出结论） （19）（本小题 11 分） 已知定义域为D的函数( )f x，若存在实数a，使得1xD ，都存在2xD满足12( )2xf xa，则称函数( )f x具有性质( )P a. （）判断下列函数是否具有性质(0)P，说明理由； ( )2xf x ； 2
10、( )logf xx，(0,1)x. （）若函数( )f x的定义域为D，且具有性质(1)P，则“( )f x存在零点”是“2D”的_条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） （）若存在唯一的实数a，使得函数2( )4f xtxx，0,2x具有性质( )P a，求实数t的值. 选做题：（本题满分选做题：（本题满分 5 分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过 100 分）分） 2015年 10月 5日，我国女药学家屠呦呦获得 2015 年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是
11、科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用. 当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药
12、浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：h），在0t 时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：g/ml）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题： （）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是_； 0.2 ,01.5,0.750.3 ,1.5.ttC tt t 212
13、, 01.5,5591=,1.54.5,40200,4.5.tttC tttt ,01.5,0.3ln 2.0.3e5,1 .0.53ttC ttt 0.2ln1 ,01.5,0.3ln 2.5,1.5.ttC ttt （）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1g/ml，则称青蒿素药片是合格的.基于（）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片_；（填“合格”、“不合格”） （）记血药浓度的峰值为maxC，当max12CC时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
14、是_. 2022 北京海淀高一（上）期末数学 参考答案 一、一、选择题（共选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 A A D C C C B D B B 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 (1,) 1 ( )12xf x ，（答案不唯一） (1,2) 注：第 15 题少选项得 2 分，错选或未作答均为 0分。 三、解答题（共 4 小题，共 40
15、分） （16）（共 9分） 解：由2230 xx得1x 或3x . 所以(, 1)(3,)A U.2 分 （）当1a 时，(,4B .3分 所以(, 1)(3,4AB IU.5 分 （）由题意知(,4 Ba .6分 因为AB RU， 所以43a .8 分 所以34a . 所以实数a的取值范围是3 ,)4 .9分 （17）（共 10 分） 解：选择条件：1,1ab. （）函数( )f x是偶函数，理由如下：1分 ( )f x的定义域为R，对任意xR，则x R.2 分 因为()( )xxfxaaf x，3分 所以函数( )f x是偶函数. （）( )f x在(0,)上是增函数.4 分 任取12,(
16、0,)x x ，且12xx，则120 xx.5分 因为1a ， 所以12xxaa，121xxa. 所以112212( )()()xxxxf xf xaaaa 12121()(1)xxxxaaaa 1212121()0 xxxxxxaaaa，即12( )()f xf x.7 分 所以( )f x在(0,)上是增函数. （）实数m的取值范围是 5, 11,5U.10 分 选择条件：01,1ab . （）函数( )f x是奇函数，理由如下：1分 ( )f x的定义域为R，对任意xR，则x R.2 分 因为()( )xxfxaaf x，3分 所以函数( )f x是奇函数. （）( )f x在(0,)上
17、是减函数.4 分 任取12,(0,)x x ，且12xx.5 分 因为01a， 所以120 xxaa. 所以112212( )()()xxxxf xf xaaaa 12121()(1)0 xxxxaaaa，即12( )()f xf x.7 分 所以( )f x在(0,)上是减函数. （）实数m的取值范围是(, 11,) U.10 分 （18）（共 10 分） 解：（）18a ，4b .2分 （）记样本中甲生产线的 4件二等品产品为1234,A AA A;乙生产线的 2件二等品产品为12,B B.从样本中 6 件二等品中任取 2件，所有可能的结果有 15 个，它们是： 12(,)A A，13(,
18、)A A，14(,)A A，23(,)AA，24(,)AA，34(,)A A，11(,)A B，21(,)A B，31(,)A B，41(,)A B，12(,)A B，22(,)A B，32(,)A B，42(,)A B，12(,)B B.6分 用C表示：“至少有 1件为甲生产线产品”这一事件，则C中的结果有 1个，它是12(,)B B.7分 所以114( )1( )11515P CP C .8 分 （）12PP.10分 （19）（共 11 分） 解：（）函数( )2xf x 不具有性质(0)P.理由如下： 对于0a ，11x ，因为21202x，2x R，所以不存在2x R满足12( )2x
19、f xa. 所以函数( )2xf x 不具有性质(0)P.1 分 函数2( )logf xx，(0,1)x具有性质(0)P.理由如下： 对于1(0,1)x ，取122xx，则2(0,1)x . 因为12211log022xxxx， 所以函数2( )logf xx，(0,1)x具有性质(0)P.2 分 （）必要而不充分理由如下：3 分 若( )f x存在零点，令( )31f xx，0,1x，则1( )03f. 因为10,1x ，取21113xx ，则22 ,13x ，且1211( )2122xf xxx. 所以( )f x具有性质(1)P，但20,1.4分 若2D，因为( )f x具有性质(1)
20、P， 取12x ，则存在2xD使得122( )2( )122xf xf x. 所以2( )0f x，即( )f x存在零点2x.5分 综上可知，“( )f x存在零点”是“2D”的必要而不充分条件. （）记函数2( )4f xtxx，0,2x的值域为F，函数( )2g xax，0,2x的值域22,2 Aaa. 因为存在唯一的实数a，使得函数2( )4f xtxx，0,2x有性质( )P a，即存在唯一的实数a，对10,2x ，20,2x，使得21( )2f xax成立， 所以FA.7 分 当0t 时，( )4f xx，0,2x，其值域4,6F . 由FA得3a .8 分 当14t，且0t 时，
21、2( )4f xtxx，0,2x是增函数，所以其值域4,46Ft. 由FA得0t ，舍去.9分 当1124t 时，2( )4f xtxx，0,2x的最大值为11()424ftt，最小值为 4， 所以( )f x的值域14,44Ft. 由FA得18t ，舍去. 当12t 时，2( )4f xtxx，0,2x的最大值为11()424ftt，最小值为(2)46ft， 所以( )f x的值域146,44Ftt. 由FA得234t （舍去234t ）.11分 综上所述，0t 或234t . 选做题：选做题：（本题满分 5 分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过 100 分） 解：（）；1分 （）合格；2 分 （）10(4)2h.5 分