1、5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角，是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点),(Pyx。 那么（1） 的正弦函数。叫做记作 ，;siny即 （2） 的余弦函数。叫做记作 ，;cosx即 （3） 的正切。叫做记作 ;tanxy即 )0(tanxxy是 以角为自变量，以单位圆上点
2、的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 siny cosy tany 三、诱导公式 )2sin(k ；)2(cosk ； )2(tank 。Zk 一、探索新知 探究一.角的始边在 x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点 P。当6时，点 P 的坐标是什么？当322或 时， 点 P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角，它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角，是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点),(Pyx。 那么（1） 的正弦函数。叫做
3、记作 ，;siny即 （2） 的余弦函数。叫做记作 ，;cosx即 （3） 的正切。叫做记作 ;tanxy即 )0(tanxxy是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 Rxxy,sin 余弦函数 Rxxy,c o s 正切函数 )(2,ta nZkkxxy 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2, 0(x ，把按锐角三角函数定
4、义求得的锐角x的正弦记为1z，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为1y。1z与1y相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 例 1. 求35的正弦、余弦和正切值. 变式：把角35改为67呢？ 例 2.设是一个任意角，它的终边上任意一点 P（不与原点 O 重合）的坐标为（x,y） ，点 P 与原点的距离为 r。求证：.tan,cos,sinxyrxry 探究四.1. 三角函数 定义域 siny R cosy R tany )(2Zkk 2.确定三角函数值在各象限的符号。 例 3.求证：角为第三象限角的充要条件是0tan0sin. 思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关
5、系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） )2sin(k ；)2(cosk ； )2(tank 。Zk 作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求)3600(20或角的三角函数值 . 例 4 确定下列三角函数值的符号： .3tan)4();672tan()3();4sin()2( ;250cos1）（ 例 5 求下列三角函数值： ).611tan()3( ;49cos2);001. 0(011480sin1）（精确到）（ 1sin(315 )的值是( ) A22 B12 C.22 D.12 2.已知角 终边过点 P(1，1)，则 tan 的值为( ) A1 B1 C.22
6、 D22 3在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin 15，则 sin _. 4求值：(1)sin 180 cos 90 tan 0 . (2)cos253tan154. 这节课你的收获是什么？ 参考答案参考答案 探究一、当6时，点 P 的坐标为），（2123。当2时，点 P 的坐标为），（ 10。 当32时，点 P 的坐标为）（23,21。 探究二、点 P 的横、纵坐标都能唯一确定。 探究三、都相等 例 1.解析见教材 变式：,2167sin2367cos 3367ta n 例 2.解析见教材 探究四 1.根据三角函数的定义，确定三角
7、函数的定义域。 三角函数 定义域 siny R cosy R tany )(2Zkk 2.确定三角函数值在各象限的符号。 例 3.例 4 例 5,解析见教材 达标检测 1.【答案】【答案】C 【解析】sin(315 )sin(360 45 )sin 45 22 2.【答案】【答案】B 【解析】由三角函数定义知 tan 111. 3.【答案】15 【解析】设角 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)， 则角 的终边与单位圆相交于点 Q(x，y)， 由题意知 ysin 15，所以 sin y15. 4.【解析】 (1)sin 180 cos 90 tan 0 0000. (2)cos253tan154 cos83tan44 cos3tan412132.