1、 1 昌平区昌平区 2021-2022 学年初三第一学期期末质量监控数学试卷学年初三第一学期期末质量监控数学试卷 本试卷共 8 页，共 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将答题卡交回。 一、选择题一、选择题（本题共（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 2 分，共分，共 1616 分）分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的的. . 1. 已知A 是锐角，sinA=12，那么A 的度数是 （A）15 （B）30 （C）45 （D）60 2已知 3a4b（ab0），则下列各式正
2、确的是 （A）43ab （B）34ab （C）34ab （D）43ab 3. 抛物线 y=x2-2 的顶点坐标是 （A） （0，-2） （B） （-2， 0） （C） （0， 2） （D） （2， 0） 4已知反比例函数kyx（k0）的图象经过点 A（2，3） ，则 k 的值为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5. 如图，AD 是ABC 的外接圆O 的直径，若BCA50 ，则BAD 等于 （A）30 （B）40 （C）50 （D）60 6. 如图，面积为 18 的正方形 ABCD 内接于O，则O 的半径为 （A）32 （B）322 （C）3 （D）3 2 7.关于二次函数 y=-(x
3、-2)23，以下说法正确的是 （A）当 x-2 时，y 随 x 增大而减小 （B）当 x-2 时，y 随 x 增大而增大 （C）当 x2 时，y 随 x 增大而减小 （D）当 x2 时，y 随 x 增大而增大 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，O 的半径为 2，与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于点 A，B，点 C（1，c） ，D（2，d） ，E（e，1） ，P（m，n）均为AB上的点（点 P 不与点 A，B 重合） ，若 mn3m，则点 P 的位DCBAOOABCD 2 置为 （A） 在BC上 （B）在CD上 （C）在DE上 （D）在EA上 二、填空题二、填空题（本题共（本题共 8 道小题，
4、每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9.写出一个开口向下，与 y 轴交于点(0，1)的抛物线的函数表达式: . 10O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离是 4cm，则直线 l 与O 的位置关系是 . 11.若扇形的圆心角为 60 ，半径为 2，则该扇形的弧长是 (结果保留) 12点 A（-1，y1） ，B（4，y2）是二次函数 y（x1）2图象上的两个点，则 y1_y2（填“”，“”或“”） 13.如图，AB 为O的直径，弦 CDAB 于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH 的长为 . 14已知反比例函数 y1mx的图象分布在第二、四象限，则 m 的取值
5、范围是 15如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，C 是优弧 AB 上的一个动点，若P = 50，则ACB 16.点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）(x1x20)是 y=ax2（a0）图象上的点，存在12xx=1 时，12yy=1 成立，写出一个满足条件 a 的值_. 三、解答题三、解答题（本题共（本题共 12 道小题，第道小题，第 17- -22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23- -26 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 27、28 题，每小题，每小题题 7 分，共分，共 68 分）分） xyDECABOOCBAPHOBADC13 题图 15 题图 3
6、17. 计算： 2sin60 +tan45 cos30 tan60 18如图，在ABC 中，C=90，AC=4，AB=5，点 D 在 AC 上且 AD=3，DEAB 于点 E，求 AE 的长 19. 已知：二次函数 y=x24x+3 （1）求出二次函数图象的顶点坐标及与 x 轴交点坐标； （2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出 y0 时，自变量 x 的取值范围. 20如图，在ABC 中，B30，AB4，ADBC 于点 D 且 tanCAD12，求 BC 的长. xy12345123451234512345ODCBAAEDBC 4 21已知：如图，ABC 为锐角三角形，ABAC 求作：一点
