1、1 第第 2 章章 不等式的性质 【例 1】 如果 a，b，c 满足 cba 且 ac0，则以下列选项中不一定成立的是( ) Aabac Bc(ba)0 Ccb2ab2 Dac(ac)0 C cba，ac0a0，c0. 对于 A： bca0abac，A 正确 对于 B： baba0c0c (ba)0，B 正确 对于 C： cab20cb2ab2cb2ab2，C 错，即 C 不一定成立 对于 D：ac0，ac0ac(ac)0，D 正确，选 C. 2 不等式真假的判断， 要依靠其适用范围和条件来确定， 举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只
2、能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了. 1若 abc 且 abc0，则下列不等式中正确的是( ) Aabac Bacbc Ca|b|c|b| Da2b2c2 A 由 abc 及 abc0 知 a0，c0，bc，abac.故选 A. 2若 1a5，1b2，则 ab 的取值范围为_ 1ab6 1b2，2b1，又 1a5， 1ab6. 基本不等式 【例 2】 设 x1，求 yx5x2x1的最大值 解 x1，x10， yx5x2x1x27x10 x1 x125x14x1(x1)4x15 x14x15 2 451， 当(x1)24，即 x3 时取“” 基本不等式的主要应用是求函数的最
3、值或范围，既适用于一个变量的情况， 也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，3 而拆与凑的目的在于使等号能够成立. 3若 x，y 为实数，且 x2y4，则 xy 的最大值为_ 2 xy12 x (2y)12x2y222(当且仅当x2y， 且x2y4， 即x2， y1时取“”) 一元二次不等式的解法 【例 3】 解关于 x 的不等式：x2(1a)xa0. 解 方程 x2(1a)xa0 的解为 x11，x2a. 函数 yx2(1a)xa 的图象开口向上，所以 (
4、1)当 a1 时，原不等式解集为x|ax1； (2)当 a1 时，原不等式解集为； (3)当 a1 时，原不等式解集为x|1xa 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. 4若关于 x 的不等式 ax26xa20 的解集是x|1xm，则 m_. 2 因为 ax26xa21 m1，1m6a，1 ma m2，a2. 不等式恒成立问题 【例 4】 (1)若不等式 x2mx10 对于任意 xx|mxm1都成立，则实数 m 的取值范围是_ (2)对任意1m1，函数 yx2(m4)x42m 的值恒大于零，求
5、x 的取值范围 4 (1)22m0 由题意， 得函数 yx2mx1 在x|mxm1上的最大值小于 0， 又抛物线 yx2mx1 开口向上， 所以只需 m2m210，m12mm110， 即 2m210，2m23m0，解得22m0. (2)解 由 yx2(m4)x42m (x2)mx24x4， g(x2)mx24x4 可看作以 m 为自变量的一次函数 由题意知在1m1 上，g 的值恒大于零， 所以 x21x24x40，x2x24x40， 解得 x1 或 x3. 故当 x1 或 x3 时， 对任意的1m1， 函数 yx2(m4)x42m 的值恒大于零 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种： 1变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. 2转化法求参数范围 已知二次函数 yax2bxc 的函数值的集合为 By|myn， 则1yk 恒成立ymink 即 mk； 2yk 恒成立ymaxk 即 nk. 5若不等式 ax22x20 对于满足 1x4 的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 1x0 可化为 a2x2x2. 令 y2x2x2，且 1x12即为所求