1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义 2.掌握 ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期，单调区间及最值 重点： ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 难点：会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期，单调区间及最值 1函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个_，使得当 x 取定义域内的_值时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的
2、周期 (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_， 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是_. (2)余弦函数是周期函数，2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是_. 2.正、余弦函数的奇偶性 1 对于ysin x， xR恒有sin(x)sin x， 所以正弦函数ysin x是_函数， 正弦曲线关于_对称 2对于 ycos x，xR 恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数 ycos x 是_函数，余弦曲线关于_对称 3.正、余弦函数的单调性与最值 不 同 处 图象 奇偶
3、性 _函数 _函数 单调性 在2k2，2k2(kZ)上是在2k，2k(kZ)上是_；在2k，2k(kZ)上_ _；在2k2，2k32 (kZ)上是_ 不 同 处 对称轴 xk2(kZ) xk(kZ) 对称中心 (k，0)(kZ) k2，0 (kZ) 最值 x_时，ymax1； x_时，ymin1 x_时，ymax1；x x_时，ymin1 提出问题提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 问题探究问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等另外，三角函数是刻画“周而复始
4、”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 ( ) （kZ）中得到反映，即自变量 的值增加 2 整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 1.周期性周期性 一般地，对于函数 ( ) ,如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ( ) ( )那么函数 ( )就叫做周期函数（periodicfunction）非零常数 T 叫
5、做这个函数的周期（period） 周期函数的周期不止一个例如，以及，都是正弦函数的周期事实上 ，且 ，常数 都是它的周期 如果在周期函数 ( )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 ( )的最小正周期（minimalpositiveperiod） 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （kZ 且 k）都是它的周期，最小正周期是类似地，余弦函数也是周期函数， （kZ 且 k）都是它的周期，最小正周期是 典例解析典例解析 例 2求下列三角函数的周期： (1) y3sinx，xR；(2)ycos 2x，xR；（3） ( ) xR; 2.奇偶性奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ，
6、 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 ， 也可由诱导公式 ( )= ； ( )= 得到 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 做一做做一做 1(1)函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 (2)判断函数 f(x)sin34x32的奇偶性 3. 单调性单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 - ） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 观察图
7、 5.4-8， 可以看到 ：当 由- 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1 增大到 1； 当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值由 1 减小到 -1 的值的变化情况如表 5.4.2 所示 ： 就是说，正弦函数 在区间 - 上单调递增，在区间 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间 - 2 2 （ kZ ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到 1 ;在每一个闭区间 2 2 （ kZ ） 上都单调递减 ,其值从 1 减小到-1 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 - ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表 5.4.3 由此可得，
8、余弦函数 ,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到 1 ；上单调递增，在区间 上单调递减 ， 其值从 减小到 - 由余弦函数的周期性可得 ， 余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1； 在每一个闭区间 , 上都单调递减 ， 其值从 1 减小到 -1 函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx 2,222kk 32,222kk y=cosx (21) ,2kk 2,(21) ()kkkz .最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 时,取得最大值 ， 当且仅当 时,取得最小值 ； 余弦函数当且仅当 时,取得最大值
9、， 当且仅当 时,取得最小值 例 3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量 的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 （ ） ， R ； （ ） ， R 例例 4. 不通过求值，指出下列各式的大小：不通过求值，指出下列各式的大小： (1) ( ) ; ( ) (2) cos( ) ; cos( ) 例 5. 求函数 ( ), ， 的单调递增区间 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 sin(60 60 )sin 60 ，则 60 为正弦函数 ysin x 的一个周期( ) (2)若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，kN*也是函数 f(x
10、)的周期( ) (3)函数 ysin x，x(，是奇函数( ) 2.函数 f(x) 3sinx24，xR 的最小正周期为( ) A.2 B C2 D4 3.函数 f(x)sinx6的一个递减区间是( ) A.2，2 B，0 C.23，23 D.2，23 4比较下列各组数的大小： (1)cos 150 与 cos 170 ；(2)sin 5与 sin75. 1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间： （1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间 参考答案：参考答案： 一、一、 知识梳理知识梳理 1 最小的正数; 2; 2 2 奇;原点;偶;y
11、 轴 3 奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2k2(kZ)；2k2(kZ)；2k ；2k 二、二、 学习过程学习过程 例 2分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 ( ) ( )而求出相应的周期对于（），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 ( ) ，xR；对于（），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 ( ( ) )= ( ), xR； 【解】(1)xR? ，有 3sin(x)3sinx，由周期函数的定义知，y3sinx 的周期为 2. (2)令2zx=，由xR，得zR，且cosyz=的周期为 2.即 因为 cos (z2)cosz，于是 cos(2x2
12、)cos 2x，所以 cos2(x)cos 2x，xR 由周期函数的定义知，ycos 2x 的周期为 . 令 ,由 得 Z 且 的周期为即周期为 2. 即， ( ) ,于是， ( ) （ ） 所以， ( （ ） ) （ ） 由周期函数的定义知，原函数的周期为 4. 回顾例的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 做一做：做一做：【答案】 A 【解析】 (1)f(x)的定义域是 R，且 f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)， 函数为奇函数 (2)f(x)sin34x32cos 34x，f(x)cos34x cos 34x， 函数 f(x)sin34x32为偶函数
13、. 例 3. 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 （ ） 使函数 ， R 取得最大值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， R ， 取得最大值的 的集合 2k ， k Z ； 使函数 ， R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， R 取得最小值的 的集合 （ 2k +1） ， k Z 函数 ， R 的最大值是 ； 最小值是 (2)解 ： 令 z 2 ， 使函数） ， zR 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 ，zR 取得最小值的 z 的集合 z - 2k ， k Z 由 z 2 - 2k ，得 - k 所以 ， 使函数 ， R 取得最大值的 的集合是 - k k
14、Z 同理 ， 使函数 ， R 取得最小值的 的集合是 k k Z 函数 ， R 的最大值是 ， 最小值是 例例 4. 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 解 ：（ ） 因为 - ， 正弦函数正弦函数 在在 - 上是增函数上是增函数， 所以所以 ( ) ( ) (2) 解：解：cos( )=cos( )=cos ；cos( ) cos( )=cos 因为 ，且余弦函数 在 0 上单调递减， 所以 cos cos ；即 ( ) cos( ) 例 5. 分析 ： 令 = 当自变量 的值增大时 ， 的值
15、也随之增大 ， 因此若函数 在某个区间上单调递增 ， 则 ( )在相应的区间上也一定单调递增 解 ： 令 = ， - ， ， 则 * + 因为 ， * +的单调递增区间是 * +， 且由 ，得 所以 ， 函数 ( ), ， - ， 的单调递增区间是* + 三、达标检测三、达标检测 1 【解析】 (1) .举反例，sin(40 60) 40，所以 60 不是正弦函数 ysin x 的一个周期 (2).根据周期函数的定义知，该说法正确 (3) .因为定义域不关于原点对称 【答案】 (1) (2) (3) 2.【解析】 因为 3sin12x44 3sin12x42 3sin12x4，即 f(x4)f(x)， 所以函数 f(x)的最小正周期为 4. 【答案】 D 3.【解析】 令 x622k，322k ，kZ，得 x32k，432k ，kZ， k0 时，区间3，43是函数 f(x)的一个单调递减区间，而2，23 3，43.故选 D. 【答案】 D 4 【解】 (1)因为 90 150 170 cos 170 . (2)sin75sin235sin 35sin25sin 25.因为 05252， 函数 ysin x 在区间0，2上是增函数， 所以 sin 5sin 25，即 sin 5sin75.