1、郑州市郑州市 2022 年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1.答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效3.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的1.已知集合， 集合， 则A B C D 2.已知 是虚数单位， 若，
2、 则A B C D 3.已知命题； 命题 则下列命 题中为真命题的是A B C D 14PxxN 26 0Qx xxPQ1,32,31,2,31,4i1zi 2ziz125i1 25i1 25i 125i 000:,3sin4cos4 2pxxxR1:,1xqxe Rpqpq pqpq4.若实数 满足 则的最小值为A B 1C D25.若函数满足， 则下列函数中为奇函数的是A B C D 6.为了落实五育并举， 全面发展学生素质 学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团 现 将 5 名同学分配到这 4 个社团进行培训， 每名同学只分配到 1 个社团，每个社团至配 1 名同学， 则不同的分配方案共
3、有A 60 种B 120 种C 240 种D 480 种7.已知函数， 为了得到函数的图象只需将 的图象A 向右平移 个单位B 向右平移 个单位C 向左平移 个单位D 向左平移 个单位8.数学家阿基米德建立了这样的理论： “任何由直线与抛物线所围成的弓形， 其面积都 是其同底同高的三角形面积的三分之四 如图， 直线 与抛 物线交于 两点， 两点在 轴上的射影分别为 ， 从长方形 内任取一点， 则该点落在阴影部分的概 率为xy、21 0,1 0,421 0,xyxyxy3zxy932 f x 22fxf x 11f x11f x11f x11f x sin 26f xx cos 23g xx y
4、f x356261x 22yx,A B,A By,M NABNMA B C D 9.魏晋南北朝时期， 中国数学的测量学取得了长足进展刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理 因其第一题为测量海岛的高度和距离， 故题为海岛算经 受此题启发， 某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度 如图， 点 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称 为 “表高”， 测得以下数据 (单位： 米)： 前表却行 ， 表高 ， 后表却行 ， 表距 则 塔高 A 60 米B 61 米C 62 米D 63 米10. 在圆 上总存在点 ， 使得过点能作椭圆 的两条相互垂直的切线， 则 的取值范围
5、是A 13231234,D G FDHCDEF1DG 2CDEF3FH 61DF AB 222(3)(4)(0)xyrrPP2213xyr3,7B C D 11. 已知一圆柱的轴截面为正方形， 母线长为， 在该圆柱内放置一个棱长为 的正四 面体， 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动， 则 的最大值为A B 1C D 212. 已知 ， 函数， 若函数恰有两个零点， 则 实数 的取值范围是A B C D 二、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分13. 已， 则_14. 已知 的展开式中所有二项式系数之和是 64 ， 则它展开式中的系数_15. 双曲线 与抛物线 有共同的焦
6、点， 双曲线左焦点为， 点 是双曲线右支一点， 过 向 的角平分线做垂线，垂足为 1 ， 则双曲线的离心率是_16. 已知正方体的棱长为 是空间中任意一点若点是正方体表面上的点， 则满足的动点轨迹长是；若点是线段上的点， 则异面直线和所成角的取值范围是 ；若点是侧面上的点，到直线的距离与到点 的距离之和3,71,91,96aa1230a 2lnf xaxx F xff xxa1,e1,e, e, e 1,2 ,3 , 2ababa*12nxnxN2x2222:1(0,0)xyCabab28yx2F1FP1F12FPF,N ON 1111ABCDABC D2,PP12AP 34P1ADBP1BC
7、,3 2 P11BCC BPBC1C为 2 ， 则的轨迹是椭圆；过点 的平面 与正方体每条棱所成的角都相等， 则平面 截正方体所得截面的最 大面积是 以上说法正确的有_三、解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 第 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答 第 题为选考题， 考生根据要求作答(一) 必考题： 60 分17. (12 分)已知等差数列的公差为， 前 项和为， 现给出下列三个条件：、成等比数列； 请你从这三个条件中任选两个解答下列问题(I) 求 的通项公式；(II) 若 ， 且 ， 求数列 的前 项和 18. (12 分)为深人贯彻党的十九大教育方针 中共中央
