1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 3.1.1 函数的概念函数的概念 第三章 函数概念与性质 1.初中学习的函数的定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量. 2.回顾初中学过哪些函数？ （1）一次函数 （2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数 yaxb,(a0)ykx,(k0)ky,(k0)x2yaxbxc,(a0)问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示
2、为 S=350t。 思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km，这个说法正确吗？ 不正确。 对应关系应为S=350t，其中， 11 |00.5, |0175tAttsBss 问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？ 是函数，对应关系为w=350d,其中， 221,2,3,4,5,6,350,700,1050,1400,1750,2100.dAwB思考：在问题1和问
3、题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个 函数吗？为什么？ 不是。自变量的取值范围不一样。 问题3 如图，是北京市2016年 11月23日的空气质量指数变化 图。如何根据该图确定这一天 内任一时刻th的空气质量指数 的值I？你认为这里的I是t的函数 吗？ 是，t的变化范围是 ，I的范围是 24t0|tA31500|IB3I问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生 活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇 居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来 越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ ）总支出金额食物支出金
4、额rr(y的取值范围是 42006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015A 4B = |01rrr的取值范围是恩格尔系数r是年份y的函数 思考：上述问题1问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概 念的本质特征吗？ 共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用A，B来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中 的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。 函数的概念：函数的概念： 设设A、B是是非空非空的的数集数集，如果按照某个确定的对，如果按照某个确定的
5、对应关系应关系f，使对于集合，使对于集合A中的中的任意任意一个数一个数x，在集合，在集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数y和它对应，那么就称和它对应，那么就称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数（的一个函数（functionfunction），记作：），记作： y=f(x) xA x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的定义域；定义域； 与与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的叫做函数的值域值域. . 想一想 f(a)表示什么意思？ f(a)与f(x)有什么区别？ 对函数
6、符号y=f(x)的理解 1、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。 一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。 f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。 例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1 当x=2时y=7可以写成f(2)=7 2、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如“y=g(x)”，“y=h(x)”； 思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？ 函数的值域是集合B的子集。 问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2； 问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。 1.1.对于函数对
7、于函数y=f (x)y=f (x)，以下说法正确的有，以下说法正确的有( )( ) y y是是x x的函数的函数 对于不同的对于不同的x,yx,y的值也不同的值也不同 f(a)f(a)表示当表示当x=ax=a时函数时函数f(x)f(x)的值，是一个常量的值，是一个常量 f(x)f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个 B B 学以致用 练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 函函 数数 一次函数一次函数 二次函数二次函数 反比例函数反比例函数 a0 a0 对应关系对应关系 定义
8、域定义域 值值 域域 xaxb x ax2bxc yaxb (a0) yax2bxc (a0) R R R x|x0 R y|y0 (0)kykxkxx24 |4acby ya24 |4acby ya例1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量 之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。 例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。 (0)ykx k解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，
9、那么y=x(10-x). 其中，x的取值范围是 ，y的取值范围是 ，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的 面积x(10-x). |010Axx |025Byy满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间， 表示为a，b 设a，b是两个实数，而且ab,我们规定： 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间， 表示为(a，b) 满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做 半开半闭区间半开半闭区间，表示为a，b）或（a，b 这里的实数a，b叫做相应区间的端点相应区间的端点 定义 名称 符号 数轴表示 x|ax b 闭区间 a，b a b x|ax b 开区间 (a,b) a b
10、x|ax b 半开半闭区间 a,b) a b x|aa xb xa 7.以“”或“”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 试用区间表示下列实数集合 （1） x|5 x6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x0a0时，求时，求f(a),f(af(a),f(a- -1)1)的值的值. . 1( )3,2f xxx2( 3),( )3ff分析：分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例如前面所述的三个实例. .如果只给出解析式如果只给出解析式y=f(x)y=f
11、(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合指能使这个式子有意义的实数的集合. . 例题解析 解：解：（1 1） 有意义的实数有意义的实数x x的集合是的集合是x|xx|x- -33， 有意义的实数有意义的实数x x的集合是的集合是x|xx|x- -22，所以，这个函数，所以，这个函数 的定义域就是的定义域就是 . . x3x|x3,x2 且1f( 3)331;32 221113333f( )3.233388323(2)(2) 1x2( )()()13;211131212.1f aaaf aaaaa=+-=-+-+
12、=+（3 3）因为）因为a00，所以，所以f(f(a),f(),f(a- -1)1)有意义有意义. . 思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么个函数相等的条件是什么？ 定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系、值域； 定义域相同，对应关系完全一致定义域相同，对应关系完全一致. 函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定； 例3.下列函数哪个与函数y=x相等 )(2)1(xy 33)2(vu xy2
13、)3(nmn2)4( 解（1） ，这个函数与y=x（xR） 对应一样，定义域不不同，所以和y=x （xR）不相等 )0()(2xxyx （2） ，这个函数和y=x （xR） 对应关系一样 ，定义域相同xR，所以和y=x （xR）相等 )(33Rvvuv0,0,|2xxxxxyx （3 这个函数和y=x（xR） 定义域相同x R，但是当x0 x，x0，对应关系不同；y3x3x，且定义域为 R.故选 D. 【答案】 D 3函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为()A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3【解析】 当 x0 时，y0；当 x1 时，y121；当 x2 时
14、，y4220；当 x3 时，y923 3，函数 yx22x 的值域为1,0,3 【答案】 A 4函数 f(x) x41x5的定义域是_ 【解析】 函数 f(x) x41x5， x40 x50，解得 x4，且 x5， 函数 f(x)的定义域是4,5)(5，) 【答案】 4,5)(5，) 5已知函数 f(x)x1x， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(1)，f(2)的值； (3)当 a1 时，求 f(a1)的值 【解】 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x0， f(x)的定义域是(，0)(0，) (2)f(1)1112，f(2)21252. (3)当 a1 时，a10，f(a1)a11a1. 课后小结 2.函数的三要素 定义域A 值域B 对应法则f 定义域 对应法则 值域 决定决定1.函数的概念：设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合 B的函数. 3.会求简单函数的定义域和函数值 4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.