1、1 第第 4 章章 指数与对数的运算 【例 1】 计算：(1)2log32log3329log385log53； (2)1.51376080.2542(32 3)62323. 解 (1)原式log32283293231. (2)原式23132342142233231321427110. 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序， 一般负指数先转化成正指数， 根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧
2、. 2 1设 3x4y36，则2x1y的值为( ) A6 B3 C2 D1 D 由 3x4y36 得 xlog336，ylog436， 2x1y2log363log364log369log364log36361. 指数函数、对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( ) A B C D (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)12x. 如图，画出函数 f(x)的图象； 根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域 (1)B 由已知函数图象可得，loga31，所以 a3.A 项，函数解析
3、式为 y3x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为 y(x)3x3，当 x0 时，y0，这与图象不符；D 项中函数解析式为 ylog3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为 yx3，与图象相符故选 B. (2)解 先作出当 x0 时，f(x)12x的图象，利用偶函数的图象关于 y 轴对称，再作3 出 f(x)在 x(，0)时的图象 函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1 1识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值 2
4、指数函数与对数函数图象经过定点的实质是 a01，loga10. 2函数 y1log12(x1)的图象一定经过点( ) A(1,1) B(1,0) C(2,1) D(2,0) C 把 ylog12x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位即可得到 y1log12(x1)的图象，故其经过点(2,1) 比较大小 【例 3】 若 0 xy1，则( ) A3y3x Blogx3logy3 Clog4xlog4y D.14x14y C 因为 0 xy1，则 对于 A，函数 y3x在 R 上单调递增，故 3x3y，A 错误 对于 B，根据底数 a 对对数函数 ylogax 的影响：当 0a1 时
5、，在 x(1，)上“底小4 图高”因为 0 xylogy3，B 错误 对于 C，函数 ylog4x 在(0，)上单调递增，故 log4x14y，D 错误 1比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等 2当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 3比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小 4含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论 3设 alog2，blog12，c2，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcba C alog2log221，blog12log1210，
6、c212，即 0ccb，故选 C. 指数函数、对数函数的性质 【例 4】 (1)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是( ) A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数 (2)已知 a0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差为 1. 求 a 的值； 若 1x3，求函数 y(logax)2logax2 的值域 (1)A 由题意可得，函数 f(x)的定义域为(1,1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，5 故
7、f(x)为奇函数又 f(x)ln1x1xln21x1 ，易知 y21x1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数 (2)解 因为 loga3loga2，所以 f(x)logax 在a,3a上为增函数 又 f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为 1， 所以 loga(3a)logaa1，即 loga31，所以 a3. 函数 y(log3x)2log3x2(log3x)212log3x2log3x1423116. 令 tlog3x，因为 1x3， 所以 0log3x1，即 0t1. 所以 yt14231163116，52， 所以所求函数的值域为3116，52. 1把本例(1
8、)的函数 f(x)改为“f(x)ln(x1x2)”，判断其奇偶性 解 f(x)ln(x1x2)，其定义域为 R， 又 f(x)ln(x1x2)， f(x)f(x)ln(x1x2)ln(x1x2)ln 10， f(x)f(x)，f(x)为奇函数 2把本例(2)中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值 解 由题意可知 y32x3x1，令 3xt，则 t3,27， f(t)t2t1t12254，t3,27， 当 t3 时，f(t)minf(3)93111. 1研究函数的性质要树立定义域优先的原则 2换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问题中，常设 ulogax或 uax，转化为一元
9、二次方程、二次函数等问题要注意换元后 u 的取值范围 函数的应用 6 【例 5】 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减 (1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1) 解 (1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年，w500(110%)5000.9； 经过 2 年，w5000.92； 由此推知，t 年后，w5000.9t. (2)由题意得 5000.9t250，即 09t0.5，两边同时取以 10 为底的对数，得 lg 0.9tlg 0.5，即 tlg 0.9lg 0.5，所以 tl
10、g 0.5lg 0.96.6. 即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为 yN1px其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间的形式. 4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1) 解 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得210023n11 000，即23n120. 则 n(lg 2lg 3)(1lg 2)， 故 n1lg 2lg 3lg 27.4， 考虑到 nN，故 n8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求