8、办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减 轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见 郑州某中学数学建模小组随机抽查 了我市 2000 名初二学生 “双减” 政策前后每天的运动时间， 得到如下频数分布表：表一：“双减”政策后时间 ()人数1060210520730345125表二： “双减” 政策前时间 (分钟)人数4024556061040313012(I) 用一个数字特征描述 “双减”政策给学生的运动时间带来的变化 (同一时间段的数据用该组区间中点值做代表)；(II) 为给参加运动的学生提供方便， 学校在球场边安装直饮水设备 该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作， 且两个滤芯互不影响，
9、一级滤芯有两个品牌 品牌售 价 5 百元， 使用寿命 7 个月或 8 个月 (概率均为 )； 品牌售PP3 3172122 23、 na0d d nnS12SS、4S416S 8841Sana142nnnbban13b 1nbnnT20,3030,4040,5050,6060,7070,8080,9020,3030,4040,5050,6060,7070,8080,90:AB A、0.5B价 2 百元， 寿命 3 个月或 4 个 月 (概率均为 ) 现有两种购置方案， 方案甲： 购置 2 个品牌 ； 方案乙： 购置 1 个品牌 和 2 个品牌 试从性价比 (设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本
10、之比) 角度考虑， 选择 哪一种方案更实惠19. (12 分)在矩形中 中， 是 中点， 连接， 将 沿折起， 使得点 移动至点 ， 满足平面 平面 (I ) 求证： ；(II) 求二面角的余弦值20. (12 分)设函数(I) 求函数的单调区间；(II) 当 时， 证明：21. (12 分)已知椭圆的左焦点为， 离心率为 ， 过的直线与椭圆交 于两点， 当轴时，(I) 求椭圆 的方程；(II ) 设经过点 的直线 与椭圆 相交于两点， 点关于轴的对称点 为， 直线 与 轴交于点 ， 求 面积的取值范围(二) 选考题 ： 共 10 分 请考生在第 题中任选一题作答 在答题卷上将所选题号涂 黑，
11、 如果多做， 则按所做的第一题计分22. 选修： 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系中， 直线 的参数方程为 （ 为参数) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为0.5AABABCD2,2,ABADEDCAEADEAEDPPAE ABCEAEBPECPB lnf xaxxe f xae2xxf exee2222:1(0)xyCabab1F121F,M NMNx3MN C0, 1HlC,P QPyFFQyGPQG22 23、xOylcos ,1sin ,xtyt txC2tancos(I) 若 ， 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；(II) 设点的直
12、角坐标系下的坐标为， 直线 与曲线 交于两点，且， 求直线 的倾斜角23. 选修： 不等式选讲(10 分)已知 均为正数， 且满足 ( I ) 证明： ；( II ) 证明： 6lCP0,1lC,A B4PAPBl, ,a b c2349abc1119abc222491627abc郑州市 2021-2022 上期高郑州市 2021-2022 上期高三理科数学评分参考数学评分参考一、选择题 二、填空题13.4; 14.15.16.三、解答题17.（12分）解：因为、成等比数列，则，即，因为，可得. .2 分即.，可得，可得.3 分若选，则有，可得，则；若选，则，则；若选，则，可得，所以，.6分（
13、2）解：，且,所以，当时，则有，也满足，故对任意的，9分则，所以，12分1 5.BCBBD6 10.CCADB11 12.DC3;2;1S2S4S2214SS S2111246adaad0d 12da414616Sad1238ad8841Sa11828471adad11a 112238daad112ad1121naandn122da1121naandn123238add2d 1121naandn18442nnnbbann13b 2n 121321nnnbbbbbbbb284 1213 1220843412nnnn13b 241nbnnN241nbn1111121212 2121nbnnnn11
