1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质正切函数的图像与性质 1、理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。 2、能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 3、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。 4、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会三角函数线的作用。 重点：掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性； 难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 1正切函数的图象： 2正切函数的图象叫做_ 3正切函数的图象特征： 正切曲线是被相互平行的直线 x2k，kZ 所隔开的无穷多支曲线组成的 值域 _ 周期 _ 奇偶性
2、 _ 单调性 在开区间_内都是增函数 提出问题提出问题 （）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象 与性质？ （）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象 问题探究问题探究 1. 周期性 由诱导公式 ( ) ， R，且 + ， Z,可知，正切函数是周期函数， 周期是周期是 2.奇偶性 由诱导公式 ( )= ， R，且 + ， Z， 可知，正切函数是奇函数，正切函数是奇函数 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数 , 0, ) 的
3、图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展 如何画出函数 , 0, ) 的图象的图象？ 如图 5.4.9，设 0, ) ，在直角坐标系中画出角 的终边与单位圆的交点 B（ , ）过点 B 作 轴的垂线，垂足为 M；过点 A（，）作 轴的垂线与角 的终边交于点 T，则 = = = 由此可见，当 0, )时，线段 AT 的长度就是相应角 的正切值我们可以利用线段 AT 画出函数 0, )的图象，如图 5.4.10 所示观察图 5.4.10 可知， 当 0, ) 时，随狓 的增大，线段 AT 的长度也在增大，而且当 趋向于 时，AT 的长度趋向于无穷大相应地，函数 0, )的图象从左向右呈不断上升
4、趋势， 且向右上方无限逼近直线 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正切函数是奇函数，只要画 , 0, ) 的图象关于原点的对称图形，就可得到 , (- ,0的图象； 根据正切函数的周期性， 只要把函数 , (- , )的图象向左、右平移，每次平移 个单位，就可得到正切函数 R，且 + ， Z 的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图 5.4.11） 从图 5.4.11 可以看出，正切曲线是被与 轴平行的一系列直线 + ， Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的 .单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-
5、, )上单调递增 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间正切函数在每一个区间 (- +k , +k ),kZ,上都单调递增上都单调递增 .值域 当 (- , )时， 在（，）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值因此，正正切函数的值域是实数集切函数的值域是实数集 R 典例解析典例解析 例. 求函数 ( )的定义域、周期及单调区间 1函数 ytan x4x4且x0 的值域是( ) A1,1 B1,0)(0,1 C(，1 D1，) 2函数 f(x)tanx6的定义域是_，f6_. 3函数 ytan x 的单调递减区间是_ 4函数 y|tan x|的周期为_ 5(1)求函数 ytan12x4
6、的单调区间； (2)比较 tan134与 tan125的大小 让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：正切函数图像和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。 参考答案：参考答案： 一、一、 知识梳理知识梳理 R； 奇；2k，2k kZ；| 二、二、 学习过程学习过程 例.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论 解：自变量 的取值应满足; + ；即 +2 所以，函数的定义域是 | 2 设 z= ，又 ( ) ， 所以 ( ) = ( );即 ( ) = ( ) 因为 | 2 , 都有 ( ) = ( ) 所以，函数的周期为 由 ;解得； 因此，函
7、数在区间( , ), , 上单调递增 三、达标检测三、达标检测 1【解析】 根据函数的单调性可得 【答案】 B 2 【解析】 由题意知 x6k2(kZ)，即 x3k(kZ) 故定义域为x xk3，kZ，且 f6tan66 3. 【答案】 x xk3，kZ 3 3 【解析】 因为 ytan x 与 ytan x 的单调性相反， 所以 ytan x 的单调递减区间为2k，2k (kZ) 【答案】 2k，2k (kZ) 4 【解析】 作出 y|tan x|的图象，如图所示 由图可知，函数 y|tan x|的最小正周期是 . 【答案】 5 【解】 (1)由 k212x4k2(kZ)得，2k2x2k32(kZ)， 所以函数 ytan12x4的单调递增区间是2k2，2k32(kZ) (2)由于 tan134tan434tan 34tan 4， tan125tan225tan 25，又 04252， 而 ytan x 在0，2上单调递增，所以 tan 4tan 25， 即 tan134tan125.