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2022年1月北京市海淀区高二上期末数学试卷(含答案)

1、高二数学 第 1 页(共 11 页) 高二第一学期期末参考样题 数 学 2022.01 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1本样题共 5 页,共两部分,19 道题,满分 100 分。考试时间 90 分钟。 2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4在答题卡上,选择题用 2B 铅笔作答,其他题用黑色字迹签字笔作答。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)下列直线中, 倾斜角为45的是 (A)10 xy (B)10 x

2、(C)20 xy (D)210 xy (2)若直线10 xay 与直线20 xy垂直, 则 a 的值为 (A)2 (B)1 (C)12 (D)1 (3)如图, 在四面体OABC中, ,OAOBOCuuu ruuu ruuu rabc, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则OEuuu r可用向量, ,a b c表示为 (A)111222abc (B)111244abc (C)111424abc (D)111442abc (4)平面与平面平行的充分条件可以是 (A)平面内有一条直线与平面平行 (B)平面内有两条直线分别与平面平行 (C)平面内有无数条直线分别与平面平行 (D)平面内有

3、两条相交直线分别与平面平行 D O C E B A 高二数学 第 2 页(共 11 页) (5)若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线经过点( 3,1), 则双曲线的离心率为 (A)2 33 (B)62 (C)3 (D)2 (6)已知球 O 的半径为 2, 球心到平面的距离为 1, 则球 O 被平面截得的截面面积为 (A)2 3 (B)3 (C)3 (D) (7)如图, 在三棱锥PABC中, PAABC平面, ABAC, 2PA , 2ABAC, 则 点 A 到平面PBC的距离为 (A)1 (B)32 (C)22 (D)12 (8)如图,12,F F是平面上的两点, 且12|=1

4、0FF, 图中的一系列圆是圆心分别为12,F F的两组 同心圆, 每组同心圆的半径分别是 1, 2, 3, A, B, C, D, E 是图中两组同心圆的部分公共 点. 若点 A 在以12,F F为焦点的椭圆 M 上, 则 (A)点 B 和 C 都在椭圆 M 上 (B)点 C 和 D 都在椭圆 M 上 (C)点 D 和 E 都在椭圆 M 上 (D)点 E 和 B 都在椭圆 M 上 B C P A EABDCF2F1高二数学 第 3 页(共 11 页) (9)设 P 为直线2ykx上任意一点, 过 P 总能作圆221xy的切线, 则k的最大值为 (A)33 (B)1 (C)2 (D)3 (10)

5、某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”. 他们的设计思路是将某双曲线的一部 分(图 1 中 A, C 之间的曲线)绕其虚轴所在直线 l 旋转一周, 得到花瓶的侧面,花瓶底部 是平整的圆面, 如图 2. 该小组给出了图 1 中的相关数据: 1113cm, 12cm, AABB 1111120 cm, 15cm, 48cmCCABBC, 其中 B 是双曲线的一个顶点. 小组中甲、乙、 丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积(忽略瓶壁和底部的厚度), 结 果如下表所示. 学生 甲 乙 丙 丁 估算结果(cm3) 25200 17409 14889 13809 其中估算结果最接近花瓶的容积

6、的同学是 (参考公式: 2VR h 圆柱, 213VR h圆锥, 221()3Vh rrRR圆台 ) (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 l 图 2 C1 C A1 A B B1 图 1 高二数学 第 4 页(共 11 页) 第二部分(非选择题 共 60 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 (11)圆222690 xyxy的圆心坐标为_; 半径为_. (12)在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中, 111ACABuuuu r uuuu r_. (13)已知双曲线 M 的中心在原点, 以坐标轴为对称轴. 从以下三个条件中任选两个条件, 并 根据所选条件

