1、5.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式； 2.逻辑推理： “sin cos ”同“sin cos ”间的关系； 3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 重点：重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 难点：难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 一、 预习导入 阅读课本 182-183 页，填写。 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2 cos2
2、 _. 商数关系：sin cos _k2，kZ . (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的 _等于 1，_等于角 的正切 思考：“同角”一词的含义是什么？ 提示 一是“角相同”，如 sin2cos21 就不一定成立二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如 sin215 cos215 1，sin219cos2191 等 1判断（正确的打“”，错误的打“”.） (1)对任意角 ，sin23cos231 都成立( ) (2)对任意角 ，sin 2cos 2tan 2都成立( ) (3)若 sin 12，则 cos 32.( ) 2化简1sin25的结果
3、是( ) Acos5 Bcos5 Csin5 Dsin5 3若 sin 45，且 是第二象限角，则 tan 的值等于( ) A43 B34 C34 D43 4已知 tan 2，则cos 5sin 3cos sin _. 题型一题型一 应用同角三角函数关系求值应用同角三角函数关系求值 例例 1 (1)若3sin5 ，求 cos ，tan 的值； (2)已知 cos 817，求 sin ，tan 的值 跟踪训练一跟踪训练一 1已知 sin 3cos 0，求 sin ，cos 的值 题型二题型二 三角函数式的化简、求值三角函数式的化简、求值 例例 2 (1)化简：12sin 130 cos 130s
4、in 130 1sin2130； (2)若角 是第二象限角，化简：tan 1sin21. 跟踪训练二跟踪训练二 1化简：(1)cos 36 1cos23612sin 36 cos 36； (2)sin cos tan 1. 题型三题型三 三角函数式的证明三角函数式的证明 例例 3 求证：cos1sin.1sincosxxxx. 跟踪训练三跟踪训练三 1求证：12sin xcos xcos2xsin2x1tan x1tan x. 题型四题型四 “sin cos ”同同“sin cos ”间的关系间的关系 例例 4 已知 sin cos 15，且 0. 求：(1)sin cos 的值； (2)求
5、sin cos 的值 跟踪训练四跟踪训练四 1.已知 sin cos 713，(0，)，则 tan 2.已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值： (1)3sin cos 2sin 3cos ； (2)sin22sin cos 1. 1下列各式中成立的是( ) Asin2cos21 Btan sin cos ( 任意) Ccos221sin22 Dsin 1cos2 2已知 2，52，cos 45，则 tan ( ) A34 B34 C34 D43 3已知 tan 12，则2sin cos sin2cos2的值是 4已知 sin cos 12，则 sin cos _. 5已知
6、tan 43，且 是第三象限的角，求 sin ，cos 的值 6(1)化简 sin2sin4，其中 是第二象限角； (2)求证：1tan21cos2. 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1 （1）（2） （3） . 2A 3A 4.95. 自主探究自主探究 例例 1 【答案】(1)当 是第三象限角时，cos 45，tan 34. 是第四象限角时，cos 45，tan -34 (2)如果 是第二象限角，那么 sin 1517，tan 158. 如果 是第三象限角， sin 1517，tan 158. 【解析】(1)sin 35， 是第三、第四象限角， 当 是第三象限角时， cos 1sin245，ta
7、n sin cos 34. 是第四象限角时， cos 1sin245，tan sin cos -34 (2) cos 8170， 是第二或第三象限的角 如果 是第二象限角，那么 sin 1cos2181721517， tan sin cos 1517817158. 如果 是第三象限角，同理可得 sin 1cos21517，tan 158. 跟踪训练一跟踪训练一 1【答案】角 的终边在第二象限时，cos 1010，sin 31010； 当角 的终边在第四象限时，cos 1010，sin 31010. 【解析】 sin 3cos 0，sin 3cos . 又 sin2cos21，(3cos )2c
8、os21，即 10cos21， cos 1010. 又由 sin 3cos ，可知 sin 与 cos 异号， 角 的终边在第二或第四象限 当角 的终边在第二象限时，cos 1010，sin 31010； 当角 的终边在第四象限时，cos 1010，sin 31010. 例例 2 【答案】（1）1； （2）-1. 【解析】 (1)原式sin2130 2sin 130 cos 130 cos2130sin 130 cos2130 |sin 130 cos 130 |sin 130 |cos 130 |sin 130 cos 130sin 130 cos 1301. (2)原式tan 1sin2s
9、in2tan cos2sin2sin cos |cos |sin |，因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以原式sin cos |cos |sin |sin cos cos sin 1. 跟踪训练二跟踪训练二 1【答案】(1)1；(2) cos . 【解析】 (1)原式cos 36 sin236sin236 cos236 2sin 36 cos 36cos 36 sin 36cos 36 sin 362cos 36 sin 36|cos 36 sin 36 |cos 36 sin 36cos 36 sin 361. (2)原式sin cos sin cos 1cos sin c
10、os sin cos cos . 例例 3 【答案】见解析 【解析】 22cos0,sin1,1 sin0cos (1 sin )=(1 sin )(1 sin )cos (1 sin )1 sincos (1 sin )cos1 sincosxxxxxxxxxxxxxxx 证明：由知所以，于是左边右边所以，原式成立. 跟踪训练三跟踪训练三 1【答案】见解析 【解析】证明： 右边1sin xcos x1sin xcos xcos xsin xcos xsin x cos xsin x2cos xsin xcos xsin x12sin xcos xcos2xsin2x左边， 原等式成立 例例
11、4 【答案】(1)1225； (2)75. 【解析】证明：(1)sin cos 15，(sin cos )2125， 12sin cos 125，即 sin cos 1225. (2)(sin cos )212sin cos 124254925. 又0，且 sin cos 0， sin 0，cos 0，sin cos 0， sin cos 75. 跟踪训练四跟踪训练四 1、【答案】125. 【解析】法一：(构建方程组) 因为 sin cos 713， 所以 sin2cos22sin cos 49169， 即 2sin cos 120169. 因为 (0，)，所以 sin 0，cos 0. 所以
12、 sin cos （sin cos ）2 12sin cos 1713. 由解得 sin 1213，cos 513， 所以 tan sin cos 125. 法二：(弦化切) 同法一求出 sin cos 60169，sin cos sin2cos260169，tan tan2160169， 整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 512或 tan 125. 由 sin cos 7130 知|sin |cos |，故 tan 125. 2.【答案】（1）89；(2)1310. 【解析】由sin cos sin cos 2， 化简得 sin 3cos ， 所以 tan 3. （1）
13、法一(换元)原式3 3cos cos 2 3cos 3cos 8cos 9cos 89. 法二(弦化切)原式3tan 12tan 33 312 3389. (2)原式sin22sin cos sin2cos21 tan22tan tan211322 332111310. 当堂检测当堂检测 1-2 CA 343 438 5【答案】sin 43，cos 45. 【解析】 由 tan sin cos 43得 sin 43cos . 又sin2cos21， 由得169cos2cos21. cos2925. 又 是第三象限的角， cos 35. sin 43，cos 45. 6【答案】见解析 【解析】 (1)因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0， 所以 sin cos 0， 所以 sin2sin4 sin2（1sin2） sin2cos2sin cos . (2)证明：1tan21sin2cos2cos2sin2cos21cos2.