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江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试卷(1)含答案

1、苏州市 20212022 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学 2022.01 一、单选题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1设 i 为虚数单位,若复数(1i)(1ai)是纯虚数,则实数 a 的值为 A1 B0 C1 D2 2设集合 AxN*|1log2x3,B1,2,3,4,则集合 AB 的元素个数为 A6 B7 C8 D9 3已知圆锥的高为 6,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 A2 2 B2 3 C2 6 D4 2 4在ABC 中,BAC2,点 P 在边 BC 上,则“AP12BC”是“P 为 BC 中点”

2、的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若S3S3S615,则a3a3a6 A215 B14 C516 D13 6北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分,神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射,受到国际舆论的高度关注为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感, 某校决定举行以“传航天精神、 铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动 现有 A,B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成比赛共进行三轮,每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题, 若每位成员被选中的机会均等, 则第三

3、轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是 A59 B89 C1718 D3536 7已知 ab11,则下列不等式一定成立的是 A|ba|b Ba1ab1b Cb1a1eblna Dalnbblna 8若斜率为 k(k0)的直线 l 与抛物线y24x和圆 M:(x5)2y29 分别交于 A,B 和 C,D 两点,且 ACBD,则当MCD 面积最大时 k 的值为 A1 B 2 C2 D2 2 二、多选题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分 9折纸发源于中国 19

4、世纪,折纸传入欧洲,与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具,并发展成为现代几何学的一个分支我国传统的一种手工折纸风车(如图 1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始, 沿对角线部分剪开成两个角, 将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图 2,则 (图 1) (图 2) AEHFC BAHBE0 CEGEHEF DECEHECED 10下列命题正确的是 A若 z1,z2为复数,则|z1z2|z1|z2| B若a,b为向量,则|ab|a| |b| C若 z1,z2为复数,且|z1z2|z1z2|,则 z1z20 D若a,b为向量,且|ab|ab|,则ab0

5、 11已知函数 f(x)14x312ax21,则 AaR,函数 f(x)在 R 上均有极值 BaR,使得函数 f(x)在 R 上无极值 CaR,函数 f(x)在(,0)上有且仅有一个零点 DaR,使得函数 f(x)在(,0)上有两个零点 12甲同学投掷骰子 5 次,并请乙同学将向上的点数记录下来,计算出平均数和方差由于记录遗失,乙同学只记得这五个点数的平均数为 2,方差在区间1.2,2.4内,则这五个点数 A众数可能为 1 B中位数可能为 3 C一定不会出现 6 D出现 2 的次数不超过两次 三、填空题;本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分 13 记数列an的前 n 项积为 Tn

6、, 写出一个同时满足的数列an的通项公式: an an是递增的等比数列;T3T6 14设点 P 是曲线y x32lnx上的任意一点,则 P 到直线 yx 的最小距离是 15已知 F1,F2分别为双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的左,右焦点,若点 F2关于双曲线 C 的渐近线的对称点 E 在 C 上,则双曲线 C 的离心率为 16已知直棱柱 ABCA1B1C1中,ABBC,ABBCBB12,D,E 分别为棱 A1C1,AB的中点过点 B1,D,E 作平面 将此三棱柱分为两部分,其体积分别记为 V1,V2(V1V2),则 V2 ;平面 截此三棱柱的外接球的截面面积为 四、解答题: 本大

7、题共 6 小题,共计 70 分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 在MC2MB;sinC2114;SABM 3这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)的横线上,并解答下列题目 在ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2 7,bsinBC2asinB (1)求 A; (2)若 M 为边 AC 上一点,且ABMBAC, ,求ABC 的面积 (注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分) 18(本小题满分 12 分) 若数列an满足anmand(mN*,d 是不等于 0 的常数)对任意 nN*恒成立,则称an是周期为 m,周期公

