1、第5单元 三角函数（巩固篇）基础知识讲解一运用诱导公式化简求值【基础知识】 利用诱导公式化简求值的思路1“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数2“大化小”，利用公式一将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数，利用公式二将大于180的角的三角函数化为0到180的三角函数3“小化锐”，利用公式六将大于90的角化为0到90的角的三角函数4“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得二正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRkZ值域1，11，1R单调性递增区间：（2k，2k
2、+）（kZ）；递减区间：（2k+，2k+）（kZ）递增区间：（2k，2k）（kZ）；递减区间：（2k，2k+）（kZ）递增区间：（k，k+）（kZ）最值x2k+（kZ）时，ymax1；x2k（kZ）时，ymin1x2k（kZ）时，ymax1；x2k+（kZ） 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（k，0）（kZ）对称轴：xk+，kZ对称中心：（k+，0）（kZ）对称轴：xk，kZ对称中心：（，0）（kZ）无对称轴周期22三同角三角函数间的基本关系【基础知识】1同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos21（2）商数关系：tan2诱导公式公式一：sin（+2k
3、）sin ，cos（+2k）cos_，其中kZ公式二：sin（+）sin_，cos（+）cos_，tan（+）tan 公式三：sin（）sin_，cos（）cos_公式四：sin（）sin ，cos（）cos_公式五：sin（）cos，cos（）sin公式六：sin（+）cos，cos（+）sin3两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos （）coscos+sinsin；（2）cos（+）coscossinsin；（3）sin（+）sincos+cossin；（4）sin（）sincoscossin；（5）tan（+）（6）tan（）4二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 22sin_
4、cos_；（2）cos 2cos2sin22cos2112sin2；（3）tan 2【技巧方法】诱导公式记忆口诀： 对于角“”（kZ）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”四两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos （）coscos+sinsin；（2）cos（+）coscossinsin；（3）sin（+）sincos+cossin；（4）sin（）sincoscossin；（5）tan（+）（6）tan（）五二倍角的三角函数【
5、基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：sin22sincos；其可拓展为1+sin2（sin+cos）2二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：tan2对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可六半角的三角函数【基础知识】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：tan；tan七三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数
6、的积化和差公式：（1）sinsincos（）cos（+） coscoscos（）+cos（+）（2）sincossin（+）+sin（） cossinsin（+）sin（）（3）tantan tancot八三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式：（1）sin+sin2sincos sinsin2cossin（2）cos+cos2coscos coscos2sinsin（3）cos+sinsin（+）cos（） cossincos（+）sin（）习题演练1 选择题（共12小题）1sin 600tan 240的值等于（ ）ABCD2函数y=sin2x的图象可能是ABCD3定义运算
7、，若，则等于（ ）ABCD4下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）ABCD5函数(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）A，1B，2C2，1D2，26设，则的大小关系为（ ）ABCD7若，则（ ）ABCD8已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度8C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度9函数，的最小正周期为（ ）ABCD410关于函数，且在上单调，有下列命题：（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称（2）（3）的图象关于点对称（4）在上单调递增其中正确的命题有（ ）个A1B2C3D411函数，的图象大致是（
8、）ABCD12已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：的最小正周期为；的最大值为2；为奇函数其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D42 填空题（共6小题）13_.14将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.15已知，则_16已知，且，则的值等于_.17函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是_.的一个周期为； 的图象关于对称；是的一个零点； 在单调递减；18已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _三解析题（共6小题）19若函数的一个零点
9、和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域.20设.（1）若，求函数的零点；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.21已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.22已知函数.（）化简；（）若，求的值.23已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式（2）写出的递增区间24已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.第5单元 三角函数（巩固篇）基础知识讲解一运用诱导公式化简求值【基础知识】 利用诱导公式化简求值的思路1“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函
10、数化为任意正角的三角函数2“大化小”，利用公式一将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数，利用公式二将大于180的角的三角函数化为0到180的三角函数3“小化锐”，利用公式六将大于90的角化为0到90的角的三角函数4“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得二正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRkZ值域1，11，1R单调性递增区间：（2k，2k+）（kZ）；递减区间：（2k+，2k+）（kZ）递增区间：（2k，2k）（kZ）；递减区间：（2k，2k+）（kZ）递增区间：（k，k+）（k
11、Z）最值x2k+（kZ）时，ymax1；x2k（kZ）时，ymin1x2k（kZ）时，ymax1；x2k+（kZ） 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（k，0）（kZ）对称轴：xk+，kZ对称中心：（k+，0）（kZ）对称轴：xk，kZ对称中心：（，0）（kZ）无对称轴周期22三同角三角函数间的基本关系【基础知识】1同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos21（2）商数关系：tan2诱导公式公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos_，其中kZ公式二：sin（+）sin_，cos（+）cos_，tan（+）tan 公式三：sin（）sin_
