1、人教人教A版版 必修必修 第一册第一册 1.1集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语 情景情景1 1：“集合”“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为解释为: :许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起. . 在现代数学中，在现代数学中，集合集合是一种简洁、高雅的数学语言，是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的我们怎样理解数学中的“集合”“集合”？ 康托尔（康托尔（G.Cantor,1845G.Cantor,1845- -19181918）. .德国德国数学家，集合论创始人数学家，集合论创始人. .人们把康托尔于人们把康托尔于1873187
2、3年年1212月月7 7日给戴德金的信中最早提出集日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日合论思想的那一天定为集合论诞生日. . 情景导学 情景情景2 2：高一开学第二天，学校通知：上午高一开学第二天，学校通知：上午8 8点，点， 在学校体育馆举行军训动员大会在学校体育馆举行军训动员大会. . 通知通知 8 8月月2828日上午日上午8 8时，高一年级的学生在体育馆集合时，高一年级的学生在体育馆集合 进行军训动员进行军训动员. . 德育处德育处 问题问题1 1：这个通知的这个通知的对象对象是全体高一学生还是个别对象？是全体高一学生还是个别对象？ 高一学生全体高一学生全体 高一
3、学生的全体构成一个高一学生的全体构成一个集合集合，下面我们就具体，下面我们就具体地研究地研究集合集合的相关知识的相关知识. . 问题思考 我们已经接触过一些集合：我们已经接触过一些集合： 1.将下列数字填入相应的集合： 31.1,5,0, , 2,3.14,7.4自然数集合 有理数集合 2 2. .圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合. . 探究探究1 集合的定义集合的定义 考察下列问题：考察下列问题： （1 1）1 12020以内的所有偶数；以内的所有偶数； （2 2）立德）立德中学今年入学的全体高一学生中学今年入学的全体高一学生； （
4、3 3）所有正方形所有正方形； （4 4）到直线到直线l的距离等于定长的距离等于定长d d的所有的点的所有的点; ; （5 5）方程）方程 的所有实数根；的所有实数根； （6 6）地球上的四大洋。）地球上的四大洋。 思考思考: : 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？ 0232 xx集合定义的理解集合定义的理解 1.是一定范围内的确定的对象；是一定范围内的确定的对象； 2.是不同的对象；是不同的对象； 3.是这些对象的全
5、体是这些对象的全体. 一般地，一般地， 我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素. . 通常用小写拉丁字母通常用小写拉丁字母a,b,ca,b,c, ,.来表示来表示. . 我们把一些元素组成的总体叫做我们把一些元素组成的总体叫做集合集合( (简称为集简称为集).). 通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁字母A,B,CA,B,C, ,.来表示来表示. . 组成集合的元素一定是数吗？组成集合的元素一定是数吗？ 组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？样的性质呢？ 问题：问题： 归纳总结 1. 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？
6、由此说明什么？所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 集合中的元集合中的元素是确定的素是确定的 探究探究2 2： 集合中元素的性质集合中元素的性质 “帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅”“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅”才算“帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能才算“帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象因此，不能构成集合够确定的对象因此，不能构成集合 不能不能. . 其中的元素不确定其中的元素不确定 问题探究 2. 2. 由由1,3,0,5,1,3,0,5,- -3 3 这些数组成的一个集合中有这些数组成的一个集合中有5 5 个个 元
7、素，这种说法正确吗？元素，这种说法正确吗？ 集合中的元集合中的元素是互异的素是互异的 不正确不正确. .集合中只有集合中只有4 4个不同元素个不同元素1 1，3 3，0 0，5 .5 . 问题探究 3.3.高一（高一（5 5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？这个集合有没有变化？ 集合中的元素是集合中的元素是没有顺序的没有顺序的 通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性 集合没有变化集合没有变化 问题探究 两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等
8、两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等. . 启示：启示：任何集合的元素都不能违背确定性、互异性、无序性任何集合的元素都不能违背确定性、互异性、无序性. .我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的关系我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的关系. . 1.1.判断以下元素的全体是否组成集合判断以下元素的全体是否组成集合, ,并说明理由并说明理由: : (1) (1) 大于大于3 3小于小于1111的偶数的偶数; (2) ; (2) 我国的小河流我国的小河流. . 【提示提示】（1 1）是由）是由4,6,8,104,6,8,10四个元素组成的集合四个元素组成的集合. . （2 2）由集合元
9、素的确定性知其不能组成集合）由集合元素的确定性知其不能组成集合. . 练习 3.3.已知下面的两个实例：已知下面的两个实例： （1 1）用）用A A表示高一表示高一(3)(3)班全体学生组成的集合班全体学生组成的集合. . （2 2）用）用a表示高一表示高一(3)(3)班的一位同学，班的一位同学，b b表示高一表示高一(4) (4) 班的一位同学班的一位同学. . a是是集合集合A A中的元素中的元素, , b b不是不是集合集合A A中的元素中的元素. . 探究探究3 3： 元素和集合的关系元素和集合的关系 思考：思考：那么那么a，b b与集合与集合A A分别有什么关系分别有什么关系? ?