14、111111112335212122121nnTnnnn18（12 分）解：双减政策后运动时间的的众数是 65，双减政策前众数是 55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长； （平均数、中位数等都可以）4 分（1）若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月） ，则的取值有，则的分布列：它与成本之比为7 分若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月） ，则的取值有,，它与成本之比为11 分方案乙性价比更高. 12 分19.（12分）证明：在矩形中，连接，记XX87、43)7(XP41)8(XPXX78P43413129()78.444E X 402955)(XEYY876 、41)6(
15、YP85)7(YP1(8),8P Y Y678P41858115155( )678.4888E Y ( )55.52272E Y5529,7240ABCDBD,AEBDF6,3.BDAE/ /,ABCD2.AFBFABFEFDDE2 332 66,.3333AFFEBFFD2 分在四棱锥中，线段取点满足4 分6 分（2）设平面的法向量为8 分设平面的法向量10 分设二面角的大小为222222,2.AFFDADFAFBABAFFEFEAFFBAEFDAE2,ABCED AEO2,AOOE,AEOP AEOB OPOBO.AEBOP 平面,BPBOD平面.AEBP,POAEAPEABCEAPEAB
16、CEAE平面平面，平面平面.POABCE 平面OAOBOPxyz以、分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,2 32 663(,0,0), (0,0), (0,0,),(,0,0).3333ABPE2 3 2 62(,0).33ABEC 2 36(,0).33C2 362 36636(,0),(,),(,0,),3333333BCCPPE BCP1( , , ),nx y z112 360,0,330,2 3660.333xyBC nCP nxyz 1( 1,2,2 2).n PCE2( , , ),nx y z 22360,0,330.2 3660.333xzPE nCP nxyz )2,
17、2, 2(2nBCPE,的余弦值为12分20.（12分）解：（1）函数的定义域为 故函数单调递减区间为，无单增区间4分（2）当时，要证，即证即证5分设在上单调递增，在上单调递减,8分设 在上单调递减，在上单调递增, 10分又所以当时，12分121222422cos.111 2 8422n nn n BCPE二面角22.11 xf,x xa 111,xafxxaxa ,xa 0.fx xfa,ea exexefx2ln,2xxxxeeln11.2xxexxe ln10 ,xg xxx 21 ln,xgxx xge, 0, e 11.g xg ee 1,2xeh xxe 21,xexh xx xh
18、1 , 0，1 11,2h xhee111,2eee ea .2xxf exee21.（12分）解：（1）由题意可知：，可得.又左焦点，当轴时，将带入得.由解得所以椭圆的方程为5分（2）由题意可知，直线 斜率必存在且不为，设直线 的方程为设，由得.，关于轴的对称点为，直线的方程为.令，得，8分的面积，21ace23ab0 ,1cF xMN cx242aby 322abMN23,223,baba2,3.abC13422yxl0l10 .ykxk11, yxP22, yxQ221,1,43ykxxy0883422kxxk09619234848222kkk348221kkxx348221kxxPyF
19、11, yxF FQ112121xxxxyyyy0 x312112121211221211221xxxkxxxkxxkxxxxyxyxy3, 0 GPQG34243434961924212222212212121kkkkxxxxxxxxNGS令，则，面积的取值范围.12分（二）选考题 22.选修：坐标系与参数方程（10分）22. 解：（1）当时，直线 的参数方程为( 为参数)，的普通方程为.又因为，所以，所以，所以曲线的直角坐标方程为.5 分（2）将代入中，得，设对应的参数分别为,所以，所以，所以，又因为，所以或，所以直线 倾斜角为或.10 分llC0,l242kt,2tttttS134134
20、2,2231tt3640，SPQG3640，446tytx21123t033yxcostan22cossin2sin2cos22022xyxcos ,1sin,xtyt 022xyx02sin2cos22attBA,21,tt221cos2t t4 PBPA4cos2221t t22cos44344323.证明：（1）当且仅当，时等号成立，即证：.5 分（2）由柯西不等式得：故当且仅当，时等号成立 即证：.10 分. 321 31 41122334411112169,2424324abcabcabc 2a1b21c9111cba222249161 1 123481,abcabc 222491627.abc23a1b43c271694222cba