1、1 第第 4 课时课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点) 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明(难点) 3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用(易错点) 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养. 2.借助运算求值，提升数学运算素养. 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 22sin_cos_ C2 cos 2cos2sin2 T2 tan 22tan 1tan2 2.余弦的二倍角公式的变形 3正弦的二倍角公式的变形 (1)sin co
2、s 12sin 2，cos sin 22sin . (2)1 sin 2(sin_ cos_)2. 1下列各式中，值为32的是( ) A2sin 15 cos 15 Bcos215 sin215 C2sin215 Dsin215 cos215 B 2sin 15 cos 15 sin 30 12；cos215 sin215 cos 30 32；2sin215 1cos 30 2 132；sin215 cos215 1，故选 B. 2sin 15 cos 15 _. 14 sin 15 cos 15 122sin 15 cos 15 12sin 30 14. 3.12cos28_. 24 12c
3、os28121cos421212122224. 4若 tan 2 则 tan 2_. 43 tan 22tan 1tan22212243. 给角求值 【例 1】 (1)cos7cos37cos57的值为( ) A.14 B14 C.18 D18 (2)求下列各式的值： cos415 sin415 ；12sin275 ；1tan275tan 75； 1sin 103cos 10. (1)D cos37cos47，cos57cos27， cos7cos37cos57cos7cos27cos478sin7cos7cos27cos478sin74sin27cos27cos478sin73 2sin47
4、cos478sin7sin878sin718. (2)解 cos415 sin415 (cos215 sin215 )(cos215 sin215 )cos215 sin215 cos 30 32. 12sin275 1(1cos 150 )cos 150 cos 30 32. 1tan275tan 7521tan2752tan 75 21tan 1502 3. 1sin 103cos 10cos 10 3sin 10sin 10 cos 10 212cos 10 32sin 10sin 10 cos 10 4sin 30 cos 10 cos 30 sin 10 2sin 10 cos 10
5、 4sin 20sin 204. 对于给角求值问题，一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中， 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 1求下列各式的值 (1)cos 72 cos 36 ； (2)1sin 503cos 50. 4 解 (1)cos 36 cos 72 2sin 36 cos 36 cos 722sin 362sin 72 cos 724sin 36sin 1444si
6、n 3614. (2)原式cos 50 3sin 50sin 50 cos 50 212cos 50 32sin 50122sin 50 cos 50 2sin 8012sin 1002sin 8012sin 804. 给值求值、求角问题 【例 2】 (1)已知 cos435，232，求 cos24的值； (2)已知 2，2，且 sin 2sin4，求 . 思路点拨 依据以下角的关系设计解题思路求解： (1)4与 22，4与 22具有 2 倍关系，用二倍角公式联系； (2)22与 2 差2，用诱导公式联系 解 (1)232，34474. cos40，32474， sin41cos2413524
7、5， cos 2sin222sin4cos4245352425， sin 2cos2212cos2412352725， cos2422cos 222sin 22224252272531 250. (2)sin 2cos222cos241 5 12cos24， sin4sin4 cos24 cos4 ， 原式可化为 12cos24 cos4， 解得 cos41 或 cos412. 2，2， 44，34， 故 40 或 423， 即 4或 512. 1在例 2(1)的条件下，求 sin 4 的值 解 由例 2(1)解析知 sin 42sin 2cos 227252425336625. 2将例 2(
8、1)的条件改为 sin4x 513，0 x4，求cos 2xcos4x的值 解 0 x4，4x0，4. 又 sin4x 513， cos4x 1213. 又 cos 2xsin22x 6 2sin4x cos4x 25131213120169， cos4x sin24x sin4x 513， 原式1201695132413. 解决条件求值问题的方法 1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 2当遇到f4 x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. cos 2xsin22x 2sin4x c
9、os4x . 类似的变换还有： cos 2xsin22x 2sin4x cos4x ， sin 2xcos22x 2cos24x 1， sin 2xcos22x 12cos24x 等. 化简证明问题 探究问题 1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？ 提示：通常要切化弦后再进行变形 2证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？ 7 提示：由复杂一侧向简单一侧推导 【例 3】 (1)化简：1tan 11tan 1_. (2)证明：3tan 12 3sin 12 4cos212 24 3. 思路点拨 (1)通分变形 (2) 切化弦通分，构造二倍角的余弦 二倍角的正
10、弦 约分求值 (1)tan 2 原式tan 1tan 1tan 1tan 12tan tan212tan 1tan2tan 2. (2)证明 左边3sin 12 3cos 12cos 122sin 12 2cos212 1 2 312sin 12 32cos 122sin 12 cos 12 cos 24 2 3sin12 60 sin 24 cos 24 2 3sin 4812sin 48 4 3右边，所以原等式成立 证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. 2证明恒等式
11、的一般步骤： 先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则， 设法消除差异，达到证明的目的. 2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B； (2)cos2(1tan2)cos 2. 8 证明 (1)左边1cos2A2B21cos2A2B2 cos2A2Bcos2A2B2 12(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B) cos 2Acos 2B右边， 等式成立 (2)法一：左边cos21sin2cos2 cos2sin2cos 2右边 法二
12、：右边cos 2cos2sin2 cos21sin2cos2cos2(1tan2)左边 1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是32 的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n2 2n1(nN*) 2二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角余弦公式的常用形式：1cos 22cos2，cos21cos 22，1cos 22sin2，sin21cos 22. 1思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( ) (2)存在角 ，使得 sin 22sin 成立( ) (3)对
13、于任意的角 ，cos 22cos 都不成立( ) 提示 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求2k(kZ)且 4k(kZ)，故此说法错误 9 (2).当 k(kZ)时，sin 22sin . (3).当 cos 1 32时，cos 22cos . 答案 (1) (2) (3) 2已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 B 易知 f(x)2cos2xsin2x23cos2x13
14、2(2cos2x1)32132cos 2x52，则 f(x)的最小正周期为 ，当 xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为 4. 3设 sin 2sin ，2， ，则 tan 2 的值是_ 3 sin 2sin ， 2sin cos sin . 由 2， 知 sin 0， cos 12，23， tan 2tan43tan3 3. 4已知2，cos 45. (1)求 tan 的值； (2)求 sin 2cos 2 的值 解 (1)因为 cos 45，2，所以 sin 35， 所以 tan sin cos 34. (2)因为 sin 22sin cos 2425， cos 22cos21725， 10 所以 sin 2cos 224257251725.