8、差为 d 的“类周期等差数列”已知在数列an中,a11,anan14n1(nN*) (1)求证:an是周期为 2 的“类周期等差数列”,并求 a2,a2022的值; (2)若数列bn满足bnan1an(nN*),求bn的前 n 项和 Tn 19(本小题满分 12 分) 2021 年 8 月国务院印发 全民健身计划 20212025 ,计划 中提出了各方面的主要任务,包括加大全民健身场地设施供给、 广泛开展全民健身赛事活动、 提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、 促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等 在各种健身的方式中,瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动某瑜伽馆在 9 月

9、份随机采访了 100名市民,对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查 愿意 不愿意 总计 男性 25 25 50 女性 40 10 50 总计 65 35 100 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关? 附:K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd),其中 nabcd P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)根据以上统计数据,是否有 99%的把握认为知晓规定与年龄有关? (2)为了推广全面健身,某市文化馆计划联合该

10、瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动,在全市范围内开设一期公益瑜伽, 先从上述参与调查的 100 人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出 13 人,再从 13 人中随机抽取 2 人免费参加市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,补贴方案为:男性每人 1000 元,女性每人 500 元求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元) 20(本小题镇分 12 分) 如图,在四面体 ABCD 中,已知ABD 是边长为 2 的等边三角形,BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形,E 为线段 AB 的中点,G 为线段 BD 的中点,F 为线段 BD 上的点 (1)若 AG/平面 CEF,求线段 CF 的长; (

11、2)若二面角 ABDC 的大小为 30 ,求 CE 与平面 ABD 所成角的大小 21(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(2, 0), B(2, 0), 直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为14 记动点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 M 为曲线 C 上的任意一点(不含短轴端点),点 D(0,1),直线 AM 与直线 BD 交于点Q,直线 DM 与 x 轴交于点 G,记直线 AQ 的斜率为 k1,直线 GQ 的斜率为 k2,求证:k12k2为定值 22(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)ln(ex1)lnx (1)判断

12、f(x)的单调性,并说明理由; (2)若数列an满足 a11,an1f(an),求证:对任意 nN*,anan112n 苏州市 20212022 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学参考答案 一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B C B C D 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分 题号 9 10

13、11 12 答案 BCD AD BC ACD 三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分 13 5) (1naa 14 2 15 5 16 7 26;69 四、解答题:本题共 6 小题, 共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解: (1)由条件 sinsin2BCbaB 得 sin 90sin2AbaBo, 所以 cossin2AbaB, 由正弦定理得 sin cossin sin2ABAB, 又 ABCV 中, sin0B, 所以 cossin2AA, 即 2sincoscos222AAA, 又 0180Ao, 所以 cos02A, 则 1sin

14、22A, 所以 60A o (2)由(1)得 60A o, 由条件 ABMBAC 可知 ABMV 为等边 三角形, 若选: 2MCMB, 不妨设 ,2MBx MCx, 在 BCMV 中申余弦定理得 222244cos120 xxxao, 解得 2x, 所以 2,4MAMBMC, ABCV 的面积为 11sinsin3 322AB AMAMB MCBMC; 若选 21sin:14C 由止弦定理得 sinsinacAC, 解得 2c , 由余弦远理 2222cosabcbcA, 解得 6b (负值舍去), 所以 ABCV 的而积为 1sin3 32bcA ; 若选, 3ABMSV, 由等边二角形

15、ABM 的面积为 3, 可得其边长为 2 , 即 2cAB, 由余弦定理得 2222cosabcbcA, 解得 6b (负值舍去), 所以 ABCV 的面积为 1sin3 32bcA 18(1)证明: 由 141,1nnaann 时, 125aa, 所以 24a , 且 1245nnaan, 两式相减得 24nnaa, 所以 na 是周期为 2 的 “类周期等差数列”, 且周期公差为 4 , 所以 20222202222 44044aa (2) 因为 +1nnnbaa, 所以 nb 的前 n 项和 11nnTaa, 由(1)得 na 是周期为 2 , 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”,

16、所以当 n 为奇数时, 1n 为偶数, 121 22 422naann , 所以 21nTn; 当n 为偶数时, 1n 为奇数, 111 12 421naann , 所以 2nTn ; 综上,*21,21,.2 ,2 ,nnnkTkn nkN 19解:(1)设 0H :“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关 222()100 (250 1000)9.8907.879,50 50 65 35n adbcKabcdacbd 则能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作:为主要健身方式” 与性别有关 答: 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方

