1、第1单元 集合与常用逻辑用语（基础篇）基础知识讲解一子集与真子集1.真子集是对于子集来说的 真子集定义：如果集合AB，但存在元素xB，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注：空集是所有集合的子集；所有集合都是其本身的子集； 空集是任何非空集合的真子集 2、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注
2、意集合的元素是要用大括号括起来的“”，如1，2，a，b，g； 另外，1，2的子集有：空集，1，2，1，2真子集有：空集，1，2一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n1但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集【技巧点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AB，并且BA时，有AB，但是AB，并且BA，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的二集合的包含关系判断及应用【技巧点拨】1按照子集包含元素个数从少到多排列2注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素3可以利用集合的特征性质来判断两
3、个集合之间的关系4有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法三空集的定义、性质及运算1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的这通常是初学者的一个难理解点例如：x|x2+10，xR虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合ABBBA，实际上包含3种情况：B；BA且B；BA；往往遗漏B是的情形三并集及其运算【基础知识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AB符号语言：ABx|xA或xB图形语言：运算形状：ABB
4、AAAAAAABA，ABBABBABAB，两个集合都是空集A（UA）UU（AB）（CUA）（CUB）【技巧方法】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性不能重复四交集及其运算【基础知识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB符号语言：ABx|xA，且xBAB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：ABBAAAAAABA，ABBABAABAB，两个集合没有相同元素A（UA）U（AB）（UA）（UB）【技巧方法】解答交集问题
5、，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图五补集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常把给定的集合作为全集）对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA其图形表示如图所示的Venn图【技巧方法】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法六全集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就
6、称这个集合为全集，通常记作U（通常把给定的集合作为全集）全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的例如1，2；R；Q等等七交、并、补集的混合运算【基础知识】集合交换律 ABBA，ABBA 集合结合律 （AB）CA（BC），（AB）CA（BC）集合分配律 A（BC）（AB）（AC），A（BC）（AB）（AC）集合的摩根律 Cu（AB）CuACuB，Cu（AB）CuACuB集合吸收律 A（AB）A，A（AB）A集合求补律 ACuAU，ACuA八Venn图表达集合的关系及运算【基础知识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）集合中图形语言具有直观形象的特点
7、，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系运算公式：card（AB）card（A）+card（B）card（AB）的推广形式：card（ABC）card（A）+card（B）+card（C）card（AB）card（BC）card（AC）+card（ABC），或利用Venn图解决公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间
8、的运算及关系并用图形准确表示出来九充分条件、必要条件、充要条件【基础知识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与q互为充要条件【技巧方法】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq
9、为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系十全称量词和全称命题【基础知识】命题全称命题 xM，p（x）特称命题 xM，p（x） 表述方法所有的xM，使p（x）成立存在xM，使p（x）成立对一切xM，使p（x）成立至少有一个xM，使p（x）成立对每一个xM，使p（x）成立对有些xM，使p（x）成立任给一个xM，使p（x）成立对某个xM，使p（x）成立若xM，则p
10、（x）成立有一个xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法 十一存在量词和特称命题【基础知识】命题全称命题xM，p（x）特称命题x0M，p（x0）表述方法所有的xM，使p（x）成立存在x0M，使p（x0）成立对一切xM，使p（x）成立至少有一个x0M，使p（x0）成立对每一个xM，使p（x）成立某些xM，使p（x）成立对任给一个xM，使p（x）成立存在某一个x0M，使p（x0）成立若xM，则p
11、（x）成立有一个x0M，使p（x0）成立【技巧方法】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词符号：特称命题：含有存在量词的命题符号：“”存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示习题演练1 选择题（共12小题）1设全集，集合，则（ ）ABCD2设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=（ ）A4B2C2D43设集合， ， ，则A2B2，3C-1，2，3D1，2，3，44已知集合M1,0，则满足MN1,0,1的集合N的个数是()A2B3C4D85.设，则“”是“” 的A充分而不必要条
