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2022年1月北京市石景山区高二上期末数学试卷(含答案)

1、 高二数学试卷第 1 页(共 11 页) 石景山区石景山区 20212022 学年第学年第一一学期高学期高二二期末期末数学数学试卷试卷 本试卷共 6 页,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分(选择题(选择题 共共 40 分)分) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项题目要求的一项 1直线0 xy的倾斜角为() A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 2点(5, 3)

2、到直线20 x的距离等于() A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 3已知 m,n 是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是() A. 若/m,/n,则/mn B. 若,则/ C. 若/m,/m,则/ D. 若m,n,则/mn 4已知平面的法向量为(2, 4, 2) ,平面的法向量为( 1,2, )k,若/ /,则()k A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 5下列双曲线中以2 yx为渐近线的是() A. 2212yx B. 2214yx C. 2212xy D. 2214xy 6. 若(2, 3,1)a,(2,0,3)b,(0,2,2)c,则()abc的值为() 高二数学试卷第

3、 2 页(共 11 页) A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 7如图,在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中,M,N 分别为11A B和1BB的中点,那么直线 AM 与 CN 夹角的余弦值为() A. 32 B. 1010 C. 35 D. 25 8已知椭圆 C 的焦点为1( 1,0)F,2(1,0).F过点1F的直线与椭圆 C交于 A,B 两点若 2ABF的周长为 8,则椭圆 C的标准方程为() A. 2211615xy B. 22187xy C. 22143xy D. 22134xy 9已知直线 l:10 kxyk和圆 C:2240 xyx,则直线 l 与圆 C 的位置关系

4、为() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 10我们知道:用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分.如图, 在底面半径和高均为 2的圆锥中, AB,CD 是底面圆的两条互相垂直的直径,E 是母线 PB 的中点,已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的圆锥曲线的一部分,则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于(). A. 12 B. 22 C. 2 D. 1 第二部分第二部分(非选择题(非选择题 共共 60 分)分) 高二数学试卷第 3 页(共 11 页) 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,共

5、分,共 20 分分 11在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中,M 为1AD的中点,则三棱锥MABC的体积是_. 12如果直线20m xy与直线10 xmy垂直,那么m . 13 正方体1111ABCDABC D的棱长是1, 则直线BC与平面11ABC D所成角的大小为 . 14P为抛物线22yx上一动点,当点P到直线240 xy的距离最短时,P点的坐标是_. 15. 在平面直角坐标系中,到两个定点(0,1)A和(0, 1)B的距离之积等于2的轨迹记作曲线 C.对于曲线 C,有下列四个结论: 曲线 C 是轴对称图形; 曲线 C 是中心对称图形; 曲线 C 上所有的点都在单位圆221x

6、y内; 曲线 C 上所有的点的横坐标 1,1 x. 其中,所有正确结论的序号是_. 三、三、解答题共解答题共 5 小题,共小题,共 40 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16(本小题满分 6 分) 高二数学试卷第 4 页(共 11 页) 已知点(1,3)A,(3,1)B,( 1,0)C.求: ()BC边上的中线所在直线的方程; ()三角形ABC的面积. 17 (本小题满分 8 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,PB平面 ABCD,ABBC,/ADBC,2ADBC,点 E 为棱 PD的中点 ()求证:/CE平面 PAB; ()求证:AD平面 P

7、AB. 18 (本小题满分 8 分) 在平面直角坐标系中,已知点(0,0)O,(1,1)A,(2,0)B,OAB 的外接圆为圆 M, 直线 l的方程为2.ykx ()求圆 M的方程; ()若直线 l与圆 M 相交于 E,F两点,|2EF,求 k的值. 高二数学试卷第 5 页(共 11 页) 19(本小题满分 9 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD中,/ABCD,ADDC,且112ABADCD.现以AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 折起,使EDDC,M 为线段 DE 上的动点,如图2. ()求二面角CBEA的大小; ()设DMDE,若AM所在直线与平面

8、BCE相交,求的取值范围. 20 (本小题满分 9 分) 椭圆2222:1(0)xyEabab,经过点(0, 1)A,且离心率为22. ()求椭圆 E的方程; () 过椭圆右焦点的直线与椭圆 E交于,P Q两点, 点(2,0)M, O 为坐标原点, 证明:.OMPOMQ 图 2 图 1 高二数学试卷第 6 页(共 11 页) 石景山区石景山区 20212022 学年第一学期高二期末学年第一学期高二期末 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考 一、选择题:一、选择题:本大题共本大题共 1010 个小题,每小题个小题,每小题 4 4 分,共分,共 4040 分分 题号 1 2 3 4 5 6