7、 P，使得APCBAC 作法：以点 A 为圆心， AB 长为半径画圆； 以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交A 于点 C，D 两点； 连接 DA 并延长交A 于点 P 点 P 即为所求 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明 证明：连接 PC，BD ABAC， 点 C 在A 上 BCBD， _ BAC12CAD 点 D，P 在A 上， CPD12CAD （_） （填推理的依据） APCBAC 22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(a，2)是一次函数1yx的图象与反比例函数0kykx（）的图象的交点. (1)求反比例函数0kykx（）的表达式；
8、 (2)过点 P(n，0)且垂直于 x 轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为 M， N， 当 SOPMSOPN时，直接写出 n 的取值范围. xy123456123456123456123456OBAC 5 4535PEADNCMB 23.居庸关位于距北京市区 50 余公里外的昌平区境内， 是京北长城沿线上的著名古关城， 有 “天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容： 请你帮他计算出城楼的高度 AD. （结果精确到 0.1m， sin350.574，cos350.819，tan
9、350.700） 24. 如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，ABCD 于点 E，P 是 AB 延长线上一点，且BCPBCD （1）求证：CP 是O 的切线； （2）连接 DO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和OF 的长 题目 测量城楼顶端到地面的高度 测量目标 示意图 相关数据 BM=1.6m，BC=13m，ABC=35，ACE=45 OPEDCBA 6 25随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本 20 元销售过程中发现，每天销售量 y（袋）与
10、销售单价 x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y-2x80（20 x40） ，设每天获得的利润为 w（元） （1）求出 w 与 x 的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 26在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数 yx2bx 的图象上 （1）当 m-3 时 求这个二次函数的顶点坐标； 若点（-1，y1） ， （a，y2）在二次函数的图象上，且 y2y1，则 a 的取值范围是_； （2）当 mn0 时，求 b 的取值范围 27.已知POQ=120，点 A，B 分别在 OP，OQ 上，OAOB，连接 AB，在 AB 上方作等
11、边ABC，点 D是 BO 延长线上一点，且 AB=AD，连接 AD. （1）补全图形； （2）连接 OC，求证：COP=COQ； （3）连接 CD，CD 交 OP 于点 F，请你写出一个DAB 的值，使 CD=OB+OC 一定成立，并证明. POQAB 7 备用图 28在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，O，Q 给出如下定义：若 OQPOPQ 且 PO2，我们称点 P是线段 OQ 的“潜力点” 已知点 O（0，0） ，Q（1，0） （1）在 P1（0，-1） ，P2（12，32） ，P3（-1，1）中是线段 OQ 的“潜力点”是_； （2）若点 P 在直线 yx 上，且为线段 OQ 的“
12、潜力点” ，求点 P 横坐标的取值范围； （3）直线 y2xb 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，当线段 MN 上存在线段 OQ 的“潜力点”时，直接写出 b 的取值范围. POQyx1234123412341234Oyx1234123412341234O 8 昌平区昌平区 2021-2022 学年第一学期初学年第一学期初三三年级期末质量年级期末质量监控监控 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 20221 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A
13、D B C C B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 答案不唯一 例如21yx 相交 23 12yy 3 1m 65 答案不唯一 例如 a=1 三、解答题三、解答题（本题共（本题共 12 道小题，第道小题，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 27、28 题，每小题，每小题题 7 分，共分，共 68 分）分） 17解：原式3321322 . 4 分 132. 5 分 18解： DEAB 于点 E，
