1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 3.2.3.2.2 2 奇偶性奇偶性 课程目标课程目标 1、理解函数的奇偶性及其几何意义； 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3、学会判断函数的奇偶性 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性； 2.逻辑推理：证明函数奇偶性； 3.数学运算：运用函数奇偶性求参数； 4.数据分析：利用图像求奇偶函数； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本82-84页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下
2、问题 1.偶函数偶函数、奇函数奇函数的概念是什么的概念是什么？ 2.奇偶函数各自的特点是？奇偶函数各自的特点是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1奇函数、偶函数奇函数、偶函数 （1）偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 （2）奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 2奇偶函数的特点奇偶函数的特点 （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标
3、原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数 （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质 （4）偶函数： , 奇函数： ； （5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 （6）已知函数f(x
4、)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 ()( )( )()0fxf xf xfx()( )( )()0fxf xf xfx 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1) 定义在定义在 R 上的函数上的函数 f(x),若若 f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则则 f(x)一定一定 是偶函数是偶函数. ( ) (2)若若 f(x)是奇函数是奇函数,则则 f(0)=0. ( ) (3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数不存在既是奇函数又是偶函数的函数. ( ) 2函数 yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则 a 等于()A1B0C1
5、D无法确定答案：答案：C 3下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23Cy1xDyx2，x0,1答案：答案：B 4已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，若 f(2)4，则 f(2)_.答案：答案：4 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一判断函数奇偶性判断函数奇偶性 例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 4( )f xx5( )f xx1( )f xxx21( )fxx解： 解题方法解题方法（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：） 1.定义法定义法 （1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原
6、点对称； （2）. 确定f(x)与f(x)的关系； （3）.作出相应结论： 若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 2.图像法图像法 跟踪训练一1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)x211x2；(3)f(x)xx1；(4)f(x)x1，x0，x1，x0.解(1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数 f(x)的定义域为1,1， 关于原点对称， 且 f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)
7、f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数 f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称，关于原点对称 当当 x0 时，时，x0， f(x)1(x)1xf(x)； 当当 x0 时，时，x0， f(x)1(x)1xf(x) 综上可知， 对于综上可知， 对于 x(， 0)(0， ， )， 都有， 都有 f(x)f(x)，f(x)为偶函数为偶函数 题型二题型二 利用函数的奇偶性求解析式利用函数的奇偶性求解析式 例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1, (1)求f(-1); (
8、2)求f(x)的解析式. 解:(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2. (2)当x0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 所以f(x)的解析式为 f(x)=-2 2+3 +1, 0,0, =0,2 2+3 -1, 0.解题方法解题方法（求函数解析式的注意事项） 1.已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f
9、(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-(-x); 若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 跟踪训练二1.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0时，f(x)x22x3，求 f(x)的解析式解当 x0 时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于 f(x)是奇函数，故 f(x)f(x)，所以 f(x)x22x3.即当 x0 时，f(x)x22x3.故 f(x)x22x3，x0，0，x0，x22x3，x0. 题型三题型三 利用利用函数的奇偶
10、性求参函数的奇偶性求参 例3 (1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数， 定义域为a1,2a，则a_，b_； (2)已知函数f(x)ax22x是奇函数， 则实数a_. 1 解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以 a12a，解得 a13.又函数 f(x)13x2bxb1 为二次函数， 结合偶函数图象的特点，易得 b0.(2)由奇函数定义有 f(x)f(x)0，得 a(x)22(x)ax22x2ax20，故 a0.答案(1)130(2)0解题方法解题方法（利用奇偶性求参数） 1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为a,b,则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参； 2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参. 跟踪训练三跟踪训练三 1. 设函数x1xax为奇函数，则 a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即x1xaxx1xax.显然 x0，整理得 x2(a1)xax2(a1)xa，故 a10，得 a1.答案：1