1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 第三章 函数概念与性质 函数函数 函数的概念函数的概念 基本性质基本性质 幂函数幂函数 单调性（最值）单调性（最值） 奇偶性奇偶性 概念概念 表示法表示法 知识结构 一、基础知识整合 1函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个_，记作yf(x)，xA，其中，x叫做_，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函数的_ 唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域 2函数
2、的表示方法 (1)解析法：就是用_ _表示两个变量之间的对应关系的方法 (2)图象法：就是用_ _表示两个变量之间的对应关系的方法 (3)列表法：就是_ _来表示两个变量之间的对应关系的方法 3构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：_，_，_.(2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则称这两个函数相等 数学表达式 图象 列出表格 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 （3 3）. .求函数的定义域应注意：求函数的定义域应注意： f(x)f(x)是分式，则分母不为是分式，则分母不为0 0； f(x)f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是R R； 偶次方根的被开方数非
3、负；偶次方根的被开方数非负； 0 x 若若f(x)= ,f(x)= ,则定义域则定义域 0|xRx表格形式给出时表格形式给出时, ,定义域就是表格中数的集合定义域就是表格中数的集合. . 4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数 5. 函数的单调性 (1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的 自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 如果对于定义域I内某个区间D上的 自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就
4、说函数f(x)在区间D上是 (2)单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做yf(x)的 任意两个 增函数 任意两个 减函数 单调性 单调区间 （1）.偶函数的定义：偶函数的定义： 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. （2）.奇函数的定义：奇函数的定义： 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x都有都有f(-x)=-f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函
5、数. （3）.几个结论几个结论: 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 函数函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是件是-定义域关于原点对称定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数否则它是非奇非偶函数. 判断一个函数是否为奇判断一个函数是否为奇(偶偶)函数还可用函数还可用f(-x)f(x)=0 或或 . 1)()( xfxf6.奇偶函数定义奇偶函数定义 7.常见幂函数的性质常见幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x- -1 图象图象 定义域定义域 值域值域 奇偶性奇偶性 单
6、调性单调性 公共点公共点 函数函数 性质性质 12yx R R R R R 0,+) 0,+) 0,+) 0| xxRx且且 0| yyR y且且奇奇 奇奇 奇奇 偶偶 非奇非偶非奇非偶 0,+)增增 (- -,0减减 (0,+)减减 (- -,0)减减 增增 增增 增增 (1,1) 例 1.函数 f(x)3x21x(3x1)0的定义域是()A.，13B.13，1C.13，13D.，13 13，1D 由1x0，3x10，得 x0 时， f(x) x1，则 f(x)的解析式为_ (2)已知 f1xx1x2x21x，则 f(x)的解析式为_ (1)设 x0，f(x) x1.f(x)是奇函数，f(x
7、)f(x)，即f(x) x1，f(x) x1.f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)1 x，x0，0，x0， x1，x+xxxx 类型三 函数的性质及应用 【例 4】已知函数 f(x)axb1x2是定义在(1，1)上的奇函数，且 f12 25.(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明 f(x)在(1，1)上是增函数解 (1)由题意，得f（0）0，f1225，a1，b0，故 f(x)x1x2. (2)任取1x1x21， 则 f(x1)f(x2)x11x21x21x22（x1x2）（1x1x2）（1x21）（1x22）. 1x1x21，x1x20，1x220. 又1x1x20， f(x1
8、)f(x2)0时，f(x)0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值 解析 (1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)， f(x)f(x)f(0) 又f(00)f(0)f(0)， f(0)0，f(x)f(x)0， f(x)f(x)， f(x)是奇函数 (2)任取x1，x2R，且x1x2， 则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1) f(x1)f(x1)f(x2x1) f(x2x1) x10， 又当x0时，f(x)0， f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)， 从而f(x)在R上是减函数 (3)f(x)在R上是减函数 f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3) f(3)f(1
9、)f(2)3f(1)3(2)6， f(3)f(3)6. 从而f(x)在区间3,3上的最大值是6，最小值是6. 1已知幂函数 yf(x)的图象经过点4，12 ，则 f(2)()A.14B4C.22D. 2达标检测 【解析】 设幂函数为 yx，幂函数的图象经过点4，12，124，12， yx12，f(2)21222， 故选 C. 【答案】 C 2已知二次函数 yf(x)的最大值为 13，且 f(3)f(1)5，则 f(x)_.【解析】 因为 f(3)f(1)5，所以函数 yf(x)的对称轴为 x1，又 yf(x)的最大值为 13，所以可设 f(x)a(x1)213，且 a1，则 f(f(2)_，f
10、(x)的最小值是_【解析】f(f(2)f(4)464612.当 x1 时，f(x)min0；66266266)(1xxxxxfx时，当时，等号成立。即当且仅当616xxxx所以， .662)(的最小值为函数xf【答案】 12 2 66 5已知函数 f(x)ax21x，其中 a 为实数(1)根据 a 的不同取值，判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若 a(1,3)，判断函数 f(x)在1,2上的单调性，并说明理由【解】 (1)当 a0 时，f(x)1x，显然是奇函数； 当 a0，f(1)a1，f(1)a1，f(1)f(1)且 f(1)f(1)0， 所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)设x1x21,2， 则 f(x1)f(x2)a(x1x2)(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)ax1x21x1x2， 因为 x1x21,2，所以 x1x20,2x1x24,1x1x24， 所以 2a(x1x2)12，141x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 故函数 f(x)在1,2上单调递增