12、，cos（）cos_公式四：sin（）sin ，cos（）cos_公式五：sin（）cos，cos（）sin公式六：sin（+）cos，cos（+）sin3两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos （）coscos+sinsin；（2）cos（+）coscossinsin；（3）sin（+）sincos+cossin；（4）sin（）sincoscossin；（5）tan（+）（6）tan（）4二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 22sin_cos_；（2）cos 2cos2sin22cos2112sin2；（3）tan 2【技巧方法】诱导公式记忆口诀： 对于角“”（kZ）的三角函数
13、记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”四两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos （）coscos+sinsin；（2）cos（+）coscossinsin；（3）sin（+）sincos+cossin；（4）sin（）sincoscossin；（5）tan（+）（6）tan（）五二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：sin22sincos；其可拓展为1+sin2（sin+c
14、os）2二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：tan2对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可六半角的三角函数【基础知识】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：tan；tan七三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinsincos（）cos（+） coscoscos（）+cos（+）（2）sincossin（+）+sin（） cos
15、sinsin（+）sin（）（3）tantan tancot八三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式：（1）sin+sin2sincos sinsin2cossin（2）cos+cos2coscos coscos2sinsin（3）cos+sinsin（+）cos（） cossincos（+）sin（）习题演练3 选择题（共12小题）1sin 600tan 240的值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60，tan 240tan(18060)tan 60，则 sin 600tan 240.故选：B.
16、2函数y=sin2x的图象可能是ABCD【答案】D【解析】令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.3定义运算，若，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】由定义运算知，即，又，又，4下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）ABCD【答案】B【解析】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.5函数(x)sin xcos xcos 2x的
17、最小正周期和振幅分别是（ ）A，1B，2C2，1D2，2【答案】A【解析】(x)sin 2xcos 2xsin，所以振幅为1，最小正周期为T，故选：A6设，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】C【解析】以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：由三角函数线的定义知，因为，故选：C7若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，因为，所以，因为，所以，则故选：C8已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度8C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】B【解析】因为要得到函数 x的图象，只需将f（x）
18、sin2x图象向右平移个单位即可，故选：B9函数，的最小正周期为（ ）ABCD4【答案】C【解析】解：，则函数的最小正周期为故选：10关于函数，且在上单调，有下列命题：（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称（2）（3）的图象关于点对称（4）在上单调递增其中正确的命题有（ ）个A1B2C3D4【答案】B【解析】，或或或或因为在上单调，所以因此或，（验证舍去）或的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；，（2）对；，（3）错；当时，所以在上单调递增，（4）对；故选：B11函数，的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：函数，则函数是奇函数，排除D，当时，则，排除B，C，故选：A12已知
19、函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：的最小正周期为；的最大值为2；为奇函数其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】由图象，得函数的最小正周期，正确，即，又，所以，结合，得，即，又，所以，即，所以函数的最大值为2，正确又，所以正确,为奇函数，所以正确故选D4 填空题（共6小题）13_.【答案】【解析】，故答案为14将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.【答案】【解析】当时故答案为：15已知，则_【答案】【解析】因为，则16已知，且，则的值等于_.【答案】【解析】由于
20、，所以，由于，.17函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是_.的一个周期为； 的图象关于对称；是的一个零点； 在单调递减；【答案】【解析】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，的一个周期为，故正确；的对称轴满足：，当时，的图象关于对称，故正确；由，得，是的一个零点，故正确；当时，在上单调递增，故错误故答案为：18已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _【答案】3【解析】作出示意图如图所示：由，则，则，故的周期，得，即，且，可得，且，得,则，得，则.故答案为：3三解析题（共6小题）19若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当
21、时，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，可得的周期，即，解得，又因为当时，取得最小值，所以，所以，解得，因为，所以，所以.（2）因为，可得，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域是.20设.（1）若，求函数的零点；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的零点是或；（2）【解析】（1）由，令，则，即或，解得或，的零点是或.（2）由可得，所以，（1）当时，易得，由恒成立可得，即，解得，（2）当时，可得，由恒成立可得，即，解得，综上可得，的取值范围是21已知函数.（
22、）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（） ；（）.【解析】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.22已知函数.（）化简；（）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2）由，知：，即又，所以23已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式（2）写出的递增区间【答案】（1）；（2），【解析】解：（1）易知，将点代入得，；（2）由，解得，的递增区间为，24已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【答案】（1）；单调递增区间为；（2）最大值为，；最小值为，.【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.解不等式，得.因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；（2），.当时，即当时，函数取得最大值，即；当时，即当时，函数取得最小值，即.