12、件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知集合，则中元素的个数为（ ）A9B8C5D48下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B命题“，”的否定是“，”C若“且”为真命题，则，均为真命题D“”是“”的充分不必要条件9已知集合A=x|x-10，B=0，1，2，则AB=（ ）A0B1C1，2D0，1，210已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD11已知全集，集合，则（ ）ABCD12设全集为R，集合，则集合AB或CD或2 填空题（共6小题）13已知集合，则_.14
13、若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_，15已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是_ 16设集合，集合，若，则实数_.17已知命题“不等式”为真命题，则的取值范围为_.18命题 “”的否定是_.三解析题（共6小题）19设全集为R，集合或.（1）求，； （2）已知，若，求实数的取值范围.20已知，其中若，且为真，求x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围21己知（1）若是真命题，求对应的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.22设集合，不等式的解集为B当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围23设集合，（）若，求实数的值；（）若，求实数的
14、取值范围24已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.第1单元 集合与常用逻辑用语（基础篇）基础知识讲解一子集与真子集1.真子集是对于子集来说的 真子集定义：如果集合AB，但存在元素xB，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注：空集是所有集合的子集；所有集合都是其本身的子集； 空集是任何非空集合的真子集 2、真子集和子集的区别子集
15、就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“”，如1，2，a，b，g； 另外，1，2的子集有：空集，1，2，1，2真子集有：空集，1，2一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n1但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集【技巧点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AB，并且BA时，有AB，但是AB，并且BA，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的二集合的包含
16、关系判断及应用【技巧点拨】1按照子集包含元素个数从少到多排列2注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素3可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系4有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法三空集的定义、性质及运算1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的这通常是初学者的一个难理解点例如：x|x2+10，xR虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合ABBBA，实际上包含3种情况：B；BA且B；BA；往往遗漏B是的情形三并集及其运
17、算【基础知识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AB符号语言：ABx|xA或xB图形语言：运算形状：ABBAAAAAAABA，ABBABBABAB，两个集合都是空集A（UA）UU（AB）（CUA）（CUB）【技巧方法】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性不能重复四交集及其运算【基础知识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB符号语言：ABx|xA，且xBAB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有
18、交集运算形状：ABBAAAAAABA，ABBABAABAB，两个集合没有相同元素A（UA）U（AB）（UA）（UB）【技巧方法】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图五补集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常把给定的集合作为全集）对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA其图形表示如图所示的Venn图【技巧方法】常用数轴以及韦恩
19、图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法六全集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常把给定的集合作为全集）全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的例如1，2；R；Q等等七交、并、补集的混合运算【基础知识】集合交换律 ABBA，ABBA 集合结合律 （AB）CA（BC），（AB）CA（BC）集合分配律 A（BC）（AB）（AC），A（BC）（AB）（AC）集合的摩根律 Cu（AB）CuACuB，Cu（AB）CuACuB集合吸收律 A（AB）A，A（AB）A集合求补律 ACuAU，ACuA八Ven
20、n图表达集合的关系及运算【基础知识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系运算公式：card（AB）card（A）+card（B）card（AB）的推广形式：card（ABC）card（A）+card（B）+card（C）card（AB）card（BC）card（AC）+card（ABC），或利用Venn图解决公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包
21、含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来九充分条件、必要条件、充要条件【基础知识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要
