1、人教人教A版版 必修第一册必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 2 基本不等式基本不等式 课程目标课程目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 2.逻辑推理：基本不等式的证明； 3.数学运算：利用基本不等式求最值； 4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题； 5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。 自主预习，回答问题自主预习，回答问
2、题 阅读课本阅读课本44-45页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 重要不等式的内容是？ 2.基本不等式的内容及注意事项？ 3.常见的不等式推论？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 a a b b b 几何解释 1.重要不等式：重要不等式：如果如果，那么，那么+ , 当且仅当当且仅当a=b时等号成立。时等号成立。 知识清单知识清单 2.2.基本不等式基本不等式 (1)(1)基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件:_.:_. (2)(2)等号成立的条件等号成立的条件: :当且仅当当且仅当_时取等号时取等号. . )0, 0(2babaaba a
3、0,0,b b00 a a= =b b 注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。3.3.几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)(1)a a2 2+ +b b2 2 _ _(_(a a, ,b bR R).). (2) _(2) _(a a, ,b b同号同号).). (3) (3) (a a, ,b bR R).). (4) (4) (a a, ,b bR R).). 4.4.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设a a0,0,b b00，则，则a a, ,b b的算术平均数为的算术平均数为 , ,几何平均几何平均 数为数为_，基本不等式可叙述为：，基本不等式可叙述为：_ _
4、. _. baab2)2(baab222)2(2baba2 2abab 2 2 2baab术平均数不小于它们的几何平均数术平均数不小于它们的几何平均数 两个正数的算两个正数的算 + 2 小试身手小试身手 1.已知x0，求x+1的最小值. 解：因为x0，所以x +1 22 = , 当且仅当x=1，即2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 2.2. 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ； （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值142. 证明：因为x，y都是正数，所以x+y2 xy （1）当积xy等于定值P时，
5、x+y2 P， 所以x+y 2 P， 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2 P. （2）当和x+y等于定值S时， xy 2， 所以 xy 142， 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值142. 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一利用基本不等式求最值题型一利用基本不等式求最值 例1 求下列各题的最值求下列各题的最值. . （1 1）已知）已知x x0,0,y y0,0,xyxy=10,=10,求求 的最小值；的最小值； （2 2）x x0,0,求求 的最小值；的最小值； （3 3）x x30,0,y y0,0,xyxy=10.=
6、10. 当且仅当当且仅当2 2y y=5=5x x, ,即即x x=2,=2,y y=5=5时等号成立时等号成立. . . 2. 210102105252minzxyxyyx则(2)(2)x x0, 0, 等号成立的条件是等号成立的条件是 即即x x=2,=2, f f( (x x) )的最小值是的最小值是12.12. ,123122312)(xxxxxf,312xx(3)(3)x x3,3,x x- -30,330,0, 当且仅当当且仅当 即即x x=1=1时，等号成立时，等号成立. . 故故f f( (x x) )的最大值为的最大值为- -1. 1. , 13)3(3423)3(343)3
7、(3434)(xxxxxxxxxf, xx 334解题方法解题方法（利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值） (1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值； (2)根据已知范围，确定两式的正负符号； (3)根据两式的符号求积或和的最值. 总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”. 跟踪训练一跟踪训练一 （1 1）已知）已知x x0,0,y y00，且，且 求求x x+ +y y 的最小值；的最小值； （2 2）已知）已知x x 0,0,y y0, 0, 当且仅当当且仅当 时，上式等号成立，时，上式等号成立， x x=4,=4,y y=12=12时，时，( (x x+ +y y
8、) )minmin=16. =16. , 191yx.16106109)91)(yxxyyxyxyxyxxy9, 191yx又(2)(2)x x 50,0, - -2+3=1,2+3=1, 当且仅当当且仅当 即即x x=1=1时，上式等号成立，时，上式等号成立， 故当故当x x=1=1时，时，y ymaxmax=1.=1. ,453)45145(54124xxxxy,45145xx(3)(3)由由2 2x x+8+8y y- -xyxy=0,=0,得得2 2x x+8+8y y= =xyxy, , 当且仅当当且仅当 即即x x=2=2y y时取等号，时取等号， 又又2 2x x+8+8y y-
9、 -xyxy=0,=0,x x=12,=12,y y=6,=6, 当当x x=12,=12,y y=6=6时，时，x x+ +y y取最小值取最小值18. 18. ,1842210)4(2102810)28)(, 182yxxyyxxyyxxyyxyxyxxy,4yxxy 题型二利用基本不等式解决实际问题题型二利用基本不等式解决实际问题 例2（ ） 用篱笆围一个面积为2的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？ （ ） 用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 解 设矩形菜园的相邻两条边的长分
10、别为 m,m，篱笆的长度为2 + m. (1)由已知得 = 100. 由x+y2 xy，可得 + 2 = 20, 所以2 + 40, 当且仅当 = =10时，上式等号成立. (2)由已知得2 + = 36，矩形菜园的面积为2. 由 x+y2 = 182 = 9,可得 81， 当且仅当 = =9时，上式等号成立. 解题方法解题方法（利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题） 设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 跟踪训练二跟踪训练二 如图所示，将一矩形花坛如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建
11、成一个更大的矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求，要求B点在点在AM上，上，D点在点在AN上，且对角线上，且对角线MN过过C点，已知点，已知3AB 米，米，4AD米米. （1）要使矩形）要使矩形AMPN的面积大于的面积大于 50 平方米，则平方米，则DN的长应在什么范围？的长应在什么范围？ （2）当）当DN的长为多少米时，矩形花坛的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值的面积最小？并求出最小值. （1）设DN的长为0 x x 米，则4ANx米 DNDCANAMQ 34xAMx 234AMPNxSAN AMx 由矩形AMPN的面积大于50得：23450 xx 又0 x ，得：2326480 xx，解得：803x或6x 即DN长的取值范围为：80,6,3U （2）由（1）知：矩形花坛AMPN的面积为： 223(4)3244848483242 32448xxxyxxxxxx 当且仅当483xx，即4x 时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48 故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米 解：