1、常州市教育学会2021-2022学年高三上学期学业水平监测数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合 , 则 A. D. 2. 已知 是平面内两个向量, 且 是 的. 充分不必要条件. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数 的最小正周期是A. B. C. D. . 4. 已知随机变量 , 且 , 则 A. B. C. D. 5. 已知点 是圆 上两点, 动点 从 出发, 沿着圆周按 逆时针方向走到 , 其路径长度的最小值为A. B.C. D. 6. 已知 , 则系
2、数 中最小的是A. B. C. D. 7. 小李在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式贷款购买一台价值 元的家电, 在购买一个月 后的 2 月 1 日第一次还款, 且以后每月的 1 日等额还款一次, 一年内还清全部代款（ 2022 年 12 月 1 日最后一次还款）, 月利率为 . 按复利计算, 则小李每个月应还A. 元B. 元C. 元D. 元8. 已知函数 图象关于点 对称, 且当 时, , 则下 列说法正确的是A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选
3、对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 如图, 用 4 种不同的颜色, 对四边形中的四个区域进行着色, 要求有公共边的两个区域不 能用同一种颜色, 则不同的着色方法数为A. B. C. D. 10. 已知数列 中, , 使 的 可以是A.2019B.2021C. 2022D.202311. 已知函数 , 下列说法正确的有A. 函数 是周期函数B. 函数 有唯一零点C. 函数 有无数个极值点D. 函数 在 上不是单调函数12. 已知正方体 的棱长为 . , 点 是棱 上的定点, 且 . 点 是棱 上的动点, 则A. 当 时, 是直角三角形B. 四棱锥 A1-PAM 的体积最小值为 C. 存在
4、点 , 使得直线 平面 D. 任意点 , 都有直线 平面 三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13. 是虚数单位, 已知复数 满足等式 , 则 的模 _.14. 已知 为第四象限角, 且 , 则 _.15. 已知定义域都是 的两个不同的函数 满足 , 且 . 写出 一个符合条件的函数 的解析式 _.16. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点 重合, 抛物线 的准线与双曲线 的渐近线交于点 . 若三角形 是直角三角形, 则 , 双曲线 的 离心率 _.四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (10 分)某型
5、号机床的使用年数 和维护费 有下表所示的统计资料: 年23456 万元附:在线性回归方程 中, , 其中 为样本平均值.求 的线性回归方程;某厂该型号的一台机床已经使用了 8 年, 现决定当维护费达到 15 万元时, 更换机床, 请估计 到第 11 年结束, 是否需要更换机床?18. (12 分)已知数列 的前 项和 .(1) 求数列 的通项公式 ;(2) 求数列 的前 项和 .19. (12 分)已知在四边形 中, , 且 .(1) 求 ;(2) 求 .20. (12 分)如图, 四棱锥 中, 平面 , 且四边形 中, , 二 面角 的大小为 , 且 .求证: 平面 平面 ;求直线 于平面
6、所成角的正弦值;21. (12 分)已知函数 , 其中 .(1) 若曲线 在 处的切线平行于 轴, 求 的值;(2) 当 ( 为自然对数的底数) 时, 求函数 的零点个数并说明理由.22. (12 分)已知椭圆 的左焦点坐标为 , 离心率 . 点 是椭圆上位于 轴上方的一点, 点 , 直线 分别交椭圆于异于 的点 .(1) 求椭圆 的标准方程;(2) 若直线 平行于 轴, 求点 的横坐标.参考答案一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.题号12345678答案DACBCCAD二、选择题: 本题共 4 小题, 每
7、小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.题号9101112答案ACDADCDAB三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 14. 15. (答案不唯一)16. 四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解: (1) 先计算样本平均值, ,因此 ;进而 . 的线性回归方程,为 (2) 将 代入线性回归方程, 得 , 不足 15 , 因此不需要更换机床.18.解: (1) 时, , 时, .所以 （2）
8、时, ; 时, ,所以 , 对 也成立,所以 .19.解: (1) 连接 中, 由余弦定理: , 得 , 由余弦定理: , 所以 ;(2) 中, 由余弦定理 , 则 .设 , 则由题意: , 得 , 所以 ,所以 .20.证明: (1)因为 平面 平面 ,所以 ;因为 平面 ,所以 平面 . ;因为 平面 ,所以平面 平面 ;(2)过 作 , 垂足为 , 连 , 则 平面 ,由定义知二面角 的大小等于 ,故 ,所以， 从而 ， 由定义知直线 与平面 所成角的正弦值等于 21解：(1) ， 则， 由知 ， 即 ， 所以 ， (2) 令 ， 则 ， 所以 ，设 ， 则 ， 令 知 ，故函数 在 ， e) 上单调递增， 单调递减， 且 ， 当 时， 仅有 1 个零点 ； 当 时， 在 上仪有 1 个零点 ， ， 在 ， e) 上单调递增， 且图象连续不间断， 所以 在 ， e) 上有唯一零点， 所以 时， 有 2 个零点，综上， 时， 函数 的零点个数为 时， 函数 的零点个数为 2 22.(1)离心率 , 所以 ,所以椭圆的方程为 ,(2) 不妨设 , 可设直线 ,代入椭圆方程: 中可得: ,可得 点的纵坐标: ,同理可得 点的纵坐标: , 由 . ,可得 .