14、C=90， AEDC. 1 分 AA， ADEABC. 3 分 ADAEABAC. 4 分 354AE. AE125. 5 分 19.（1）解：y=x24x+3 . 顶点坐标为（2，-1）. 1 分 令 y=0，则 x24x+3=0. 解得 x1=1，x2=3. 图象与 x 轴交点坐标为（1，0） （3，0）. 3 分 9 xy1234123412341234OCBDAP（2） 4 分 当 y0 时，自变量 x 的取值范围为 1x3. 5 分 20解： ADBC 于点 D， ABD，ADC 为直角三角形. RtADE 中，B30，AB4， AD2. 1 分 BD2 3. 2 分 RtADC 中
15、，tanCAD12，AD2， tanCAD12CDAD. 3 分 CD1. 4 分 BC2 31. 5 分 21解： （1） 2 分 10 4535PEADNCMB （2）BAC=BAD . 4 分 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 5 分 22解： （1） 把 A（a，2）代入1yx，得 a3，点 A 坐标为（3，2）. 1 分 把 A（3，2）代入0kykx（），得 k6. 2 分 所以反比例函数表达式为6yx. 3 分 （2）n-2 或 n3. 5 分 23. 解：根据题意，得 BM=ED=1.6m，AEC=90. 设 AE 为 x m，在 RtACE 中， ACE=45， C
16、AE=45， AE=CE. 1 分 在 RtABE 中， tanABE=AEBE， 2 分 又ABE=35， tan35=13xx 3 分 解得 x30.34 分 AD=AE+ED30.3+1.631.9（m） 5 分 答：城楼顶端距地面约为 31.9m6 分 24 （1）证明：连接 OC. OBOC， OBCOCB. ABCD 于点 E， CEB90. OBCBCD90. OCBBCD90. BCPBCD， OCBBCP90. 11 OCCP. CP 是O 的切线. 3 分 （2）ABCD 于点 E， E 为 CD 中点. O 为 GD 中点， OE 为DCG 的中位线. GC2OE6， O
17、EGC. AOGC GCFOAF. GCGFOAOF. 65GFOF. GFOF5， OF2511. 6 分 25. 解： （1）w=（x-20）y 1 分 =（x-20） （-2x+80） =-2x2+120 x-1600. 2 分 （2）w=-2（x-30）2+200，3 分 20 x40,且 a=-20， 当 x=30 时，y最大值=200. 5 分 答：当销售单价定为每袋 30 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 200 元. 6 分 26. 解： （1）当 m-3 时 把点（1，-3）代入 yx2bx，得 b-4 1 分 二次函数表达式为 yx2 -4x(x-2)2 -4 所以顶点
18、坐标为（2，-4） 2 分 a-1 或 a5 4 分 （2）将点（1，m） ， （3，n）代入 yx2bx，可得 m1b ，n93b 当 mn0 时，有两种情况： 若00.mn， 把 m1b ，n93b 代入可得1+0930.bb， 此时不等式组无解. 若00.mn， 把 m1b ，n93b 代入可得1+0930.bb，解得-3b-1 FPGADCEOB 12 图 2 EQDCBOAPFAPOBCDQ所以-3b-1 6 分 27. 解： （1）如图所示： 2 分 图 1 （2）证明如下： 在 BQ 上截取 BE=AO,连接 CE. ABC 为等边三角形， CA=CB，ACB=60. POQ=1
19、20， CAO+CBO=180. CBO+CBE=180， CAO=CBE. 3 分 在CAO 和CBE 中， .C AC BC A OC B EA OB E ， CAOCBE. CO=CE，COA=CEB， COE=CEB， COP=COQ.4 分 （3）DAB=150. 5 分 （方法一）证明如下： DAB=150， DA=AB， ADB=ABD=15. ABC 为等边三角形， CAB=CBA=ACB =60， CAD=150. AD=AC， QDCBOAP图 3 13 ADC=ACD=15， DBC=DCB=75， DB=DC. 6 分 POQ=120，BDC=30， DFO=90. A
20、D=AC， DF=FC. DO=OC. 7 分 DB=DO+OB， DB=CO+OB， CD= OB + OC. （方法二）证明如下： DA=AB，ABC 为等边三角形， DA=AB=AC. 点 D、B、C 在以点 A 为圆心，以 AC 为半径的圆上. CAB=60， CDB=30， POQ=120， DFO=90. AD=AC， DF=FC. DO=OC. 6 分 DAB=150，CAB=60， CAD=150. 易证 DABDAC， DB=DC. 7 分 DB=DO+OB， DB=CO+OB， CD= OB + OC. 28.（1）P3 2 分 （2）点 P 为线段 OQ 的“潜力点” ， APOBCDQF 图 3 14 OQPOPQ 且 PO2， OQPO， 点 P 在以 O 为圆心，1 为半径的圆外. POPQ， 点 P 在线段 OQ 垂直平分线的左侧. PO2， 点 P 在以 O 为圆心，2 为半径的圆上或圆内. 又点 P 在直线 yx 上， 点 P 在如图所示的线段 AB 上（不包含点 B）. 由题意可知BOC 和 AOD 是等腰三角形 BC=22 AD=2 -2xp-22. 4 分 （3）1b2 5或1512b-1. 7 分 xyy = x112DCABQOxyy = x112DCABQO