1、1 第第 2 课时课时 两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式 2会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等 3熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养 2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养. 1两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C() cos()cos_cos_sin_sin_ ，R 两角和的余弦公式 C() cos()c
2、os_cos_sin_sin_ ，R 2.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S() sin()sin_cos_cos_sin_ ，R 两角差的正弦 S() sin()sin_cos_cos_sin_ ，R 3.重要结论辅助角公式 yasin xbcos xa2b2sin(x)(a，b 不同时为 0)，其中 cos aa2b2，sin ba2b2. 1cos 57 cos 3 sin 57 sin 3 的值为( ) 2 A0 B.12 C.32 Dcos 54 B 原式cos(57 3 )cos 60 12. 2sin 245 sin 125 sin 155 s
3、in 35 的值是( ) A32 B12 C.12 D.32 B sin 245 sin(155 90 )cos 155 ， sin 125 sin(90 35 )cos 35 ， 原式cos 155 cos 35 sin 155 sin 35 cos(155 35 )cos 120 12. 3若 cos 35， 是第三象限的角，则 sin4_. 210 cos 35， 是第三象限的角， sin 1cos245， sin422sin 22cos 22452235210. ,给角求值问题【例 1】 (1)cos 70 sin 50 cos 200 sin 40 的值为( ) A32 B12 C.
4、12 D.32 (2)若 是第二象限角且 sin 513，则 cos(60 )_. (3)求值：(tan 10 3)cos 10sin 50. (1)D (2)125 326 (1)cos 200 cos(180 20 )cos 20 sin 70 ， sin 40 cos 50 ， 3 原式cos 70 sin 50 (sin 70 )cos 50 sin(50 70 )sin 120 32. (2) 是第二象限角且 sin 513， cos 1sin21213， cos(60 )12cos 32sin 12121332513125 326. (3)解 原式(tan 10 tan 60 )c
5、os 10sin 50 sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50 sin50 cos 10 cos 60cos 10sin 50 2. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形 (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式 提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求 1化简求值： (1)sin 50 sin
6、20 cos 30cos 20； (2)sin(75 )cos(45 ) 3cos(15 ) 解 (1)原式sin20 30 sin 20 cos 30cos 20 4 sin 20 cos 30 cos 20 sin 30 sin 20 cos 30cos 20 cos 20 sin 30cos 20sin 30 12. (2)设 15 ， 则原式sin(60 )cos(30 ) 3cos 12sin 32cos 32cos 12sin 3cos 0. 给值求值、求角问题 【例 2】 (1)已知 P，Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点 P 的横坐标为
7、45，点 Q 的横坐标为513，则 cosPOQ_. (2)已知 cos 55，sin()1010，且 ，0，2.求：cos(2)的值； 的值 思路点拨 (1)先由任意角三角函数的定义求xOP 和xOQ 的正弦、余弦值，再依据POQxOPxOQ 及两角和的余弦公式求值 (2)先求 sin ，cos()，依据 2()求 cos(2)依据 ()求 cos 再求 . (1)5665 由题意可得，cosxOP45， 所以 sinxOP35. 再根据 cosxOQ513， 可得 sinxOQ1213， 所以 cosPOQcos(xOPxOQ)cosxOP cosxOQsinxOP sinxOQ45513
8、3512135665. (2)解 因为 ，0，2， 所以 2，2，又 sin()10100， 5 所以 02， 所以 sin 1cos22 55， cos()1sin23 1010， cos(2)cos() cos cos()sin sin() 553 10102 551010210. cos cos() cos cos()sin sin() 553 10102 55101022， 又因为 0，2，所以 4. 给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时， 一定要注意已知角与所求角之间的关系， 恰当地运用拆角、 拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： 1当条件中有两
9、角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 2已知锐角 ， 满足 cos 2 55，sin()35，求 sin 的值 解 因为 ， 是锐角，即 02，02， 所以22， 因为 sin()350， 所以 cos()45， 6 因为 cos 2 55，所以 sin 55， 所以 sin sin()sin cos()cos sin()55452 55352 55. 辅助角公式的应用 探究问题 1能否将函数 ysin xcos x(xR)化为 yAsin(x)的形式|0，2？ 提示：能ysin xcos x 2sinx4. 2如何推导 as
10、in xbcos xa2b2sin(x)tan ba公式 提示：asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x， 令 cos aa2b2，sin ba2b2，则 asin xbcos xa2b2(sin xcos cos xsin ) a2b2sin(x)(其中 角所在象限由 a，b 的符号确定， 角的值由 tan ba确定，或由 sin ba2b2和 cos aa2b2共同确定) 【例 3】 (1)sin12 3cos12_. (2)已知 f(x) 3sin xcos x，求函数 f(x)的周期，值域，单调递增区间 思路点拨 解答此类问题的关键是巧妙构建公式 C(
11、)、C()、S()、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值 (1) 2 原式212sin1232cos12. 法一：(化正弦)原式 2cos3sin12sin3cos12 7 2sin12cos3cos12sin3 2sin1232sin4 2. 法二：(化余弦)原式 2sin6sin12cos6cos12 2cos6cos12sin6sin12 2cos6122cos4 2. (2)解 f(x) 3sin xcos x 2sin x32cos x12 2sin xcos6cos xsin6 2sinx6， T22，值域2,2 由22kx622k，得递增区间32k，232k ，kZ.
12、 1若将例 3(2)中函数改为 f(x)sin x 3cos x，其他条件不变如何解答？ 解 f(x)sin x 3cos x232cos x12sin x2cosx6， T2，值域为2,2， 由2kx62k，得递增区间 762k，62k ，kZ. 2 若将例 3(2)中函数改为 f(x)msin xmcos x， 其中 m0， 其他条件不变， 应如何解答？ 解 f(x)msin xmcos x 2msinx4， T2，值域为 2m， 2m， 8 由22kx422k，得递增区间 342k，42k ，kZ. 辅助角公式及其运用 1公式形式： 公式asin bcos a2b2sin或asin bc
13、os a2b2cos将形如 asin bcos a，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. 2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角 的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误. 1 两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广， 诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin32 sin32 cos cos32sin cos . 2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin cos()cos sin()时，不要将 cos()和 sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin cos
14、()cos sin()sin()sin()sin . 3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解 1思考辨析 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的( ) (2)存在 ，R，使得 sin()sin sin 成立( ) (3)对于任意 ，R，sin()sin sin 都不成立( ) (4)sin 54 cos 24 sin 36 sin 24 sin 30 .( ) 提示 (1)正确根据公式的推导过程可得 (2)正确当 45 ，0 时，sin()sin sin . (3)错误当 30 ，30 时，s
15、in()sin sin 成立 (4)正确因为 sin 54 cos 24 sin 36 sin 24 9 sin 54 cos 24 cos 54 sin 24 sin(54 24 ) sin 30 ，故原式正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2化简 2cos x 6sin x 等于( ) A2 2sin6x B2 2cos6x C2 2sin3x D2 2cos3x D 2cos x 6sin x2 212cos x32sin x 2 2cos3cos xsin3sin x 2 2cos3x . 3cos cos()sin sin()_. cos cos cos()sin sin()cos()cos . 4已知 ， 均为锐角，sin 55，cos 1010，求 . 解 ， 均为锐角，sin 55，cos 1010， sin 3 1010，cos 2 55. sin sin ，20， sin()sin cos cos sin 5510102 553 101022， 4.