22、条件，记作“pq”p与q互为充要条件【技巧方法】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系十全称量词和全称命题【基础知识】命题全称命题 xM，p（x）特称命题 xM，p（x） 表述方法所有的xM，使p（x）成立存在xM，使p（x）成立对一切xM，使p（x）成立至少有一个
23、xM，使p（x）成立对每一个xM，使p（x）成立对有些xM，使p（x）成立任给一个xM，使p（x）成立对某个xM，使p（x）成立若xM，则p（x）成立有一个xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法 十一存在量词和特称命题【基础知识】命题全称命题xM，p（x）特称命题x0M，p（x0）表述方法所有的xM，使p（x）成立存在x0M，使p（x0）成立对一切xM，使p（x）成立至少有一个x0M，使p
24、（x0）成立对每一个xM，使p（x）成立某些xM，使p（x）成立对任给一个xM，使p（x）成立存在某一个x0M，使p（x0）成立若xM，则p（x）成立有一个x0M，使p（x0）成立【技巧方法】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词符号：特称命题：含有存在量词的命题符号：“”存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示习题演练3 选择题（共12小题）1设全集，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.2设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=
25、（ ）A4B2C2D4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.3设集合， ， ，则A2B2，3C-1，2，3D1，2，3，4【答案】D【解析】因为，所以.故选D4已知集合M1,0，则满足MN1,0,1的集合N的个数是()A2B3C4D8【答案】C【解析】因为由MN=-1，0，1，得到集合MMN，且集合NMN，又M=0，-1，所以元素1N，则集合N可以为1或0，1或-1，1或0，-1，1，共4个故选C5.设，则“”是“” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，
26、据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.6设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.7已知集合，则中元素的个数为（ ）A9B8C5D4【答案】A【解析】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.8下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B命题“，”的否定是“，”C若“且”为真命题，则，均为真命题D“”是“”的充分不必要条件【答案】B
27、【解析】对于A中，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确的；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”，所以B不正确；对于C中，根据复合命题的真假判定方法，若“且”为真命题，则，均为真命题，所以C是正确的；对于D中，不等式，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确.综上可得，命题错误为选项B.故选：B.9已知集合A=x|x-10，B=0，1，2，则AB=（ ）A0B1C1，2D0，1，2【答案】C【解析】由题意得A=x|x1，B=0，1，2，AB=1，2故选：C10已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【
28、解析】集合，集合，若，则，解得，故选C.11已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，则故选：A12设全集为R，集合，则集合AB或CD或【答案】D【解析】因为，或；或故选D4 填空题（共6小题）13已知集合，则_.【答案】.【解析】由题知，.14若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_，【答案】【解析】由题意得若命题“”是假命题，则命题“，”是真命题，则需,故本题正确答案为15已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集，故解得：，又因为，所以，综上可知，故填. 16设集合，集合，若，则实数_.【答案】-3【解
29、析】因为集合， ，A=0,3，故m= -3.17已知命题“不等式”为真命题，则的取值范围为_.【答案】【解析】解：令，则对称轴为，要使不等式恒成立，即，当时解得；当时解得；当时解得；综上可得：故答案为：18命题 “”的否定是_.【答案】【解析】命题“”的否定是“”.故答案为：.三解析题（共6小题）19设全集为R，集合或.（1）求，； （2）已知，若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因为全集为R，集合或，所以，利用数轴法得，；（2）因为，所以且，即，所以实数的取值范围为.20已知，其中若，且为真，求x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）（2
30、）【解析】解：由，解得，所以；又，因为，解得，所以（1）当时，又为真，都为真，解得所以的取值范围为（2）由是的充分不必要条件，即，表示“推不出” 其逆否命题为，由于，所以，实数的取值范围为21己知（1）若是真命题，求对应的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）为真命题，即，解得 （2）根据（1）知：，是的必要不充分条件当时，故满足，即；当时，满足条件；当时，故满足，即.综上所述：22设集合，不等式的解集为B当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围【答案】（1）A=x|-1x0,B=Xx|-2x4；（2）a2.【解析】（1）当时， （2）若，
31、则有：当，即，即时，符合题意，当，即，即时，有 解得：综合得：23设集合，（）若，求实数的值；（）若，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】（），且，所以，解得；（），则或，又，所以，解得.因此，实数的取值范围是24已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，得，即.（2）不等式，当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，此时；当，即时，解集，满足题设条件；当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，此时.综上可得