17、式”与性别 标关 (2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人, 则有男性: 2513565 人, 女性: 4013865 人, 设补贴金额为变量 X, 则 X 的可能值为 1000,1500,2000 21128585222131313142051000,1500,2000393939CC CCP XP XP XCCC X 1000 1500 2000 P 1439 2039 539 142051000150020001385393939E X 元 答: 补贴金额的数学期望是 1385 元 20 解: (1) 由 /AG 平面 ,CEF AG 平面 ABD

18、, 平面 CEF 平面 ABDEF, 得 /AGEF, 又 E 为线段 AB 的中点, 所以 F 是 BG 中点 因为 ABDV 是边长为 2 的等边 三角形, G 为线段 BD 的中点, AGBD, BCDV 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形, 得 12FG 连结 CG, 得 CGBD 且1CG RtCFGV 中, 2252CFCGFG (2)CG ,BD AGBD, 作 AH 而 AGC, 垂足为 H, 由二面角 A BD C 的大小为 30o , 得 AGH 为二面角 A BD C 的平面角, 30AGHo, 易求 32HG , 在 AG 上取 Q 点, 使 13AQAG, 连接

19、 CQ, 以 C 为坐标原点, 分别以 CB,,CD CQ 为 , ,x y z 轴, 建立空间直角坐标系 则 2230,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,442CBDA, 3 2232 5 23,884442EADuuu r设面 ABD 的法向量为 , ,x y zn, 由0,0.BDAD uuu ruuu rnn 令 1x , 则 1,6yz, 所以一个法向量1,1, 6n, 3 223 22884cos,211 1 62CECECE uuu ruuu ruuu rnnn 则 ,4CEuuu rn 21 (1) 解: 设 ,P x y, 则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 122

20、4yyxx , 且 2x , 所化简得 221,24xyx 且, 所以曲线 C 的方程为 221,24xyx 且 (2) 设 00,M x y, 则 001:1yDMyxx, 令 0y , 则 001xxy, 所以 00,01xGy, 001:2 ,:1,22yAMyxBD yxx 所以 Q 点坐标满足 000000000244,2 ,222 41.1,222xyyxyxxyxyyyxxy 解得 所以00000002444 ,2222xyyQxyxy 所以00000200000000000044122 244244122221yyyxykxyxxyyxxyxyy 000002220000000

21、000041411,448484822yyyyyxyx yyyx yyyx 所以00000001200000022221122222222yyxxyyykkxyxxyx 22000000002200000000224224124442482yx yxyx yxxx yxyx yx 所以122kk为定值12 22解:(1) f x 的定义域为 0,, 1ln1lnln,rref xexx 2111 ,0, 11,0,0,xxxxxeeg xxgxxxh xxexh xxe令则令则 所 以 11xh xxe 在 0, 上 单 调 递 增 , 所 以 0 x 时 , 1100 xh xxeh , 所

22、以 0g x, 所以 1reg xx 在 0,上单调递增, 所以 f x 在 0, 上单调递增 (2) 设 1,0 xn xex x , 则 10rn xe , 所以 n x 在 0, 上单调递增, 所以 0 x 时 0n x , 所以 0 x 时, ln1lnlnln0 xf xexxx, 故 10nnaf a, 11a , 所以 211ln10,1af afe, 所以 21aa, 由(1)知 f x 在 0, 上单调递增, 所以 21f af a, 即 32aa, 以此类推, 则有 1nnaa, 所以 10nnaa,所以 112ln1ln .11,2nnnannnnaannneaaaaaa eea 只需证明 01x 时, 21xxxee, 设 21,0,1xxk xxeex, 则 22221022xxxxxxxkxeeeee, 所以 k x 在 0,1 上单调递减, 所以 00k xk, 故 01x 时, 21xxxee 成立, 所以 21nnaana ee, 所以 112nnaa , 故 112nnaa, 所以 211111222nnnnaaaL 综上所述, 对任意 *11,2nnnnaaN