10、问题探究 元素元素a与集合与集合A A的关系的关系 如果如果a是集合是集合A A的元素，就说的元素，就说a属于集合属于集合A A， 记作记作aA A ； 如果如果a不是集合不是集合A A中的元素，就说中的元素，就说a不属于集合不属于集合A A， 记作记作a A.A. 属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。 归纳总结 常用的数常用的数集集 自然数自然数集集 正整数集正整数集 整数整数集集 有理数有理数集集 实数实数集集 记法记法 N Z Q R N*或或N N N*或或N Z N*或或N 学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数
11、学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法：学中规定了一些常用数集及其记法： 2练习练习 用符号“用符号“”或“”或“ ”填空”填空. . (1)2(1)2 N.N. (2) (2) _Q._Q. (3)0(3)0 0.0. (4)b(4)b a,b,c.,b,c. 【总结总结提升提升】求解此类问题必须要做到以下两点：求解此类问题必须要做到以下两点： 熟记常见的数集的符号；熟记常见的数集的符号； 正确理解元素与集合之间的“属于”关系正确理解元素与集合之间的“属于”关系. . 列举法列举法 思考思考1 1：地球上的四大洋地球上的四大洋 组成的集合如何表示？组成的集合如
12、何表示？ 【提示提示】可以这样表示：可以这样表示： 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋. 探究探究4 4 集合的表示方法集合的表示方法 思考思考2: 2: 方程（方程（x+1)(x+2)=0 x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合的所有根组成的集合 又如何用列举法表示呢？又如何用列举法表示呢？ 【提示提示】 - -1,1,- -22 列举法列举法 问题探究 把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ” ” 括起来表示集合的方法叫做列举法括起来表示集合的方法叫做列举法. . 元素元素 确定确定 无序无序 互异互异 注意：注意： 元素间
13、要用逗号隔开元素间要用逗号隔开. . 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 大括号不能缺失 归纳总结 a与与 a 有什么区别？有什么区别？ 是一个元素 是一个集合是一个集合 例例1 1 用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合： （1 1）小于）小于1010的所有自然数组成的集合的所有自然数组成的集合. . （2 2）方程）方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合. . 解：解：（1 1）设小于）设小于1010的所有自然数组成的集合为的所有自然数组成的集合为A A， 那么那么A=0,1,2,3,4,5,6
14、,7,8,9.A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. （2 2）设方程）设方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合为的所有实数根组成的集合为B B，那么那么B=1,0.B=1,0. 例题解析 【总结总结提升提升】由于元素完全相同的两个集合相等，由于元素完全相同的两个集合相等， 而与列举的顺序无关，因此集合可以而与列举的顺序无关，因此集合可以 有不同的列举方法有不同的列举方法. .例如，例如， 例例1 1（1 1）可以表示为）可以表示为A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 归纳升华 能否用列举法表示不等式 x3737的解集？ 由于小于由
15、于小于1010的实数有无穷多个，而且无法一一列举出的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，来， 因此这个集合不能用列举法表示因此这个集合不能用列举法表示 但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1 1） 集合中的元素都小于集合中的元素都小于10.10. （2 2） 集合中的元素都是实数集合中的元素都是实数 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作写作: : 10,.x xxR思考深化思考深化 描述法描述法 描述法：描述法：用这个集合所含元素的共同特征表示集合用这个集合所含元素的共同特征表示集合的方
