1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.3 不同增长函数的差异不同增长函数的差异 1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 重点：函数增长快慢比较的常用方法； 难点：了解影响函数增长快慢的因素； 三种函数模型的性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随 x 增大逐渐近似与 y 轴平行 随 x 增大逐渐近似与x轴平行 随 n 值而不同 增长速度 yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于 yxn(n0)的增长
2、速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢 存在一个 x0，当 xx0时，有 axxnlogx 增函数;增函数;增函数;y 轴;x 轴;越来越快;越来越慢;axxnlogax 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异 提出问题提出问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽
3、象的研究方法. 下面就来研究一次函数 f(x)=kx+b，k0 ，指数函数 g(x)=ax(a1) ，对数函数在定义域内增长方式的差异. 问题探究问题探究 以函数 y=2x与 y=2x 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-,0)上，指数函数 y=2x值恒大于 0，一次函数 y=2x 值恒小于 0，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 (3) 观察
4、两个函数图象及其增长方式： 结论 1：函数 y=2x与 y=2x 有两个交点(1,2)和(2,4) 结论 2：在区间(0,1)上，函数 y=2x的图象位于 y=2x 之上 结论 3：在区间(1,2)上，函数 y=2x的图象位于 y=2x 之下 结论 4：在区间(2,3)上，函数 y=2x的图象位于 y=2x 之上 综上：虽然函数 y=2x与 y=2x 都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数 y=2x 的增长速度不变，但是 y=2x的增长速度改变，先慢后快. xyO 请大家想象一下，取更大的 x 值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ 思考：随着自变量取值越来越大，函数 y=2x的图象几乎与
5、x 轴垂直，函数值快速增长，函数 y=2x的增长速度保持不变，和 y=2x的增长相比几乎微不足道. 归纳总结归纳总结 总结一：函数 y=2x 与 y=2x在0,+)上增长快慢的不同如下： 虽然函数 y=2x 与 y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着 x 的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=2x 的增长速度. 尽管在 x 的一定范围内，2xx0时，恒有 2x2x. 总结二：一般地指数函数 y=ax(a1)与一次函数 y=kx(k0)的增长都与上述类似. 即使 k 值远远大于 a 值， 指数函数 y=ax(a1)虽然有一段区间会小于 y=kx(k0)
6、， 但总会存在一个 x0，当 xx0时， y=ax(a1)的增长速度会大大超过 y=kx(k0)的增长速度. 跟踪训练跟踪训练 xy(2,4)(1,2)1212345678Oxy1212345678O1四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05 106 3.36 107 1.07 109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指
7、数函数变化的变量是_. 答案：y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化， 且都是越来越大， 但是增长速度不同， 其中变量 y2的增长速度最快， 画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化故填 y2. 分析：(1)(1) 在区间( (-,0),0)上，对数函数 y y=lg=lgx x 没意义，一次函数值恒小于 0 0， 所以研究在区间(0,+)(0,+)上它们的增长差异. (2)(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： x y=lgx 0 不存在不存在 0 10 1 1 20 1.30
8、1 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 以函数y y=lg=lgx x与 110yx为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. (3)(3) 观察两个函数图象及其增长方式： xy102030405060123456O110yxy=lgx 总结一： 虽然函数y y=lg=lgx x与 在(0,+)(0,+)上都是单调递增， 但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+)(0,+)上增长速度不变，y y=lg=lgx x在(0,+)(0,+)上的增长速度在变化. 随着x x的增大， 的图象离x x轴越来越远，而函数y y= =lglgx x的图
9、象越来越平缓，就像与x x轴平行一样. 例如：lg10=1lg10=1，lg100=2lg100=2，lg1000=3lg1000=3，lg10000=4lg10000=4； 111110110010100010010000100010101010， 这表明，当 x10，即 y1，y=lgx 比 相比增长得就很慢了. 思考：将y y=lg=lgx x放大 10001000 倍，将函数y y=1000lg=1000lgx x与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有. 110yx110yxxy102030405060123456O110yxy=lgx xy102030405060123456O1
10、10yxy=110yx 总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数y y= =kxkx( (k k0)0)在(0,(0,上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x x的增大，一次函数y y= =kxkx( (k k0)0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.不论a a值比k k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kxkx，但由于 的增长会慢于kxkx的增长，因此总存在一个x x0 0，当x x x x0 0时，恒有 跟踪训练跟踪训练 1函数f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差
11、异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的 大小进行比较). 解 (1)C1对应的函数为 g(x)0.3x1，C2对应的函数为 f(x)lg x. (2)当 xf(x)；当 x1xg(x)； 当 xx2时，g(x)f(x)；当 xx1或 xx2时，f(x)g(x) 1下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( ) Ayex Byln x Cyx2 Dyex xy2110 4220 6330 8440 10550 12660 1477016880 18990 21100 23210 2532027430 29540 31650 33760 3587037980 40090 42200 4431046420 48530 50640 527502110422063308440105501266014770Olog1ayx a【答案】【答案】A 结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确 2能使不等式 log2xx24 时，log2xx20，指数 函数 g(x)=ax(a1) ，对数函数 在定义域上的不同增长方式. 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数 log1ayx a