1、1 第第 3 课时课时 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点) 1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养. 2.借助公式进行求值，提升数学运算素养. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T() tan()tan tan 1tan tan ，k2(kZ) 且 tan tan 1 两角差的正切 T() tan()tan tan 1ta
2、n tan ，k2(kZ)且 tan tan 1 1已知 tan tan 2，tan()4，则 tan tan 等于( ) A2 B1 C.12 D4 C tan()tan tan 1tan tan 4，且 tan tan 2， 21tan tan 4，解得 tan tan 12. 2求值：tan1112_. 2 3 tan1112tan12tan46 2 tan4tan61tan4tan6133133 2 3. 3已知 tan 2，则 tan4_. 3 tan4tan tan41tan tan4211213. 4.tan 75 tan 151tan 75 tan 15_. 3 原式tan(7
3、5 15 )tan 60 3. 两角和与差的正切公式的正用 【例 1】 (1)已知 ， 均为锐角，tan 12，tan 13，则 _. (2)如图，在ABC 中，ADBC，D 为垂足，AD 在ABC 的外部，且BDCDAD236，则 tanBAC_. 思路点拨 (1)先用公式 T()求 tan()，再求 . (2)先求CAD，BAD 的正切值，再依据 tanBACtan(CADBAD)求值 (1)4 (2)17 (1)tan 12，tan 13， tan()tan tan 1tan tan 1213112131. ， 均为锐角， (0，)， 4. (2)ADBC 且 BDCDAD236， 3
4、tanBADBDAD13， tanCADCDAD12， tanBACtan(CADBAD) tanCADtanBAD1tanCADtanBAD 121311213 17. 1公式 T( )的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式 T( )的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为1 与 tan tan 的差或和 (2)符号规律：分子同，分母反 2利用公式 T()求角的步骤： (1)计算待求角的正切值 (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息 (3)根据角的范围及三角函数值确定角 1(1)已知 tan5415，则 tan _. (2)已知角 ， 均为锐角，且 cos
5、 35，tan()13，则 tan _. (1)32 (2)3 (1)因为 tan5415， 所以 tan tan5454 tan54tan 541tan54tan 54151115132. 4 (2)因为 cos 35， 为锐角，所以 sin 45，tan 43， 所以 tan tan()tan tan1tan tan4313143133. 两角和与差的正切公式的逆用 【例 2】 (1)1tan 151tan 15_. (2)1 3tan 753tan 75_. 思路点拨 注意特殊角的正切值和公式 T( )的结构，适当变形后逆用公式求值 (1) 3 (2)1 (1)原式tan 45 tan
6、151tan 45 tan 15 tan(45 15 ) tan 60 3. (2)原式33tan 75133tan 75 tan 30 tan 751tan 30 tan 75 tan(30 75 )tan 45 1. 公式 T 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan41，tan633，tan3 3等. 要特别注意tan4 1tan 1tan ，tan4 1tan 1tan . 2已知 、 均为锐角，且 sin 22sin 2，则( ) 5 Atan()3tan() Btan()2tan() C3tan()tan() D3tan()2tan() A sin 22s
7、in 2， sin()()2sin()()， sin()cos()cos()sin() 2sin()cos()2cos()sin()， sin()cos()3cos()sin()， 两边同除以 cos()cos()得 tan()3tan() 两角和与差的正切公式的变形运用 探究问题 1两角和与差的正切公式揭示了 tan tan 与哪些式子的关系？ 提示：揭示了 tan tan 与 tan tan ，tan tan 与 tan tan 之间的关系 2若 tan 、tan 是关于 x 的方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)的两个根，则如何用a、b、c 表示 tan()? 提示：tan()ta
8、n tan 1tan tan ba1cabac. 【例 3】 (1)tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 _. (2)已知ABC 中， tan Btan C 3tan Btan C 3， 且 3tan A 3tan Btan Atan B1，试判断ABC 的形状 思路点拨 (1)看到 tan 67 tan 22 与 tan 67 tan 22 想到将 tan(67 22 )展开变形，寻找解题思路 (2)先由关于角 A，B 的等式求出 tan(AB)得角 AB，然后求角 C 并代入关于角 B，C 的等式求角 B，最后求角 A，判断ABC 的形状 (1)1 tan 67 tan
9、22 tan(67 22 )(1tan 67 tan 22 ) 6 tan 45 (1tan 67 tan 22 ) 1tan 67 tan 22 ， tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 1tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 1. (2)解 3tan A 3tan Btan Atan B1， 3(tan Atan B)tan Atan B1， tan Atan B1tan Atan B33，tan(AB)33. 又 0AB，AB56，C6. tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C33， tan B33tan B 3，tan B33，
10、 B6，A23，ABC 为等腰钝角三角形 1将例 3(1)中的角同时增加 1 结果又如何？ 解 tan 45 tan(68 23 )tan 68 tan 231tan 68 tan 23， 1tan 68 tan 23 tan 68 tan 23 ， 即 tan 68 tan 23 tan 68 tan 23 1. 2能否为例 3(1)和探究 1 归纳出一个一般结论？若能，试证明 解 一般结论：若 45 (，k180 90 ，kZ)，则 tan tan tan tan 1. 证明：tan 45 tan()tan tan 1tan tan ， 1tan tan tan tan ， 即 tan t
11、an tan tan 1. 1整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan( )的变形公式 7 2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan tan tan()(1tan tan )； (2)1tan tan tan tan tan； (3)tan tan tan tan tan()tan()； (4)tan tan 1tan tan tan. 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式 1 公式T( )与S( )、 C( )的一个重要区别， 就是前者角、 、 都不能取k2 (kZ)，而后两者 、R，
12、应用时要特别注意这一点 2注意公式的变形应用 如： tan tan tan()(1tan tan )， 1tan tan tan tan tan， tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan tan tan tan等. 1思考辨析 (1)存在 ，R，使 tan()tan tan 成立( ) (2)对任意 ，R，tan()tan tan 1tan tan 都成立( ) (3)tan()tan tan 1tan tan 等价于 tan tan tan() (1tan tan )( ) 提示 (1).当 0，3时，tan()tan03tan 0tan 3，但一般情况下不成立
13、(2).两角和的正切公式的适用范围是 ，k2(kZ) (3).当 k2(kZ)，k2(kZ)，k2(kZ)时，由前一个式子两边同乘以 1tan tan 可得后一个式子 8 答案 (1) (2) (3) 2若 tan 3，tan()2，则 tan ( ) A.17 B17 C1 D1 A tan tan()tantan 1tantan 2312317. 3若 tan3 3，则 tan 的值为_ 65 313 tan tan33 tan3tan31tan3tan3 331 33 333 313 321 1210 326 65 313. 4已知 cos 55，cos 35，其中 ， 都是锐角，求 tan()的值 解 因为 ， 都是锐角， 所以 sin 1cos22 55， sin 1cos245， tan sin cos 2，tan sin cos 43， 所以 tan()tan tan 1tan tan 2.