7、求双曲线 M 的标准方程. 一个焦点坐标为(2,0); 经过点( 3,0); 离心率为2. 你选择的两个条件是_, 得到的双曲线 M 的标准方程是_. (说明:仅填写第一空不得分, 只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分) (14)椭圆22:184yCx的右焦点为 F, 过原点的直线与椭圆 C 交于两点 A, B, 则ABF的 面积的最大值为_. (15)如图, 在矩形ABCD中, 1,3ABAD, 将ABD沿BD所在的直线进行翻折, 得到 空间四边形1ABCD. 给出下面三个结论: 在翻折过程中, 存在某个位置, 使得1ACBD; 在翻折过程中, 三棱锥1ABCD的体积不大于14; 在翻

8、折过程中, 存在某个位置, 使得异面直线1AD与BC所成角为 45. 其中所有正确结论的序号是_. D C B A B C D A1 高二数学 第 5 页(共 11 页) 三、解答题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16)(本小题 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O 以原点为圆心, 且经过点(1, 3)M. ()求圆 O 的方程; ()若直线320 xy与圆 O 交于两点 A, B, 求弦长|AB|. (17)(本小题 11 分) 如图, 在直三棱柱111ABCABC中,ACBC,11,2ACBCAA. M 为侧棱1BB的中点,连接11,AM

9、 C M CM. ()证明:11/ACAC M平面; ()证明:11CMAC M 平面; ()求二面角111CAMB的大小. (18)(本小题 10 分) 已知抛物线2:2C ypx经过点(1,2). ()求抛物线C的方程及其准线方程; ()经过抛物线C的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于两点 M, N, 且与抛物线的准线交于点 Q. 若| 2 2 |MNQF, 求直线 l 的方程. (19)(本小题 11 分) 已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为63, 一个焦点为(2,0). ()求椭圆 E 的方程; ()设O为原点, 直线(0)yxm m与椭圆 E 交于不同的两点 A, B

10、, 且与x轴交于点 C, P 为线段 OC 的中点, 点 B 关于 x 轴的对称点为1B. 证明:1PAB是等腰直角三角形. A1B1MBAC1C高二数学 第 6 页(共 11 页) 参考答案 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) (1)C (2)A (3)B (4)D (5)A (6)B (7)A (8)C (9)D (10)D 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) (11)(1, 3), 1 (12)1 (13), 2213xy或 , 22122xy 或 , 22133xy (14)4 (15) 说明:(1)第 13 题共有三种正确的填写方法,只需

11、填写其中一种. 只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分,有一空不填或两空所填内容不匹配的均得 0 分; (2)第 15 题不填或填写含有的得 0 分,仅填写或的得 2 分,填写的得满分. 三、解答题(共 4 小题,共 40 分) (16)(共 8 分) 解: ()设圆 O 的方程为222xyr, 将点 M 的坐标代入圆 O 的方程得213r,即2r . 所以圆 O 的方程为224xy. ()圆心 O 到直线320 xy的距离为213 1d , 所以22|()42ABd . 所以2|12AB ,| 2 3AB . (17) (共 11 分) 解法一: ()在直三棱111ABCABC中,侧面1

12、1ACC A为平行四边形. 所以11/ACAC. 高二数学 第 7 页(共 11 页) 因为AC 平面11AC M,11AC 平面11AC M, 所以11/ACAC M平面. ()在直三棱柱111ABCABC中, 侧棱1CC 平面111ABC. 所以111CCAC. 因为ACBC, 且11/ACAC,11/BCBC,所以1111ACBC. 因为1111CCBCCI, 所以1111ACBBC C 平面. 又因为11CMBBC C 平面,所以11ACCM. 因为1BBBC,BCBM, 所以45CMB. 同理1145C MB, 所以190CMC. 即1CMC M. 因为1111ACC MCI, 所以

13、11CMAC M 平面. ()由题意可知1,CA CB CC两两垂直, 故以C为 原点,以1,CA CB CC所在的直线分别为x轴,y轴, z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题得 11(0,0,0),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)CABM. 所以(0,1,1)CM uuuu r, 1(0,0,1)MB uuuu r, 11( 1,1,0)AB uuuu r. 由()知11CMAC M 平面,所以平面11AC M的 一个法向量为(0,1,1)CMuuuu rm. 设平面11AMB的一个法向量为( , , )x y zn. xzyA1B1MBAC1C高二数学 第 8