9、 7 8 9 10 答案 D A D C B A D C A C 二、填空题:二、填空题:本大题共本大题共 5 5 个小题,每小题个小题,每小题 4 4 分,共分,共 2020 分分 三、三、解答题:解答题:本大题共本大题共 5 5 个小题,共个小题,共 4 40 0 分分解答题应写出文字说明,证明过程或演算步解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤骤 16(本小题满分 6 分) 解:()因为(1,3)A,(3,1)B,( 1,0)C, 所以线段 BC 的中点坐标为1(1, )2, 1 分 所以 BC 边上的中线所在的直线的斜率不存在, BC边上的中线所在的直线方程为1x. 3 分 ()直线

10、BC的方程为011031yx ,即410 xy, 题号 11 12 13 14 15 答案 23 0或-1 4 1 1( , )2 2 高二数学试卷第 7 页(共 11 页) 则点 A到直线 BC的距离22|13 41|10 171714 d, 又22|(3 1)(1 0)17BC , 故110 17175217ABCS. 6 分 17(本小题满分 8 分) 证明:()取 PA中点 F,连接 EF,BF,因为 E为 PD中点,F 为 PA 中点, 所以/EFAD,且12EFAD. 又因为/BCAD,且12BCAD, 所以/EFBC,且EFBC . 所以四边形 BCEF 为平行四边形, 所以/C

11、EBF, 因为CE平面 PAB,BF平面 PAB 所以/CE平面.PAB 4 分 ()因为PB平面 ABCD,AD平面 ABCD 所以PBAD 又因为ABBC,/ADBC 高二数学试卷第 8 页(共 11 页) 所以ADAB, 又IABPBB,AB、PB平面 PAB 所以AD平面.PAB 8 分 18(本小题满分 8 分) 解: ()圆 M经过点(0,0)O、(1,1)A、(2,0)B, 所以OAAB,| |OAAB, 2 分 所以圆心为(1,0)M,半径为1r, 3 分 则圆 M 的方程为22(1)1xy; 4 分 ()设圆心(1,0)M到直线 l的距离为 d, 因为直线 l与圆 M 相交于

12、 E,F 两点,|2EF, 所以222|()2EFdr,得222()12d,则22d6 分 所以2|2|221kk, 解得1k或7k. 8 分 19(本小题满分 9 分) 解: 因为EDDC, 所以, 易得,DA DC DE 两两垂直, 以 D 为坐标原点,,uuu r uuu r uuu rDA DC DE方 向分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图 所示空间直角坐标系, 则(0,2,0)C,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,0,1)E. 高二数学试卷第 9 页(共 11 页) ()(0,1,0)uuu rAB,(1,1, 1)uuu rEB,(1, 1,0)uuu rCB,

13、 设平面ABE的法向量1111( ,)u u rnx y z 1110u u ruuu ru u r uuu rnABnABy, 111110u u ruuu ru u r uuu rnEBnEBxyz, 令11x,得110,1yz. 所以平面ABE的法向量1(1,0,1)u u rn. 2 分 设平面CBE的法向量2222(,)uu rnxy z 222220uu ruuu ruu r uuu rnEBnEBxyz 22220uu ruuu ruu r uuu rnCBnCBxy 令21x,得221,2yz. 所以平面CBE的法向量2(1,1,2)uu rn. 3 分 1212121023c

14、os,226u u r uu ru u r uu ru u r uu rnnn nn n 5 分 二面角CBEA为钝角,所以二面角CBEA的大小为56. 6 分 ()因为DMDE,所以(0,0, )M且0,1, ( 1,0, ) uuuu rAM, 因为AM所在直线与平面BCE相交, 高二数学试卷第 10 页(共 11 页) 所以2120 uuuu r uu rAM n,解得12, 8 分 所以的取值范围为110, )( ,122U. 9 分 20(本小题满分 9 分) 解: ()由题设知,22ca,1b, 1 分 结合222abc,解得2a, 所以椭圆的方程为2212xy. 3 分 ()证明

15、:由()可得椭圆的右焦点为(1,0), 当直线 PQ斜率存在时,设直线 PQ的方程为(1)yk x,11(,)P x y,22(,)Q xy, 代入椭圆方程2212xy, 可得2222(21)4220kxk xk,易知0 , 2122421kxxk,21222221kx xk, 5 分 则12121212(1)(21)222MPMQyyk xk xkxxkxx 122112121222k xxk xxxx 221211(2)(2)234kx xkxxxxk 32221222212421210(2)(2)kkxxkkkk, 高二数学试卷第 11 页(共 11 页) 则OMPOMQ; 8 分 当直线 PQ斜率不存在时,PQ垂直 x 轴,由对称性易知OMPOMQ, 综上,.OMPOMQ 9 分