1、【新教材】【新教材】4.4.2 4.4.2 对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质（人教（人教 A A 版）版） 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象：对数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点：重点：对数函数的图象和性质； 难点：难
2、点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质 一、一、 预习导入预习导入 阅读课本 132-133 页，填写。 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 a1 图 象 a 的范围 0a1 a1 性质 定义域 _ 值域 R 定点 _，即 x_时，y_ 单调性 在(0，)上是_ 在(0，)上是_ 点睛点睛 底数a与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降” ：当a1 时，对数函数的图象“上升” ；当 0a1 时，对数函数的图象“下降” 2反函数 指数函数_和对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数 1.若函数 y=logax 的图象如图所示,则 a 的值可能是 ( ) A.
3、0.5 B.2 C.e D. 2.下列函数中,在区间(0,+)内不是增函数的是( ) A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y= 3.函数的 f(x)=loga(x-2)-2x 的图象必经过定点 . 4.(1)函数 f(x)= 的反函数是 . (2)函数 g(x)=log8x 的反函数是 . 题型一题型一 对数函数的图象对数函数的图象 例例 1 1 函数 y=log2x,y=log5x,y=lg x 的图象如图所示. (1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象; (
4、3)从(2)的图中你发现了什么? 跟踪训练一跟踪训练一 1、作出函数 y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 题型二题型二 比较对数值的大小比较对数值的大小 例例 2 2 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a0，且 a1) 跟踪训练二跟踪训练二 1比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log0.56，log0.54； (3)log132 与 log152; (4)log23 与 log54. log12x 2
5、3 题型三题型三 比较对数值的大小比较对数值的大小 例例 3 3 (1)已知 loga121，求 a 的取值范围； (2)已知 log0.7(2x)log0.7(x1)，求 x 的取值范围 跟踪训练三跟踪训练三 1已知 loga(3a1)恒为正，求 a 的取值范围 题型四题型四 有关对数型函数的值域与最值问题有关对数型函数的值域与最值问题 例例 4 4 求下列函数的值域 (1)ylog2(x24)；(2)ylog12 (32xx2) 跟踪训练四跟踪训练四 1已知 f(x)2log3x，x1,9，求函数 yf(x)2f(x2)的最大值及此时 x 的值 1若 lg(2x4)1，则 x 的取值范围是
6、( ) A(，7 B(2,7 C7，) D(2，) 2已知 log12mlog12n0，则( ) Anm1 Bmn1 C1mn D1nm 3函数 f(x)|log12x|的单调递增区间是( ) A.0，12 B(0,1 C(0，) D1，) 4已知实数 alog45，b120，clog30.4，则 a，b，c 的大小关系为( ) Abca Bbac Ccab Dcba 5函数 f(x)lg1x21x是( ) A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 6比较大小： (1)log22_log23； (2)log3_log3. 7不等式 log13 (5x)log13 (1x)的解集为_
7、8求函数 ylog12 (1x2)的单调增区间，并求函数的最小值 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1-2.AD 3.(3,-6) 4.(1)f(x)=log23x (2)g(x)=8x 自主探究自主探究 例例 1 1 【答案】见解析 【解析】(1)对应函数 y=lg x,对应函数 y=log5x,对应函数 y=log2x.这是因为当底数全大于 1时,在 x=1 的右侧,底数越大的函数图象越靠近 x 轴. (2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象如图所示. (3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=log110 x,y=log5
8、x与y=log15x,y=log2x与y=log12x的图象分别关于x轴对称. 跟踪训练一跟踪训练一 1、【答案】其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+). 【解析】先画出函数 y=lg x 的图象(如图). 再将该函数图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y=lg(x-1)的图象(如图). 图 图 图 最后把 y=lg(x-1)的图象在 x 轴下方的部分对称翻折到 x 轴上方(原来在 x 轴上方的部分不变),即得出函数 y=|lg(x-1)|的图象(如图). 由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2
9、,+). 例例 2 2 【答案】(1) log23.4log28.5 (2) log0.31.8log0.32.7 （3）当 a1 时，loga5.1loga5.9；当0a1 时，loga5.1loga5.9. 【解析】 (1)考察对数函数 ylog2x， 因为它的底数 21， 所以它在(0， )上是增函数， 于是 log23.4log28.5. (2)考察对数函数 ylog0.3x，因为它的底数 00.31，所以它在(0，)上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7. (3)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数，于是 loga5.1loga5.9； 当 0a1 时，yl
10、ogax 在(0，)上是减函数，于是 loga5.1loga5.9. 跟踪训练二跟踪训练二 1.【答案】（1）lg 6lg 8（2）log0.56log 0.54（3）log132log152（4）log23log54. 【解析】(1)因为函数 ylg x 在(0，)上是增函数，且 68，所以 lg 6lg 8. (2)因为函数 ylog0.5x 在(0，)上是减函数，且 64，所以 log0.56log 0.54. (3)由于 log1321log213，log1521log215. 又对数函数 ylog2x 在(0，)上是增函数，且1315， 0log2 13log2 15，1log213
11、1log215. log132log152. (4)取中间值 1， log23log221log55log54，log23log54. 例例 3 3【答案】(1)12，1 ； (2) (1，). 【解析】(1)由 loga121 得 loga12logaa. 当 a1 时，有 a12，此时无解 当 0a1 时，有12a，从而12a1. a 的取值范围是12，1 . (2)函数 ylog 0.7x 在(0，)上为减函数， 由 log0.72xlog0.7(x1) 得 2x0，x10，2xx1，解得 x1. x 的取值范围是(1，) 跟踪训练三跟踪训练三 1【答案】13，23(1，) 【解析】由题
12、意知 loga(3a1)0loga1. 当 a1 时，ylogax 是增函数， 3a11，3a10，解得 a23，a1； 当 0a1 时，ylogax 是减函数， 3a11，3a10，解得13a23.13a23. 综上所述，a 的取值范围是13，23(1，). 例例 4 4 【答案】(1) 2，)； (2)2，) 【解析】(1)ylog2(x24)的定义域是 R. 因为 x244，所以 log2(x24)log242， 所以 ylog2(x24)的值域为2，) (2)设 u32xx2(x1)244. 因为 u0，所以 0u4. 又 ylog12u 在(0，)上为减函数， 所以 log12ulo
13、g1242， 所以 ylog12 (32xx2)的值域为2，) 跟踪训练四跟踪训练四 1【答案】当 x3 时，y 取得最大值，为 13. 【解析】yf(x)2f(x2)(2log3x)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23. f(x)的定义域为1,9， yf(x)2f(x2)中，x 必须满足 1x9，1x29， 1x3，0log3x1，6y13. 当 x3 时，y 取得最大值，为 13. 当堂检测当堂检测 1-5BDDDA 6(1) (2) 7x|2x1 8 【答案】函数 ylog12 (1x2)的单调增区间为0,1)，且函数的最小值 ymin0. 【解析】要使 ylog12 (1x2)有意义，则 1x20， x21，则1x1，因此函数的定义域为(1,1) 令 t1x2，x(1,1) 当 x(1,0时，x增大，t增大，ylog12t 减小， x(1,0时，ylog12 (1x2)是减函数； 同理当 x0,1)时，ylog12 (1x2)是增函数 故函数 ylog12 (1x2)的单调增区间为0,1)，且函数的最小值 yminlog12 (102)0.