14、页(共 11 页) 得111,MBABuuuu ruuuu rnn,即1110,0MBABuuuu ruuuu rnn. 得0,0zxy . 令1x ,得1y ,所以(1,1,0)n. 可得1cos,|2m nm nm n. 又因为二面角111CAMB的平面角为锐角, 所以二面角111CAMB的大小为3. 解法二: ()同解法一. ()由题意可知1,CA CB CC两两垂直, 故以C为原点, 以1,CA CB CC所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建 立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题得11(1,0,2),(0,0,2),(0,1,1)ACM. 所以11( 1,0,0)AC uuuu

15、r,1( 1,1, 1)AM uuuur,(0,1,1)CM uuuu r 设平面11AC M的一个法向量为( , , )x y zm. 得111,ACAMuuuu ruuuurmm,即1110,0ACAMuuuu ruuuurmm. 得0,0 xxyz . 则0 x ,令1y ,得1y ,所以(0,1,1)m, 因为/CMuuuu rm,所以11CMAC M 平面. xzyA1B1MBAC1C高二数学 第 9 页(共 11 页) ()设平面11AMB的一个法向量为( , , )x y zn. 得111,MBABuuuu ruuuu rnn,即1110,0MBABuuuu ruuuu rnn.

16、 得0,0zxy . 令1x ,得1y ,所以(1,1,0)n. 由()可知,平面11AC M的一个法向量为(0,1,1)m. 可得1cos,|2m nm nm n. 又因为二面角111CAMB的平面角为锐角, 所以二面角111CAMB的大小为3. (18) (共 10 分) 解: ()将点(1,2)的坐标代入抛物线C的方程, 得222p,即2p . 所以抛物线C的方程为24yx. 准线方程为1.x ()解法一: 依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0,所以设直线 l 的方程为(1) (0)yk xk. 联立2(1),4yk xyx, 化简得 2222(24)0k xkxk. 易知2242(2

17、4)416160kkk. 设1122(,),(,)M x yN xy,则212224kxxk. 则221222244422kkMNxxkk. 高二数学 第 10 页(共 11 页) 易知( 1, 2 ),(1,0)QkF ,所以244QFk. 因为| 2 2 |MNQF,所以222442 2 44kkk. 得21k ,即1k . 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy . 解法二: 依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0,所以设直线 l 的方程为(1) (0)yk xk. 联立2(1),4yk xyx,化简得2222(24)0k xkxk. 易知2242(24)416160kkk. 设11

18、22(,),(,)M x yN xy,则212224kxxk,121x x . 易知( 1, 2 ),(1,0)QkF ,因为| 2 2 |MNQF,所以|2 2|MNQF. 所以122 22xx,即124 2xx. 即2121 2()44 2xxx x,故22224()44 2kk. 得21k ,即1k . 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy . (19) (共 11 分) 解:()依题意,6,23ceca, 得6a ,2222bac. 得22162xy. ()设点(,0)Cm, 则点(,0)2mP . 联立方程22,36yxmxy, 高二数学 第 11 页(共 11 页) 可得,2

19、246360 xmxm. 依题意,223616(36)0mm, 得2 22 2m. 又因为0m ,所以2 20m或02 2m. 设11(,)A x y, 22(,)B xy, 122(,)B xy, 得1232mxx . 设向量11(,)2mPAxyuuu r, 122(,)2mPBxyuuur, 则有11212()()22mmPA PBxxy yuuu r uuur 1212()()()()22mmxxxm xm 2123()24mxxm 2233044mm. 所以1PAPB. 所以190APB. 设AB的中点为00(,)M xy, 则120+324xxmx , 004myxm. 342104PMmmkm , 由题意可知1ABk,故PMAB, 所以| |PAPB. 因为点 B 关于 x 轴的对称点为1B,所以1| |PBPB. 所以1|PAPB. 所以1APB为等腰直角三角形. 注:本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分注:本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分. .