1、人教人教A版版 必修第一册必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本7-8页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？ 2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 定义定义 一般地，对于两个集合一般地，对于两个集合 A，B，如果集合，如果集合 A 中中 元元素都是集合素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有中的元
2、素，我们就说这两个集合有 关关系，称集合系，称集合 A 为集合为集合 B 的子集的子集 记法记法 与读法与读法 记作记作 (或或 )， 读作， 读作“A含于含于 B”(或或“B包含包含 A”) 图示图示 结论结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即任何一个集合是它本身的子集，即 A A. (2)对于集合对于集合 A，B，C，若，若 AB，且，且 BC，则，则 A C 1子集的概念子集的概念 知识清单知识清单 任意一个任意一个 包含包含 AB BA 点睛点睛 “A 是是 B 的子集的子集”的含义是： 集合的含义是： 集合 A 中的任何一个中的任何一个元素都是集合元素都是集合 B 的元素，即任意
3、的元素，即任意 xA 都能推出都能推出 xB. 2集合相等的概念集合相等的概念 如果集合如果集合 A 是集合是集合 B 的的 (AB)，且集合，且集合 B 是集合是集合 A的的 (BA)，此时，集合，此时，集合 A 与集合与集合 B 中的元素是一样的，中的元素是一样的，因此，集合因此，集合 A 与集合与集合 B 相等，记作相等，记作 . 点睛点睛 (1)若若 AB，又又 BA，则则 AB；反之反之，如果如果 AB，则则 AB，且且 BA. (2)若两集合相等若两集合相等，则两集合所含元素完全相同则两集合所含元素完全相同，与元素排与元素排列顺序无关列顺序无关 子集子集 子集子集 AB 3真子集的
4、概念真子集的概念 定义定义 如果集合如果集合 AB，但存在元素，但存在元素 ，且，且 ，我们称，我们称集合集合 A 是集合是集合 B 的真子集的真子集 记法记法 记作记作 A B(或或 B A) 图示图示 结论结论 (1)A B 且且 B C，则，则 A C； (2)AB 且且 AB，则，则 A B xB x A 点睛点睛 在真子集的定义中在真子集的定义中，A B 首先要满足首先要满足 AB，其次其次至少有一个至少有一个 xB，但但 x A. 4空集的概念空集的概念 定义定义 我们把我们把 的集合，叫做空集的集合，叫做空集 记法记法 规定规定 空集是任何集合的空集是任何集合的 ，即，即A 特性
5、特性 (1)空集只有一个子集， 即它的本身，空集只有一个子集， 即它的本身， (2)A，则，则 A 不含任何元素不含任何元素 子集子集 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)空集中只有元素空集中只有元素 0，而无其余元素，而无其余元素 ( ) (2)任何一个集合都有子集任何一个集合都有子集 ( ) (3)若若 AB，则，则 AB. ( ) (4)空集是任何集合的真子集空集是任何集合的真子集 ( ) 2.用适当的符号填空用适当的符号填空 _, _|= _ |+ = (4) 0,1_N _|= （）,_| + = 答案：（答案：（1） （2）=
6、 （3）= （4） （5） （6）= 3设设 aR，若集合，若集合2,91a,9，则，则 a_. 答案：答案：-1 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 写出给定集合的子集写出给定集合的子集 例1 (1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题: 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 集合 集合的子集 子集的个数 a a,b a,b,c 分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归
7、纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为; 含有一个元素的子集为0,1,2; 含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2; 含有三个元素的子集为0,1,2. 故集合0,1,2的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集. (2) 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 集合 集合的子集 子集的个数 1 a ,a 2 a,b ,a,b,a,b 4 a,b,c ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 8 解题方法解题方法（分类讨论是写出所
8、有子集的方法分类讨论是写出所有子集的方法） 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少一般按集合中元素个数的多少来划分来划分,遵循由少到多的原则遵循由少到多的原则,做到不重不漏做到不重不漏. 2.若集合若集合A中有中有n个元素个元素,则集合则集合A有有2n个子集个子集,有有(2n-1)个真子集个真子集,有有(2n-1)个非空子集个非空子集,有有(2n-2)个非空真子集个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接该结论可在选择题或填空题中直接使用使用. 跟踪训练一 1.若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合 A 的个数为( ) A
9、.2 B.3 C.4 D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5. 答案:B 题型二题型二 韦恩图及其应用韦恩图及其应用 例2下列能正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0的关系的维恩图是( ) 解析:N=x|x2+x=0=x|x=0或x=-1=0,-1,NM,故选B. 答案:B 解题方法解题方法（图应用应用） 是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用. 解析:集合 A,B,C,D,E 之间的关系可用
10、 Venn 图表示,结合下图可知, 应选 A. 答案:A 跟踪训练二跟踪训练二 2.设A=四边形,B=梯形,C=平行四边形,D=菱形,E=正方形,则下列关系正确的是( ) A.EDCA B.DECA C.DBA D.EDCBA 题型三题型三 由集合间的关系求参数的范围由集合间的关系求参数的范围 例3 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若AB,求实数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根
11、据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件. 解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,BA. (2)由已知AB. 当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得 2-3 -5,-2 2,解得-1a4. 又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1. 一题多变一题多变 1变条件变条件 【例 3】(2)中,是否存在实数 a,使得 AB?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 解:因为因为 A=x|-5x2,所以若所以若 A B,则则
12、 B 一定不是空集一定不是空集. 此时有此时有显然实数显然实数 a 不存在不存在. 2 变条件变条件 若集合若集合 A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且且 A B,求实数求实数 a的取值范围的取值范围. 解：当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知2a-32或a-2-5, 解得a52 或a-3. 又因为a1,所以a-3. 综上,实数a的取值范围为a1或a-3. 解题方法解题方法（根据集合根据集合之间关系，求参数的值或范围之间关系，求参数的值或范围） 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. 2.涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 跟踪训练三 3.若集合A=x|x2+x-6=0,B=x|x2+x+a=0,且BA,求实数a的取值范围. 解:A=-3,2.对于x2+x+a=0, 当 =1-4a14时,B=,BA成立; 当 =1-4a=0,即 a=14时,B= -12 ,BA不成立; 当 =1-4a0,即 a14或 a=-6.