1、人教人教A版版 必修必修 第一册第一册 2.1 等式性质与不等式性质（第等式性质与不等式性质（第1课时）课时） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 情景导学 不等关系与不等式 我们用数学符号“”、“”、“120 Bxy N BMN CM0， MN，故选 A 跟踪训练 2.比较 x2y21 与 2(x
2、y1)的大小； 3.设 aR 且 a0，比较 a 与1a的大小 跟踪训练 解析 2. x2y212(xy1) x22x1y22y2 (x1)2(y1)210， x2y212(xy1) 3.由 a1aa1a1a 当 a 1 时，a1a； 当1a0 或 a1 时，a1a； 当 a1 或 0a1 时，a1a. 1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x0)人,瓦工y(y0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是( ) A.5x+4yB B.A0, 所以 AB,故选 A. 答案：A 当堂达标 3.已知甲、乙两种食物的维生素A
3、,B含量如下表: 设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系. 食 物 甲 乙 维生素 A/(单位/kg) 600 700 维生素 B/(单位/kg) 800 400 当堂达标 解析：由题意知 x kg 的甲种食物中含有维生素 A 600 x 单位,含有维生素B 800 x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素 B 400y 单位,则 x kg 的甲种食物与 y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素 A(600 x+700y)单位
4、,含有维生素 B (800 x+400y)单位, 则有 600 + 700 56 000,800 + 400 63 000, 0, 0,即 6 + 7 560,4 + 2 315, 0, 0. 当堂达标 4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. 解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x0.而要构成三角形, 还要满足(5-x)+(12-x)13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所 对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2 0,(5-) +(1
5、2-) 13-,(5-)2+ (12-)20, 所以 2x2+3x+2. (2)(a+2)-31-=(+2)(1-)-31-=-2-11-=2+1-1.由于 a2+a+1= +12 2+34340, 所以当 a1 时,2+1-10,即 a+231-; 当 a1 时,2+1-10,即 a+21 时,a+231-;当 a1 时,a+2, b，那么 ab 是 ； 如果 ab_ a0 abbbb,a-b0. 由正数的相反数是负数,得-(a-b)0. 即b-a0,ba. 同理可证,如果bb. 新知探究 不等式的性质 -28- 1.与m(n-2)2等价的是( ). A.m(n-2)2 B.(n-2)2m
6、C.(n-2)2m D.(n-2)2b,bcac 变形 ab,bcac; ab,bcaba+cb+c 变形 aba+c0, a+cb+c. . 新知探究 -31- (4)乘法法则 文字语言 不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变. 符号语言 ab,c0acbc ab,c0ac0acbc ab,c0acbc a0acbc ab,cbc ab,c0acbc ab,cb,a-b0.根据同号相乘得正,异号相乘得负, 得当c0时,(a-b)c0,即acbc;当c0时,(a-b)c0,即acbc ab. 2.acbcab,c0或ab,cb,cda+cb+d
7、 变形 ab,cda+c + + + + a+cb+d. 新知探究 -34- 1 .此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向. 2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减. 3.该性质不能逆推,如a+cb+d ab,cd. 归纳总结 -35- (6)乘法单调性 文字语言 两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向. 符号语言 ab0,cd0acbd 作用 两个不等式相乘的变形 证明:ab0,c0, acbc. cd0,b0, bcbd. acbd. 新知探究 -36- 1. 这一
8、性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 2.ab0,cd0acbd; ab0,cdbd. 3.该性质不能逆推,如acbd ab,cd. 归纳总结 -37- (7)正值不等式可乘方 文字语言 当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向. 符号语言 ab0anbn(nN,且 n1) 作用 不等式两边的乘方变形 性质(7)可看作性质(6)的推广: 当n是正奇数时,由ab可得anbn. 新知探究 1. 给出下列结论： 若 acbc，则 ab； 若 ab，则 ac2b
9、c2； 若1a1bb； 若 ab，cd，则 acbd； 若 ab，cd，则 acbd. 其中正确结论的序号是_. 小试牛刀 解析 当 c0 时，由 acbcab，当 cbcab，故错 当 c0 时，由 abac2bc2，当 c0 时，由 ab/ ac2bc2，故错 1a1b0，a0，b0，1a ab1b ab，即 bb， 故正确 cd，cb，两不等式不等号的方向不同，不能相加， acbd 错误 ab0cd0acbd， 0ab0cdacb00cd/ acbd， 0abcd0/ acbd. -40- 反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法: (1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,
10、不要弱化条件,尤其是 不能凭想象捏造性质. (2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算. 反思总结 例 1 已知 ab0，cd0，eebd. 典例解析 用不等式的性质证明不等式 又又eebd. 解析解析 cdd0， 又又ab0， a(c)b(d)0， 即即 acbd0， 01ac0，求证：，求证：abbcdd. 解析：解析：bcad0， adbc， adbdbcbd， bd0，1bd0， adbdbdbcbdbd， abbcdd. 跟踪训练 利用不等式的性质证明不等式注意事项利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以
11、证明一些不等式解决此类问题利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 归纳总结 利用不等式的性质求取值范围 例 2 已知22，求2，2的范围 分析 由22可知，22，22，. 典例解析 解析 22， 42
12、4，424.两式相加，得222. 424，424，222. 又，20.220. 规律总结 求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小 1.已知 1a2,3b4，求下列各式的取值范围： (1)2ab；(2)ab；(3)ab. 解析 (1)1a2，22a4， 3b4，52ab8； (2)3b4， 4b3，又1a2， 3ab1； (3)3b4，141b13，又 1a2， 14ab23. 跟踪训练 1已知 ab0，cd0，那么下列判断中正确的是( ) Aacbd C.adbc 解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B 正确 答案：B 当堂达标 2 若 a、 b、 cR，
13、且 ab， 则下列不等式中一定成立的是( ) Aabbc Bacbc C.c2ab0 D(ab)c20 当堂达标 解析：ab，ab0.选项 A 中，当 c0 时，(ab)(bc)ac，由于 aR，则选项 A 不成立；选项 B 中，acbcc(ab)，由于 cR，则选项 B 不成立；选项 C 中，由于 cR，则 c20，c2ab0，则选项 C 不成立；选项 D 中，ab0，c20，(ab)c20，则选项 D 成立 答案：D 3设 2a3，-2b-1，则 2a-b 的范围是_ 解析：42a6，-2b-1， 1-b2，由同向不等式相加得到 52a -b8 答案：52a -bb0，cd0.求证：3ad3bc. 解析 cdd0.01cb0，adbc0. 3ad3bc，即3ad3bc. 两边同乘以1，得3adb_ 2 传递性传递性 ab，bc_ 3 可加性可加性 abac bc 可逆可逆 4 可乘性可乘性 abc0ac bc c 的的符号符号 abc0ac bc bc bcdac bd 同向同向 6 同向同正同向同正 可乘性可乘性 ab0cd0ac bd 同向同向 同正同正 7 可乘方性可乘方性 ab0anbn (nN*，n2) 8 可开方性可开方性 ab0nanb (nN*，n2)