1、1 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点、易错点) 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养. 2.借助三角恒等变换的简单应用， 提升数学运算素养. 半角公式 (1)sin2 1cos 2， (2)cos2 1cos 2， (3)tan2 1cos 1c
2、os ， (4)tan2sin 2cos2sin2 2cos2cos2 2cos2sin 1cos ， tan2sin2cos2sin2 2sin2cos2 2sin21cos sin . 1已知 180 360 ，则 cos2的值等于( ) A1cos 2 B.1cos 2 C1cos 2 D.1cos 2 2 C 180 360 ，90 2180 ， 又 cos221cos 2，cos 1cos 2. 2已知 cos 35，32，2 ，则 sin 2等于( ) A.55 B55 C.45 D.2 55 A 由题知234， ，sin 20，sin 21cos 255. 3已知 24，且 si
3、n 35，cos 0，则 tan2的值等于_ 3 由 sin 35，cos 0 得 cos 45， tan2sin2cos22sin2cos22cos22sin 1cos 351453. 化简求值问题 【例 1】 (1)设 56，cos2a，则 sin4等于( ) A.1a2 B.1a2 C1a2 D1a2 (2)已知 32，化简： 1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos . 3 思路点拨 (1)先确定4的范围，再由 sin241cos22得算式求值 (2)1cos 2cos22，1cos 2sin22，去根号，确定2的范围，化简 (1)D 56，252，3 ，454，32
4、. 又 cos2a， sin41cos221a2. (2)解 原式 sin2cos222cos2 2sin2sin2cos222cos2 2sin2. 32，2234，cos20，sin20， 原式sin2cos22 2sin2cos2sin2cos222sin2cos2 sin2cos22sin2cos22 2cos2. 1化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如
5、升幂、降幂、配方、开方等 2利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的 2 倍关系 (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备 4 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan2sin 1cos 1cos sin ，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用 sin221cos 2，cos221cos 2计算 (4)下结论：结合(2)求值 提醒：已知 cos 的值可求2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号 1已知 cos 35，且 180 270 ，求 tan 2. 解 法一：180 270 ，90 2135 ，即2是第二象限角，tan 20， tan 21cos 1cos 1
6、351352. 法二：180 270 ，即 是第三象限角， sin 1cos2192545， tan 21cos sin 135452. 三角恒等式的证明 【例 2】 求证：cos21tan2tan214sin 2. 思路点拨 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos2 不变，直接用二倍角正切公式变形 证明 法一：用正弦、余弦公式 左边cos2cos2sin2sin2cos2 5 cos2cos22sin22sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin22 cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边， 原式成立 法二：
7、用正切公式 左边cos2tan21tan2212cos22tan21tan2212cos2 tan 12cos sin 14sin 2右边， 原式成立 三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 2求证： 2sin xcos xsin xcos x1sin xcos x
8、11cos xsin x. 证明 左边2sin xcos x2sinx2cosx22sin2x2 2sinx2cosx22sin2x2 6 2sin xcos x4sin2x2cos2x2sin2x2 sin x2sin2x2 cos x2sinx22cos2x22sinx2cosx21cos xsin x右边 所以原等式成立 恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例 3】 已知函数 f(x) 3cos2x32sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期 (2)求证：当 x4，4时，f(x)12. 思路点拨 化为fxAsinxb 由T2|求周期 分析fx在4，4上的单调性 求最小值证明
9、不等式 解(1)f(x) 3cos2x32sin xcos x32cos 2x32sin 2xsin 2x12sin 2x32cos 2xsin2x3，所以 T22. (2)证明：令 t2x3，因为4x4， 所以62x356， 因为 ysin t 在6，2上单调递增，在2，56上单调递减， 所以 f(x)sin612，得证 7 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 yasin xbcos xk 的形式，借助辅助角公式化为 yAsinxk或 yAcosxk的形式，将 x 看作一个整体研究函数的性质. 3已知函数 f(x) 3sin2x
10、62sin2x12(xR) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 解 (1)f(x) 3sin2x62sin2x12 3sin2x121cos2x12 2 32sin2x12 12cos2x121 2sin2x1261 2sin2x31，T22. (2)当 f(x)取得最大值时， sin2x31， 有 2x32k2，即 xk512(kZ)， 所求 x 的集合为x xk512，kZ. 三角函数在实际问题中的应用 探究问题 1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？ 提示： 通常选角作为自变量， 求定义域时要注意实际意
11、义和正弦、 余弦函数有界性的影响 2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？ 提示：化成 yAsin(x)b 的形式 8 【例 4】 如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB 的周长最大？ 思路点拨 设AOB 建立周长l 求l的最大值 解 设AOB，OAB 的周长为 l，则 ABRsin ，OBRcos ， lOAABOB RRsin Rcos R(sin cos )R 2Rsin4R. 02，4434， l 的最大值为 2RR( 21)R，此时，42，即 4， 即当 4时，OAB 的周长最大 1在例 4 条件下，求长方形面积的最大值 解 如图所示
12、，设AOB0，2，则 ABRsin ，OARcos . 设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S2OA AB， S2Rcos Rsin R2 2sin cos R2sin 2. 0，2，2(0，) 因此，当 22， 即 4时，SmaxR2. 这时点 A，D 到点 O 的距离为22R， 矩形 ABCD 的面积最大值为 R2. 2若例 4 中的木料改为圆心角为3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所9 示)，试求此矩形面积的最大值 解 如图，作POQ 的平分线分别交 EF，GH 于点 M，N，连接 OE， 设MOE，0，6，在 RtMOE 中，MERsin ，OMRcos ， 在 RtONH 中，NH
13、ONtan6， 得 ON 3NH 3Rsin ， 则 MNOMONR(cos 3sin )， 设矩形 EFGH 的面积为 S， 则 S2ME MN2R2sin (cos 3sin ) R2(sin 2 3cos 2 3)2R2sin23 3R2， 由 0，6，则32323， 所以当 232， 即 12时，Smax(2 3)R2. 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. 2注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系.注意实际问题中变量的范围.重视三
14、角函数有界性的影响. 提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误. 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式， 也是10 高考常考的考点之一对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握例如 sin x cos x 2sinx4；sin x 3cos x2sinx3等. 1思考辨析 (1)cos 21cos
15、2.( ) (2)存在 R，使得 cos 212cos .( ) (3)对于任意 R，sin 212sin 都不成立( ) (4)若 是第一象限角，则 tan 21cos 1cos .( ) 提示 (1).只有当22k222k(kZ)，即4k4k(kZ)时，cos 21cos 2. (2).当 cos 31 时，上式成立，但一般情况下不成立 (3).当 2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立 (4).若 是第一象限角，则2是第一、三象限角，此时 tan 21cos 1cos 成立 答案 (1) (2) (3) (4) 2若 f(x)cos xsin x 在0，a是减函数，则 a 的最大值
16、是( ) A.4 B.2 C.34 D C f(x)cos xsin x 2cosx4.当 x0，a时，x44，a4，所以结合题意可知，a4，即 a34，故所求 a 的最大值是34.故选 C. 3函数 f(x)sin2x 的最小正周期为_ 因为 f(x)sin2x1cos 2x2， 11 所以 f(x)的最小正周期 T22. 4北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，求cos 2. 解 由题意，5cos 5sin 1，0，4， 所以 cos sin 15. 由(cos sin )2(cos sin )22， 所以 cos sin 75， 所以 cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin ) 725.