1、1 第第 3 章章 求函数的定义域 【例 1】 (1)求函数 y 5x x11x29的定义域 (2)将长为 a 的铁丝折成矩形， 求矩形面积 y 关于一边长 x 的解析式， 并写出此函数的定义域 解 (1)解不等式组 5x0，x10，x290，得 x5，x1，x 3， 故函数的定义域是x|1x5 且 x3 (2)设矩形的一边长为 x，则另一边长为12(a2x)， 所以 yx12(a2x)x212ax，定义域为x 0 x0，3x10，得 x0 时， f(x) x1， 则 f(x)的解析式为_ (2)已知 f1xx1x2x21x，则 f(x)的解析式为_ (1)f(x) 1 x，x00，x0 x1
2、，x0 (2)f(x)x2x1， x(， 1)(1， ) (1)设 x0， f(x) x1.f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即f(x) x1，f(x) x1. f(x)是奇函数，f(0)0， f(x) 1 x，x0，0，x0， x1，x0，且4acb24a0， 即 b24ac，由上可求得 a14，b12，c14， 所以 f(x)14x212x14. 函数的性质及应用 【例 3】 已知函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f1225. (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数 思路点拨 (1)用 f(0)0 及 f1225求
3、 a，b 的值； (2)用单调性的定义求解 4 解 (1)由题意，得 f00，f1225， a1，b0， 故 f(x)x1x2. (2)任取1x1x21， 则 f(x1)f(x2)x11x21x21x22x1x21x1x21x211x22. 1x1x21，x1x20,1x220. 又1x1x20， f(x1)f(x2)0，f(x)在(1,1)上是增函数 1在本例条件不变的情况下解不等式：f(t1)f(t)0. 解 由 f(t1)f(t)0 得 f(t1)f(t)f(t) f(x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，0t12，不等式的解集为t 0t12. 2把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求
4、 f(x)的解析式 解 由题意可知，f(x)f(x)，即axb1x2axb1x2，a0， 又 f1225，b12，f(x)122x2. 巧用奇偶性及单调性解不等式 1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 fx1fx2的形式. 2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解. 函数的应用 【例 4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计 A，B 两种优惠方案，这两种方案的应付话费 y(元)与通话时间 x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中 MNCD) 5 (1)若通话时间为 2 小时，则按方案 A，B
5、各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠？ 思路点拨 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题 解 由图可知 M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MNCD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)，fB(x)， 则 fA(x) 98，0 x60，310 x80，x60， fB(x) 168，0 x500，310 x18，x500. (1)易知，通话 2 小时，两种方案的话费分别为 116 元，168 元 (2)
6、因为 fB(n1)fB(n)310(n1)18310n180.3，(n500)， 所以方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元 (3)由图可知，当 0 x60 时，有 fA(x)500 时，fA(x)fB(x) 当 60 x500 时，168310 x80，解得 x8803. 当 60 xfA(x)；当8803x500 时，fA(x)fB(x) 即当通话时间在8803， 时，方案 B 才会比方案 A 优惠 1对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答 6 2对于借助函数图象表达题目信息的问
7、题，读懂图象是解题的关键 3在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支 3 600 元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有： 这种消费品的进价每件 14 元；该店月销售量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示；每月需各种开支 2 000 元 (1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为 L，则由题设得 LQ(P14)1003 6002 000， 由销售图易得： Q 2P50，14P20，32P40，20P26， 代入式得 L 2P50 P141005 600，14P20，32P40 P141005 600，20P26. (1)当 14P20 时，Lmax450 元，这时 P19.5 元， 当 20P26 时，Lmax417 元 故当 P19.5 元，月利润余额最大为 450 元 (2)设可在 n 年内脱贫，依题意有 12n45050 00058 0000. 解得 n20. 7 即最早可望在 20 年后脱贫