16、法的方法 我们可以把奇数集合表示为我们可以把奇数集合表示为 又如又如所有偶数所有偶数的集合怎样表示的集合怎样表示？ x=2k , kZ xZ | |( )xIp x 代表元素代表元素取值范围取值范围共同特征共同特征, 12|Zxkxx 还可以把奇数集合表示为还可以把奇数集合表示为 , 12|Zxkxx24 注意：注意：如果从上下文的关系来看，如果从上下文的关系来看， xR ，xZ 是明确的，那么是明确的，那么xR ，xZ 可以省略，只写元素可以省略，只写元素x. 例如例如 xR | x10 = x | x10 xZ | x=2k, kZ = x | x=2k, kZ 思考：有理数集怎么表示呢？
17、 0,|pZqppqxRxQ例例2 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合试分别用列举法和描述法表示下列集合. . (1)(1)方程方程x x2 2- -2=02=0的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合. . (2)(2)由大于由大于1010小于小于2020的所有整数组成的集合的所有整数组成的集合. . 方程方程x x2 2- -2=02=0有两个实数根为有两个实数根为 ，因此，用列举法，因此，用列举法 表示为表示为A= .A= . 22, 22, 解：解：(1)(1)设方程设方程x x2 2- -2=02=0的实数根为的实数根为x,x,并且满足条件并且满足条件 x x2 2- -2=
18、02=0，因此，用描述法表示为，因此，用描述法表示为A=xR|xA=xR|x2 2- -2=0.2=0. 例题解析 大于大于1010小于小于2020的整数有的整数有11,12,13,14,15,16,17, 11,12,13,14,15,16,17, 18,1918,19，因此，用列举法表示为，因此，用列举法表示为 B=B=xZ10Z10 x20.20. B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. (2)(2)设大于设大于1010小于小于2020的整数为的整数为x，它满足条件，它满足条件xZ,Z,且且1010 x20,2
19、0,因此，用描述法表示为因此，用描述法表示为 例题解析 思考：思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 优点优点 缺点缺点 列举法列举法 直观、明了直观、明了 不易看出元素所具有不易看出元素所具有的属性，且有些集合的属性，且有些集合不能用列举法表示不能用列举法表示 描述法描述法 把集合中元素所具把集合中元素所具有的性质描述出来，有的性质描述出来，具有抽象性、概括具有抽象性、概括性、普遍性的特点性、普遍性的特点 不易看出集合的具体不易看出集合的具体元素元素 归纳升华 1下列对象不能构成集合的是( ) 我国近代著名的数学家；所有的欧盟成员国；空气中密度大的气体 A
20、 B C D 达标检测 【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性中的“著名”没有明确的界限；中的研究对象显然符合确定性；中“密度大”没有明确的界限故选 D. 【答案】 D 2下列三个关系式： 5R；14Q；0Z.其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D0 【解析】 正确；因为14Q，错误；0Z，正确 【答案】 B 3a，b，c，d 为集合 A 的四个元素，那么以 a，b，c，d 为边长构成的四边形可能是( ) A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形 【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故 a，b，c，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 【
21、答案】 D 4设集合 Ax|x23xa0，若 4A，则集合 A 用列举法表示为_. 【解析】 4A，1612a0， a4， Ax|x23x401,4 【答案】 1,4 5用适当的方法表示下列集合： (1)方程组 2x3y143x2y8的解集； (2)所有的正方形； (3)抛物线 yx2上的所有点组成的集合 【解】 (1)解方程组 2x3y143x2y8，得 x4y2， 故解集为(4，2) (2)集合用描述法表示为x|x 是正方形，简写为正方形 (3)集合用描述法表示为(x，y)|yx2 课堂小结课堂小结 1集合的概念集合的概念; 2集合元素的性质：集合元素的性质：确定性确定性，互异性互异性，无序性无序性； 3数集及有关符号；数集及有关符号； 4. 集合的集合的表示方法表示方法； 5. 元素与元素与集合的集合的关系关系.。